北师大版高中数学选修1-1课件：4.1.1 导数与函数的单调性

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1、1.1 导数与函数的单调性,第四章 1 函数的单调性与极值,学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 导函数的符号与函数的单调性的关系,思考1 f(x)x2在(，0)上是减少的，在(0，)上是增加的，那么f(x)在(，0)，(0，)上的函数值的大小如何？,答案 当x(，0)时，f(x)0.,思考2 yf(x)在区间(a，b)上的单调性与yf(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？,答案 在区间(a，b)上，f(x)0，则f(

2、x)在(a，b)上是增加的； 在区间(a，b)上，f(x)0，则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似). (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.,知识点二 函数的变化快慢与导函数的关系,一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得 ，这时，函数的图像就比较“ ”(向上或向下)；反之，函数的图像就“ ”一些.,快,陡峭,平缓,思考辨析 判断正误 1.函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”.( ) 2.函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.( )

3、3.函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大. ( ) 4.若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f(x)0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件.( ) 5.若f(x)的图像在a，b上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f(x)0，解得x2； 由f(x)0，解得3x0和f(x)0的区间为递增区间，定义域内满足f(x)0，(x2)20. 由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的递增区间为(3，)； 由f(x)0，得x3. 又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)， 所以函数f(x)的递减区间为(，2)和(2,3).,解答,类型三 含参数函数的单调性,例3 若函

4、数f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的，则k的取值范围是_.,答案,解析,1，),即k的取值范围为1，).,引申探究 1.试求函数f(x)kxln x的单调区间.,解答,当k0时，函数的递减区间为(0，)；,2.若f(x)kxln x在区间(1，)上不单调，则k的取值范围是_.,答案,解析,(0,1),则0k0(或f(x)0，f(x)的递增区间为(0，)；,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解答,由已知函数g(x)为1,2上为减函数， 则g(x)0在1,2上恒成立，,达标检测,1.f(x)(x3)ex的递增区间是 A.(，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，

5、),答案,解析,1,2,3,4,5,解析 f(x)ex(x3)ex(x2)ex0， 解得x2， 所以f(x)的递增区间是(2，).,2.若f(x)x22x4ln x，则函数的递增区间为 A.(0，) B.(1,0)(2，) C.(2，) D.(1,0),1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由已知得函数的定义域为(0，)，,由f(x)0，可得x2x20， 得x2.,3.若函数f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的，则m的取值范围是,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 函数f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的， f(x)3x24xm0在R上恒成立，,1,2,3,4,5,答案,解析,(0，),可得a0.,5.已知a0且a1，证明：函数yaxxln a在(，0)上是减少的.,1,2,3,4,5,证明,证明 yaxln aln aln a(ax1)， 当a1时，因为ln a0，ax1， 所以y0和f(x)0. (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.,规律与方法,