2019年人教B版数学选修2-1学案：1.3.2 命题的四种形式

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1、1.3.2 命题的四种形式学习目标：1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系(重点)3.会利用命题的等价性解决问题(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1四种命题定义 表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫作互逆命题其中一个命题叫原命题，另一个叫作原命题的逆命题原命题为“若p，则 q”，逆命题为“若q，则 p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定这样的两个命题叫作互否命题如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另

2、一个叫作原命题的否命题原命题为“若p，则 q”；否命题为“若 p，则 q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定这样的两个命题叫作互为逆否命题如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题原命题为“若p，则 q”；逆否命题为“若 q，则 p”思考 1：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？提示 因为任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题因此任何一个命栏目内容名称题都有逆命题、否命题和逆否命题2四种命题间的相互关系(1)形式关系(2)真假关系：互为逆否的两个

3、命题是等价的，它们有相同的真假性互逆或互否的两个命题是不等价的，它们的真假性没有关系思考 2：若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同，这种说法正确吗？提示 互否命题的真假性没有关系，但也可能相同，故此说法错误基础自测1思考辨析(1)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题( )(2)若一个命题是假命题，则其逆命题有可能是真命题( )(3)命题“若 x2y 2，则 xy”的否命题是“若 xy，则 x2y 2”( )提示 (1) (2)(3) “若 p，则 q”的否命题为“若 p，则 q”故“若 x2y 2，则xy”的否命题为“若 x2y 2，则 xy ”2命题“两条对角线相等的四边形是矩

4、形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A逆命题 B否命题C逆否命题 D无关命题A 两个命题条件与结论互换，故互为逆命题3命题“若 a5，则 a225”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是 ( )【导学号：33242060】A原命题、否命题 B原命题、逆命题C原命题、逆否命题 D逆命题、否命题D 原命题为真，逆命题为假，逆否命题为真，否命题为假4命题“已知不共线向量 e1，e 2，若 e1e 20，则 0”的否命题为_，是_命题(填“真”或“假”)已知不共线向量 e1，e 2，若 e1e 20，则 0 或 0 真 否命题即把原命题的条件和结论都否定合 作 探 究攻 重

5、难四种命题之间的转换写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题【导学号：33242061】(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果 x10，那么 x0；(3)当 x2 时，x 2x60.解 (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线(2)逆命题：如果 x0，那么 x10；否命题：如果 x10，那么 x0；逆否命题：如果 x0，那么 x10.(3)逆命题：如果 x2x60，那么

6、x2；否命题：如果 x2，那么 x2x60；逆否命题：如果 x2x 6 0，那么 x2.规律方法 写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.提醒：在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.跟踪训练1命题：“若 ab0，则 a，b 都不为零”的逆否命题是_若 a，b 至少有一个为零，则 ab0 由“若 p，则 q”的逆否命题为“若 q，则 p”可得2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题(1)当 c0 时，若 ab，则 acbc；(2)正数 m 的平方大于 0.解 (1)逆命题：当 c

7、0 时，若 acbc ，则 ab；否命题：当 c0 时，若 ab，则 acbc；逆否命题：当 c0 时，若 acbc，则 ab.(2)逆命题：若 m20，则 m0；否命题：若 m0，则 m20；逆否命题：若 m20，则 m0.四种命题间的关系及真假判断写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)垂直于同一个平面的两直线平行(2)若 mnbc2，则 ab”的逆命题其中真命题是_【导学号：33242062】 “如果 xy1 ，则 x，y 互为倒数”的逆命题是“如果 x，y 互为倒数，则 xy1”，是真命题； “四边相等的四边形是正方形 ”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形

8、”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“如果 ac2bc2，则 ab”的逆命题是“如果 ab，则 ac2bc 2”，是假命题所以真命题是 .4写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)在ABC 中，若 ab，则 AB；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若 x22x30，则 x3；(4)若 xA ，则 xAB.解 (1)逆命题：在ABC 中，若AB，则 ab.真命题；否命题：在ABC 中，若 ab，则AB.真命题；逆否命题：在ABC 中，若AB，则 ab.真命题(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等假命题；否命题：若两个角

9、不相等，则这两个角的正弦值也不相等假命题； 逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等真命题(3)逆命题：若 x3，则 x22x30.真命题；否命题：若 x22x 30 ，则 x3.真命题；逆否命题：若 x3，则 x22x30.假命题(4)逆命题：若 xAB ，则 xA.真命题；否命题：若 A，则 x AB.真命题； / / 逆否命题：若 x AB，则 x A.假命题. / / 等价命题的应用探究问题1直接证明原命题有困难时，应如何证明？提示 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想2四种

10、命题之间有怎样的相互关系？提示 (1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题它们分别为：两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题两对互逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不

11、等式 x2(2a1)xa 220 的解集非空，则 a1”的逆否命题的真假. 【导学号：33242063】思路探究 可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的真假性相同去判断原命题的真假问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解解 法一：逆否命题为：已知 a，x 为实数，若 a1，所以原命题为真74又因为原命题与其逆否命题的真假性相同，所以逆否命题为真法三：命题 p：关于 x 的不等式 x2(2a1)xa 220 有非空解集，命题q：a1.所以命题 p：A a|关于 x 的不等式 x2(2a1)xa 220 有实数解a|(2 a1) 24(a 22) 0Er

12、ror!.命题 q：B a|a1因为 AB，所以“若 p，则 q”为真，所以“若 p，则 q”的逆否命题“若 q，则 p”为真，即原命题的逆否命题为真母题探究：1.(改变问法) 本例中判断命题“已知 a，x 为实数，如果关于 x的不等式 x2 (2a1)xa 220 的解集为空集，则 a2”的逆命题的真假解 逆命题为：已知 a，x 为实数，若 a2，则关于 x 的不等式x2(2a 1)x a 220 的解集为空集抛物线 yx 2(2a1) xa 22 开口向上，对应方程的判别式 4a7，因为 a2 时，4a71所以关于 x 的不等式 x2 (2a1)xa 220 的解集不一定为空集故逆命题为假

13、命题2(变换条件) 本例 1 中判断命题“已知 a，x 为实数，如果关于 x 的不等式x2(2a 1)x a 220 的解集是 R，则 a0 的解集为 R，且抛物线 y x2(2a1) xa 22 的开口向上，所以 (2a1) 24( a22)4a70，所以 a1，或 x1D若 x1，或 x1，则 x21答案 D3命题“若 a2b 2，则 ab”的否命题是( )A若 a2b 2，则 ab B若 a2b 2，则 abC若 ab，则 a2b 2 D若 ab，则 a2b 2答案 B4命题“若 x3，y 5，则 xy8”的逆命题是 _；否命题是_；逆否命题是_答案 逆命题：若 xy8，则 x3，y5；否命题：若 x3，或 y 5，则 xy8；逆否命题：若 xy 8，则 x3，或 y5.5命题“如果 m0，则 x2xm0 有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论. 【导学号：33242065】解 法一：是真命题m0，14m0.方程 x2xm0 有实根，故原命题“如果 m0，则 x2xm0 有实根”是真命题又因原命题与它的逆否命题等价，命题“如果 m0，则 x2xm0 有实根”的逆否命题也是真命题法二：是真命题原命题“如果 m0，则 x2xm0 有实根”的逆否命题为“如果x2xm0 无实根，则 m0”x 2xm0 无实根，14m0，m 0，故原命题的逆否命题为真命题14