2019年人教B版数学选修2-1学案:3.2.5 距离(选学)
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1、3.2.5 距离(选学)学习目标:1.掌握向量长度计算公式(重点)2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值,叫做图形与图形的距离2点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内任意一点的所有线段中,垂线段最短(2)一点到它在一个平面内正射影的距离,叫做点到这个平面的距离3直线与它的平行平面的距离(1)如果一条直线平行于平面 ,则直线上的各点到平面 所作的垂线段相等,即各点到 的距离相等 (2)一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做直线与这个平面的距离4两个平行
2、平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,叫做两个平面的公垂线段(2)两平行平面的公垂线段的长度,叫做两平行平面的距离思考:线面距、面面距与点面距有什么关系?提示 基础自测1思考辨析(1)可以用| |2 ,求空间两点 A、B 的距离( )AB AB AB (2)设 n 是平面 的法向量,AB 是平面 的一条斜线,则点 B 到 的距离为 d .( )|AB n|n|(3)若直线 l 与平面 平行,直线 l 上任意一点与平面 内任意一点的距离就是直线 l 与平面 的距离( )提示 (1) (2)(3) 直线上任意一点到平面 的垂线段的长度2设
3、A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM|等于( )A. B C. D534 532 532 132C M 点坐标为 ,| MC| .(2,32,3) 5323已知平面 的一个法向量 n( 2,2,1),点 A(1,3,0)在 内,则P(2,1,4) 到 的距离为( )【导学号:33242317】A10 B3 C. D83103D ( 1,2,4),d .AP |AP n|n| 103合 作 探 究攻 重 难空间两点间的距离如图 3244 所示,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面ABCD, ABEF 互相垂直,点 M
4、在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若CMBNa(0a )2图 3244(1)求 MN 的长(2)a 为何值时, MN 的长最小?思路探究 建立坐标系,写出点的坐标,利用两点间距离公式求解解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C (0,0,1)因为 CMBNa(0a ),且四边形 ABCD,ABEF 为正方形,所以 M2,N ,(22a,0,1 22a) ( 22a,22a,0)所以 ,MN (0,22a,22a 1)所以| | .MN a2 2a 1(2)由(1)知 MN ,所以,当 a 时,MN .22 22即当 a 时,MN 的长最小,最
5、小值为 .22 22规律方法 计算两点间的距离的两种方法(1)利用|a| 2 aa,通过向量运算求 |a|,如求 A,B 两点间的距离,一般用|AB| 求解|AB |2 AB AB (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离) ,此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时跟踪训练1如图 3245 所示,在 120的二面角 AB 中,AC ,BD 且ACAB,BDAB ,垂足分别为 A、B,已知 AC ABBD6,试求线段 CD的长图 3245解 AC AB,BDAB, 0, 0,CA AB BD AB 又二面角 AB 的平面角为 120, , 60,CA BD |CD| 2| |2( )2CD
6、 CA AB BD 2 2 22( )CA AB BD CA AB CA BD BD AB 36 226 2cos 60144,CD12.点到直线的距离探究问题1如何理解与认识点到直线的距离?提示 点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题(1)点在直线上时,点到直线的距离为 0.(2)点在直线外时,点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离即点到直线的距离可转化为两点间的距离2如何用向量法求点到直线的距离?提示 设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线,A 是直线 l 外一定
7、点,向量在向量 s 上的射影的大小为| s0|,则点 A 到直线 l 的距离 dPA PA .|PA |2 |PA s0|2(其 中 s0 s|s|)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA11,AB4,BC3, ABC 90 ,求点 B 到直线 A1C1 的距离【导学号:33242318】思路探究 建立坐标系,利用向量法求解解 以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1(4,0,1),C 1(0,3,1),所以直线 A1C1 的方向向量为 (4,3,0),而A1C1 (0,3,1) ,BC1 所以点 B 到直线 A1C1 的距离d .135母题探究:1.(改变问法) 本例条件不
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