2019年北师大版数学选修1-1讲义：1.1 命题

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1、1 命题学习目标 1.了解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断知识点一 命题的概念及命题的形式思考 给出下列语句：若直线 ab，则直线 a 和直线 b 无公共点；367；偶函数的图像关于 y 轴对称；5 能被 4 整除请你找出上述语句的共同特点答案 上述语句有两个特点：都是陈述句；能够判断真假梳理 (1)定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题(2)分类真命题：判断为真的语句叫作真命题；假命题：判断为假的语句叫作假命题(3)命题的形式：“若 p，则 q”，其中命题的条件是 p，结论是 q.由 p 能推出 q，则为真

2、命题能举一反例即可确定为假命题知识点二 四种命题思考 给出以下四个命题：(1)若 x2，则 x23x 20 ；(2)若 x23x20，则 x2 ；(3)若 x2，则 x23x 20 ；(4)若 x23x20，则 x2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定梳理 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题如果是另一个命题条件的否定和结论

3、的否定，那么把这两个命题叫作互否命题如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题知识点三 四种命题的关系及其真假判断思考 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题梳理 (1)四种命题的相互关系(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系(4)四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为 0

4、或 2 或 4.1有些命题的真假性不能确定( )2有的命题没有逆命题( )3原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题( )类型一 命题的概念例 1 下列语句：(1) 是无限循环小数；2(2)x23x20；(3)当 x4 时，2x0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个正整数不是合数就是素数；(6)作ABC ABC；(7)二次函数的图像太美了！(8)4 是集合1,2,3中的元素其中是命题的是_(填序号)考点 命题的概念及分类题点 命题概念的理解答案 (1)(3)(5)(8)解析 本题主要考查命题的判断，判断依据：看能否判断真假(1)是命题，能判断真假；(2) 不是命题，因为语句

5、中含有变量 x，在没给变量 x 赋值前，我们无法判断语句的真假；(3) 是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5) 是命题；(6)不是命题；(7) 不是命题；(8) 是命题故答案为(1)(3)(5)(8)反思与感悟 一般地，判断一个语句是不是命题，要看这个语句能不能判断真假跟踪训练 1 判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若 p，则 q”的形式(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；(3)当 xy 是有理数时，x ，y 都是有理数；(4)1232 014；(5)这盆花长得太好了！考点 命题的

6、概念及分类题点 命题概念的理解解 (1)(4)(5)未涉及真假，都不是命题(2)是真命题此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边 ”(3)是假命题此命题可写成“若 xy 是有理数，则 x，y 都是有理数” 类型二 四种命题及其相互关系命题角度 1 四种命题的概念例 2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)若 mnb，则AB.考点 四种命题题点 四种命题概念的理解解 (1)逆命题：若方程 mx2xn0 有实数根，则 mn0 且 n0，则 mn0 ，真命题逆否命题：若 mn0，则 m0 且 n0，假命题(4)逆命题：在ABC 中，若

7、AB，则 ab，真命题否命题：在ABC 中，若 ab，则AB，真命题逆否命题：在ABC 中，若AB，则 ab，真命题反思与感悟 四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题跟踪训练 2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若 ab0，则 a0；(2)已知 a，b，c 为实数，若 ab，则 acbc.考点 四种命题题点 四种命题概念的理解解 (1)逆命题：若 a0，则 ab0，真命题否命题：若 ab0，则 a0，真命

8、题逆否命题：若 a0，则 ab0，假命题(2)逆命题：已知 a，b，c 为实数，若 acbc，则 ab，假命题否命题：已知 a，b，c 为实数，若 ab，则 acbc ，假命题逆否命题：已知 a，b，c 为实数，若 acbc ，则 ab，真命题命题角度 2 四种命题的相互关系例 3 若命题 p：“若 xy 0，则 x，y 互为相反数”的否命题为 q，命题 q 的逆命题为 r，则 r 与 p 的逆命题的关系是( )A互为逆命题B互为否命题C互为逆否命题D同一命题考点 四种命题的相互关系题点 四种命题相互关系的应用答案 B解析 已知命题 p：若 xy 0，则 x，y 互为相反数命题 p 的否命题

9、q：若 xy 0，则 x，y 不互为相反数，命题 q 的逆命题 r：若 x，y 不互为相反数，则 xy0，r 是 p 的逆否命题，r 是 p 的逆命题的否命题，故选 B.反思与感悟 1.判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题 ”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系2要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握跟踪训练 3 有下列四个命题：“若 xy0，则 x，y 互为

10、相反数”的否命题；一个实数不是正数就是负数；“若 x3，则 x2x 60 ”的否命题；“同位角相等”的逆命题其中真命题的个数是_考点 四种命题的真假判断题点 四种命题的概念及真假判断的综合应用答案 1解析 “若 xy 0，则 x，y 不互为相反数” ，是真命题实数 0 既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题“若 x3，则 x2x 6 0”，解不等式 x2x60 可得2x 3，而 x43 不是不等式的解，故是假命题“相等的角是同位角” ，是假命题类型三 等价命题的应用例 4 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2(2 a1)xa 220 的解集非空，则 a1”的逆否命题的

11、真假考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法解 方法一 原命题的逆否命题：已知 a，x 为实数，若 a1，74所以原命题为真，故其逆否命题为真引申探究 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2(2 a1)xa 220 的解集为 R，则 a0 的解集为 R，且二次函数yx 2(2a1)xa 22 的开口向上，所以 (2a1) 24(a 22)4a71，则 x1”的否命题是( )A若 x1，则 x1B若 x1，则 x1C若 x1，则 x1D若 x1”和结论“x1”同时否定，即“若 x1，则 x1” ，故选 C.2命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A两个平面B一条直

12、线C垂直D两个平面垂直于同一条直线考点 命题的概念及分类题点 命题的结构答案 D解析 只要分清命题中的条件和结论即可3命题“若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数”的否命题是( )A若 f(x)是偶函数，则 f(x) 是偶函数B若 f(x)不是奇函数，则 f(x )不是奇函数C若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数D若 f(x) 不是奇函数，则 f(x)不是奇函数考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 B解析 否命题是既否定条件又否定结论因此否命题应为“若 f(x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数” 4命题“若 ab，则 ac2bc2(a，b，cR )”与它的逆命题、否命题、逆否

13、命题中，真命题的个数为( )A0 B2C3 D4考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 命题“若 ab，则 ac2bc2(a，b，cR )”是假命题，则其逆否命题是假命题该命题的逆命题为“若 ac2bc2，则 ab(a，b，cR )”是真命题，则其否命题是真命题故选 B.5给出以下命题：“若 x2y 20，则 x，y 不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x2xm 0 有实根”的逆否命题其中为真命题的是_(填序号)考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 解析 否命题是“若 x2y 20，则 x，y 全为零” ，真命题

14、逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形” ，假命题 14m，当 m0 时，0，x 2xm 0 有实根，即原命题为真逆否命题为真1可以判断真假、用文字或符号表述的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可2任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若 p，则 q”的形式含有大前提的命题写成“若 p，则 q”的形式时，大前提应保持不变3写四种命题时，可以按下列步骤进行(1)找出命题的条件 p 和结论 q.(2)写出条件 p 的否定和结论 q 的否定(3)按照四种命题的结构写出所有命题4判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判

15、断，这也是反证法的理论基础一、选择题1下列说法正确的是( )A命题“直角相等”的条件和结论分别是 “直角”和“相等”B语句“最高气温 30时我就开空调 ”是命题C命题“对角线互相垂直的四边形是菱形 ”是真命题D语句“当 a4 时，方程 x24xa0 有实根”是假命题考点 命题的概念及分类题点 命题真假性的判断答案 D解析 对于 A，改写成“若 p，则 q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等” ；B 所给语句不是命题；C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为 3，腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明故选 D.2给出下列三个命题：( )“全等三角形的面积相等”的

16、否命题；“若 lg x20 ，则 x1”的逆命题；“若 xy 或 xy，则|x |y| ”的逆否命题其中真命题的个数是( )A0 B1 C2 D3考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 的否命题是“不全等的三角形面积不相等” ，它是假命题；的逆命题是“若x1，则 lg x20” ，它是真命题；的逆否命题是“若 |x|y|，则 xy 且 xy” ，它是假命题，故选 B.3已知命题“若 ab0，则 a0 或 b0” ，则下列结论正确的是( )A真命题，否命题：“若 ab0，则 a0 或 b0”B真命题，否命题：“若 ab0，则 a0 且 b0”C假命题，否命题：“若

17、ab0，则 a0 或 b0”D假命题，否命题：“若 ab0，则 a0 且 b0”考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 B解析 “若 a0 且 b0，则 ab0”是真命题，又“若 a0 且 b0，则 ab0”是“若ab0，则 a0 或 b0”的逆否命题，故原命题为真命题已知命题的否命题是“若ab0，则 a0 且 b0”4下列命题中为真命题的是( )A “若 x2 016，则 x0”的逆命题B “若 xy0，则 x0 或 y0”的逆否命题C若 x2x 20，则 x1D “若 x21，则 x1”的逆否命题考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 B解析 A 选项， “若 x

18、2 016，则 x0”的逆命题为“若 x0，则 x2 016”是假命题；B 选项，“若 xy0，则 x0 或 y0 ”的逆否命题为“若 x0 且 y0，则 xy0”是真命题；C 选项，由 x2x20，得 x1 或 x2，故 C 是假命题；D 选项， “若 x21，则 x1”是假命题，故其逆否命题是假命题5已知 a，bR，命题“若 ab1，则 a2b 2 ”的否命题是( )12A若 a2b 20.所以逆命题为假，则否命题也为假故选 B.9已知命题 p：若 a1，命题 p 为假命题，A 不正确；命题 p 的逆命题是“若 a20，则方程 x22x k0 有实数根；若 xy8，则 x2 或 y6；“矩

19、形的对角线相等”的逆命题；“若 xy0，则 x，y 中至少有一个为零 ”的否命题其中真命题的序号是_考点 四种命题的真假判断题点 四种命题的概念及真假判断的综合应用答案 解析 44(k )44k0，是真命题其逆否命题为真，故是真命题逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题否命题：“若 xy0，则 x，y 都不为零”是真命题三、解答题13判断命题：“若 b1，则关于 x 的方程 x22bx b2b0 有实根”的逆否命题的真假考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可方程判别式为 4b 24(b 2b)4b，因为 b1，所以

20、40 ，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x22bxb 2b0 无实根，则 b1” 方程判别式为 4b 24(b 2b)4b，因为方程无实根，所以 0，所以 b1 成立，即原命题的逆否命题为真四、探究与拓展14命题“若 a22abb 2ab20，则 ab1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 1解析 a 22abb 2ab20 化简得(ab1)( ab2)0，即 ab1 且 ab2.命题“若 a22abb 2ab20，则 ab1”的逆命题为“若 ab1，则a22abb 2ab20” ，为假命题，ab2 也可以使 a22abb 2ab20；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“若 ab1，则a22abb 2ab20” ，为真命题15设 m，nR，证明：若 m2n 22，则 mn2.考点 四种命题的相互关系题点 逆否证法证明 将“若 m2n 22，则 mn2”视为原命题，则它的逆否命题为“若 mn 2，则 m2n 22” 因为 mn2，所以 m2n 2 (mn) 2 222.12 12所以 m2n 22，所以原命题得证