2019年北师大版数学选修1-1讲义：1.3.3 全称命题与特称命题的否定

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1、3.3 全称命题与特称命题的否定学习目标 1.了解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题知识点一 全称命题的否定思考 对下列全称命题如何否定？(1)所有奇函数的图像都过原点；(2)对任意实数 x，都有 x22x10.答案 (1)有的奇函数的图像不过原点；(2)存在实数 x，使 x22x 1 0.梳理 要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的全称命题的否定是特称命题一般地，全称命题“所有的 xA，使 p(x)成立”的否定为特称命题“存在 xA，使 p(x)不

2、成立” 知识点二 特称命题的否定思考 对下列特称命题如何否定？(1)有些四棱柱是长方体；(2)存在一些周期函数是奇函数答案 (1)所有的四棱柱都不是长方体；(2)所有的周期函数都不是奇函数梳理 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的特称命题的否定是全称命题一般地，特称命题“存在 xA，使 p(x)成立”的否定为全称命题“所有的 xA，使 p(x)不成立” 1若命题 p 是含一个量词的命题，则 p 与其否定真假性相反( )2从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x) ”同时否定( )3从全称命题的否定看

3、，既要把全称量词转换为存在量词，又要把 p(x)否定( )类型一 全称命题的否定例 1 写出下列命题的否定，并判断其真假(1)任意 nZ，则 nQ；(2)等圆的面积相等，周长相等；(3)偶数的平方是正数考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定解 (1)存在 nZ ，使 nQ，这是假命题(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题反思与感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定2有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”跟踪训练 1

4、 写出下列全称命题的否定：(1)所有能被 3 整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意 xZ，x 2 的个位数字不等于 3.考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定解 (1)存在一个能被 3 整除的整数不是奇数(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆(3)存在 xZ，x 2 的个位数字等于 3.类型二 特称命题的否定例 2 写出下列特称命题的否定：(1)存在 xR，x 22x20；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数考点 特称命题的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)任意 xR，x 22x20.(2)所有的三角形都不是等边三角形(3)每一个

5、素数都不含三个正因数反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定跟踪训练 2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在 x，yZ，使得 x y3.2考点 特称命题的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数 ”，也即“所有实数的绝对值都不是正数” 由于| 2|2，因此命题的否定为假命题(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形” ，也即“ 每一个平行四边形都不是菱形”

6、由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题(3)命题的否定：“任意 x，yZ ， xy 3” 2当 x0，y3 时， xy3，2因此命题的否定是假命题类型三 含有一个量词的命题的否定的应用例 3 已知命题 p(x)：sin xcos xm，q(x)：x 2mx10.如果对于任意 xR，p(x) 为假命题且 q(x)为真命题，求实数 m 的取值范围考点 全称命题与特称命题的否定题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围解 sin xcos x sin(x )m，24若 p(x)为真命题，则 m0.求实数 p 的取值范围考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围解 在区间1

7、,1上至少存在一个实数 c，使得 f(c)0 的否定是在区间 1,1上的所有实数x，都有 f(x)0 恒成立又由二次函数的图像特征可知，Error! 即Error!即Error!p 或 p3.32故 p 的取值范围是3m”为假命题，则实数 m 的取值范围是_0，2考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 12， )解析 由题意知，对任意的 x ，0，2sin xcos xm 为真命题；又sin xcos x sin 2x ，12 0，12m .124写出下列命题的否定并判断其真假(1)不论 m 取何实数，方程 x2mx 10 必有实数根；(2)有些三角形的三条边相等；

8、(3)余弦值为负数的角是钝角考点 含有量词的命题的否定的应用题点 全称命题与特称命题的否定及真假判断解 (1)这一命题可表述为对任意的实数 m，方程 x2mx10 必有实数根其否定：存在一个实数 m，使方程 x2mx10 没有实数根，因为该方程的判别式 m 240 恒成立，故为假命题(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等” ，假命题(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角” ，真命题对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是” “有

9、” “存在” “成立”等改为 “不是” “没有” “不存在”“不成立”等(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定一、选择题1设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集，若命题为“对任意的 xA,2xB” ，则该命题的否定是( )A对任意 xA,2xBB对任意 xA,2xBC存在 xA,2xBD存在 xA,2xB考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 D2命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( )A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数考点 全称命题的否定题点 全称

10、命题的否定答案 D解析 原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定3命题“对任意的 xR ，x 3x 210”的否定是( )A存在 xR ，x 3x 210B存在 xR，x 3x 210C存在 xR，x 3x 210D对任意的 xR，x 3x 210考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 C解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在xR，x 3x 210” 故选 C.4已知命题 p：任意 x0，总有(x1)e x1，则命题 p 的否定为( )A存在 x0，使得(x 1)e x1B存在 x0，使得(x 1)e x1C任意 x0，总有(x 1)e x1D任意

11、 x0，总有(x 1)e x1考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 B解析 “任意 x0，总有(x1)e x1”的否定是“存在 x0，使得(x1)e x1” 故选 B.5命题 p：“存在实数 m，使方程 x2mx10 有实数根” ，则命题 p 的否定为( )A存在实数 m，使方程 x2 mx10 无实数根B不存在实数 m，使方程 x2mx10 无实数根C对任意的实数 m，方程 x2mx10 无实数根D至多有一个实数 m，使方程 x2mx10 有实数根考点 特称命题的否定题点 含存在量词命题的否定答案 C解析 命题 p 是特称命题，其否定形式为全称命题，即为对任意的实数 m，方程x2mx

12、10 无实数根6已知命题 p：存在 xR ，x 2axa0，函数 f(x)ln 2xln xa 有零点C存在 ，R，使 cos()cos sin D任意 R，函数 f(x)sin(2 x)都不是偶函数考点 全称命题与特称命题的真假判断题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 D解析 f(x) 为幂函数，m 11，m2，f(x) x 1 ，f(x)在(0，)上是减少的，故 A 真；yln 2xln x 的值域为 ， 14， )对任意 a0，方程 ln2xln xa0 有解，即 f(x)有零点，故 B 真；当 ，2 时，6cos( )cos sin 成立，故 C 真；当 时，f( x)sin(2x)

13、cos 2x 为偶函数，2故 D 为假命题8已知函数 f(x)|2 x1| ，若命题“存在 x1，x 2a，b且 x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( )Aa0 Ba1答案 B解析 函数 f(x)|2 x1| 的图像如图所示由图可知 f(x)在(，0上是减少的，在(0，) 上是增加的，所以要满足存在 x1，x 2a，b且 x1f(x2)为真命题，则必有 a0，则实数 a 的取值范围是( )A. B.( 12，0) ( 12，12)C. D.(0，12) 12，0考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 A解析 考虑原命题的否定，即在区间0,1内的所有的实

14、数 b，使 f(b)0，所以有Error!即Error!解得 a 或 a0，故若在区间0,1内至少存在一个实数 b，使 f(b)0，则实数 a 的取值范12围为 .( 12，0)二、填空题10若命题：“存在 xR ，使得 x2(1a) x10，解得 a3.11若任意 xR ，f (x)( a21) x是减函数，则 a 的取值范围是 _考点 全称量词与全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围答案 ( ，1)(1 ， )2 2解析 f(x) (a 21) x是减函数，00，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围是_考点 全称命题与特称命题的否定的应用题点 由全称命题与特

15、称命题的真假求参数的范围答案 3,8)解析 因为 p(1)是假命题，所以 12m0，解得 m3.又因为 p(2)是真命题，所以 44m 0，解得 m0 恒成立，满足条件时(4m )28(4m )0，解得4 m4.当 m4 时，f(x)2x 2，g(x) 4 x，对 x0 时不满足条件，当 m4 时， f(x)2(x2) 2，g(x)4x，由两个函数图像(图略)知满足条件，所以由排除法知选 C.15已知 f(x)ax 2bx c 的图像过点( 1,0)，是否存在常数 a，b，c ，使不等式 xf (x)对一切实数 x 均成立？1 x22解 假设存在常数 a，b，c，使题设命题成立因为 f(x)的图像过点(1,0)，所以 abc0.因为 xf(x) 对一切 xR 均成立，1 x22所以当 x1 时，也成立，即 1abc1，故有 abc1.所以 b ，c a.12 12所以 f(x)ax 2 x a.故应 xax 2 x a 对一切 xR 成立，12 12 12 12 1 x22即Error!恒成立Error!即Error!所以 a ，14所以 c a .12 14所以存在一组常数：a ，b ，c ，14 12 14使不等式 xf(x ) 对一切实数 x 均成立1 x22