2019年北师大版数学选修1-1讲义：1.3.1 全称量词与全称命题-1.3.2 存在量词与特称命题

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1、31 全称量词与全称命题32 存在量词与特称命题学习目标 1.了解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判断全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法知识点一 全称量词与全称命题思考 观察下列命题：(1)所有偶函数的图像都关于 y 轴对称；(2)每一个四边形都有外接圆；(3)任意实数 x，x 20.以上三个命题有什么共同特征？答案 都使用了表示“全部”的量词，如“所有” 、 “每一个” 、 “任意” 梳理全称量词 “所有” 、 “每一个” 、 “任何” 、 “任意” 、 “一切” 、 “任给” 、 “全部”全称命题 p 含有全称量词的命题形式 “对 M 中任意一

2、个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为任意 xM ，p(x)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意 xM，p( x)”，要判断它为真，需要对集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判断它为假，只需在 M 中找到一个 x，使 p(x)不成立，即“存在 xM ，p(x )不成立” 知识点二 存在量词与特称命题思考 观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数 x，使 x5；(3)至少有一个实数 x，使 x22x20；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在 x1，使方程 x2x 20；(5)对任意 xx| x1,3x40 成立；(6)

3、存在 a1 且 b2，使 ab3 成立考点 全称命题与特称命题的识别题点 全称命题与特称命题的识别解 (1)(5)含全称量词“任意” ，(3) 虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形故(1)(3)(5) 为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些” 、 “存在” 、 “存在” 类型二 全称命题与特称命题的真假判断例 2 判断下列命题的真假(1)存在 ，cos() cos cos ；(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数 x，使等式 x2x80 成立考点 全称命题与特称命题的真假判断题点 全称命题

4、与特称命题的真假判断解 (1)真命题，例如 ， ，符合题意4 2(2)真命题，函数 f(x)0 既是偶函数又是奇函数(3)假命题，如：边长为 1 的正方形的对角线长为 ，它的长度就不是有理数2(4)假命题，因为该方程的判别式 310 ，若对任意 xR ，p(x)是真命题，求实数 a 的取值范围考点 全称命题与特称命题的应用题点 存在性问题与恒成立问题求参数的范围解 (1)关于 x 的不等式 x2(2a1) xa 220 的解集非空，(2a1) 24(a 22)0，即 4a70，解得 a ，实数 a 的取值范围为 .74 74， )(2)对任意 xR，p(x )是真命题对任意 xR，ax 22x

5、10 恒成立，当 a0 时，不等式为 2x10 不恒成立，当 a0 时，若不等式恒成立，则Error!a1.即 a 的取值范围是(1，)反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别跟踪训练 3 (1)对于任意实数 x，不等式 sin xcos xm 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)存在实数 x，不等式 sin x cos xm 有解，求实数 m 的取值范围考点 全称命题与特称命题的应用题点 存在性问题与恒成立问题求参数的范围解 (1)令 ysin x cos x ，xR，ysin xcos x sin ，2 (x 4) 2又任意 xR，sin xcos xm 恒

6、成立，只要 mm 有解，只要 m1，使 x21；全等的三角形必相似；有些相似三角形全等；至少有一个实数 a，使 ax2ax 10 的根为负数其中特称命题的个数为( )A1 B2 C3 D4考点 全称命题与特称命题的真假判断题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 C解析 由存在量词及特称命题的定义知为特称命题3下列含有量词的命题为真命题的是( )A所有四边形都有外接圆B有的等比数列的项为零C存在实数没有偶次方根D任何实数的平方都大于零考点 全称命题与特称题点 命题的真假判断答案 C解析 C 选项中存在负数没有偶次方根正确4对任意的 x ，tan xm 是真命题，则实数 m 的最小值为_0，4考点

7、 全称量词与全称命题的真假判断题点 恒成立问题求参数的范围答案 1解析 对任意的 x ，(tan x) max1，0，4m1，则 m 的最小值为 1.5将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题(1)相等的角是对顶角；(2)sin x cos x0 且 a1)，当 a1 时，ylog ax 在(0 ， )上是增加的，当 00，都有 3x3 成立D存在 xQ，使方程 x20 有解2考点 全称命题与特称命题的真假判断题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 A解析 A 中，由于函数 ycos x 的最大值是 1，又 10 恒成立(x 12) 344给出四个命题：末位数是偶数的整数能被 2 整除；有

8、的菱形是正方形；存在实数x，x0；对于任意实数 x,2x1 是奇数下列说法正确的是( )A四个命题都是真命题 B是全称命题C是特称命题 D四个命题中有两个假命题考点 全称命题与特称命题的真假判断题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 C解析 为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题5下列命题中的假命题是( )A有些不相似的三角形面积相等B存在一个实数 x，使 x2x10C存在实数 a，使函数 yaxb 的值随 x 的增大而增大D有一个实数的倒数是它本身考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 特称命题的真假判断答案 B解析 以上 4 个均为特称命题，A ，C，D 均可找到符合条件的特例；对 B

9、，任意 xR，都有 x2x1 2 0.故 B 为假命题(x 12) 346下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A存在一个角 ，使得 tan(90)tan B存在实数 x，使得 sin x2C对一切 ，sin(180) sin Dsin() sin cos cos sin 考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 特称命题的真假判断答案 A解析 45时，tan(9045)tan 45 ，A 为真命题，且为特称命题，故选 A.B 中对任意 x R，有 sin x10.A1 B2 C3 D4考点 全称量词及全称命题的真假判断题点 全称命题的真假判断答案 C解析 为真命题8若存在 xR ，使 a

10、x22xa0 时，由 44a 20，解得10 恒成立，a2a3，x a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_考点 全称量词及全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围答案 (，3解析 对任意 x3，x a 恒成立，即大于 3 的数恒大于 a，a3.11命题：任意 xR ，x 23x20 恒成立；存在 xQ ，x 22；存在xR，x 210；任意 xR,4x 22x13x 2.其中真命题的个数为_考点 全称命题与特称命题的真假判断题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 0解析 对于方程 x23x 20，(3) 2420，当 x2 或 x0 才成立，为假命题当且仅当 x 时，x 22，2不存在 xQ

11、 ，使得 x22，为假命题对任意 xR，x 210，为假命题4x2(2 x13x 2)x 22x 1(x1) 20，即当 x1 时，4x 22x 13 x2 成立，为假命题均为假命题12已知函数 f(x)x 2mx1，若命题“存在 x0，f(x)0 对于任意 xR 恒成立，并说明理由；(2)若至少存在一个实数 x，使不等式 mf(x)0 成立，求实数 m 的取值范围考点 全称命题与特称命题题点 存在性问题与恒成立问题求参数的范围解 方法一 (1)不等式 mf( x)0 可化为m f(x)，即 m x22x5(x 1) 24.要使 m( x1) 24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可故存

12、在实数 m 使不等式 mf (x)0 对于任意 xR 恒成立，此时需 m4.(2)不等式 m f(x)0，可化为 mf(x)，若至少存在一个实数 x 使不等式 mf(x)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)(x1) 24，所以 f(x)min4，所以 m4.所以所求实数 m 的取值范围是 (4，)方法二 (1)要使不等式 mf( x)0 对任意 xR 恒成立，即 x22x5m0 对任意 xR 恒成立所以 (2) 24(5m)4，所以当 m4 时，mf(x)0 对于任意 xR 恒成立(2)若至少存在一个实数 x，使 mf(x)0 成立，即 x22x5m0 即可，解得 m4.所以实数 m 的

13、取值范围是(4，)四、探究与拓展14若命题“存在 a1,3，使 ax2(a2) x20 ”是真命题，则实数 x 的取值范围是_考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 (，1) (23， )解析 令 f(a) ax2(a2)x 2(x 2x)a2x2，是关于 a 的一次函数，由题意，得(x 2x)2x20 或( x2x)32x20，即 x2x20 或 3x2x20，解得 x .2315若存在 xR ，使 cos 2x2sin xa0，求实数 a 的取值范围考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围解 依题意，若存在 xR ，使 cos 2x2sin xa0，则有 acos 2x2sin x2sin 2x2sin x12 2 ，(sin x 12) 32令 tsin x ，则 a2 2 ，1t1.(t 12) 32由于函数 a(t)在 1t 上是减少的，在 t1 上是增加的，12 12所以当 t 时，取最小值 a ；当 t1 时，12 32取最大值 a3.所以 a3.32故当 a3 时满足条件，32所以 a 的取值范围是 . 32，3