2019年北师大版数学选修1-1讲义：1.4 逻辑联结词“且”“或”“非”

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1、4 逻辑联结词“且” “或” “非”学习目标 1.了解联结词“且” “或” “非”的含义.2.会用联结词“且” “或” “非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假知识点一 含有逻辑联结词“且” “或”的命题思考 观察四个命题：12 能被 3 整除；12 能被 4 整除；12 能被 3 整除且能被 4 整除；12 能被 3 整除或 12 能被 4 整除请分析命题与命题分别有什么关系？答案 是由、用“且”联结而成的；是由、用“或”联结而成的梳理 (1)用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作 p 且 q.(2)用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得

2、到一个新命题，记作 p 或 q.知识点二 含有逻辑联结词“非”的命题思考 对“整数 a 是偶数”的否定该如何写呢？答案 整数 a 不是偶数梳理 一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新命题，记作綈 p，读作“非 p”一个命题p 与这个命题的否定綈 p，必然一个是真命题，一个是假命题一个命题的否定的否定仍是原命题知识点三 含有逻辑联结词“且” “或” “非”的命题的真假1含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：(1)“p 且 q”形式命题：当命题 p，q 都是真命题时，p 且 q 是真命题；当 p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p 且 q 是假命题(2)“p 或 q”形式命题：当 p，q 两

3、个命题中有一个命题是真命题时， p 或 q 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，p 或 q 是假命题(3)“綈 p”形式命题：当 p 为真命题时，綈 p 为假命题；当 p 为假命题时，綈 p 为真命题2命题真假判断的表格如下：p q p 或 q p 且 q 非 p真 真 真 真 假真 假 真 假 假假 真 真 假 真假 假 假 假 真即“p 且 q”一假即假，全真方真；“p 或 q”一真即真，全假方假；p 与“非 p”真假相对1逻辑联结词“且” “或”只能出现在命题的结论中( )2 “p 或 q 为假命题”是“p 为假命题”的充要条件( )3 “梯形的对角线相等且平分”是“p 或 q”形

4、式的命题( )4命题的否定与否命题是两个不同的概念( )类型一 利用逻辑联结词构造新命题例 1 分别写出由下列命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的命题(1)p：6 是自然数；q：6 是偶数；(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：3 是 9 的约数；q：3 是 18 的约数解 (1)p 或 q：6 是自然数或是偶数p 且 q：6 是自然数且是偶数綈 p：6 不是自然数(2)p 或 q：菱形的对角线相等或互相垂直p 且 q：菱形的对角线相等且互相垂直綈 p：菱形的对角线不相等(3)p 或 q：3 是 9 的约数或是 18 的约数p 且 q：3 是 9 的

5、约数且是 18 的约数綈 p：3 不是 9 的约数反思与感悟 用逻辑联结词“且” “或” “非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形跟踪训练 1 分别写出下列命题构成的“p 且 q”“p 或 q”“非 p”形式的命题(1)p：函数 y3x 2 是偶函数，q：函数 y3x 2 是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：方程 x22x10 有两个相等的实数根，q：方程 x22x10 两根的绝对值相等解 (1)p 且 q：函数 y3x 2

6、是偶函数且函数 y3x 2 是增函数p 或 q：函数 y3x 2 是偶函数或函数 y3x 2 是增函数非 p：函数 y3x 2 不是偶函数(2)p 且 q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角p 或 q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角非 p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和(3)p 且 q：方程 x22x10 有两个相等的实数根且方程 x22x10 两根的绝对值相等p 或 q：方程 x22x 10 有两个相等的实数根或方程 x22x10 两根的绝对值相等非 p：方程 x22x 10 没有

7、实数根或有两个不相等的实数根类型二 含逻辑联结词的命题的真假判断例 2 指出下列命题中的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式命题的真假(1)p：3 是 13 的约数，q：3 是方程 x24x30 的解；(2)p：x 211，q：34；(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等解 (1)因为 p 假 q 真，所以“p 或 q”为真， “p 且 q”为假， “非 p”为真；(2)因为 p 真 q 假，所以“p 或 q”为真， “p 且 q”为假， “非 p”为假；(3)因为 p 假 q 假，所以“p 或 q”为假， “p 且 q”为假， “非 p”为真反思与感悟 判断含逻辑联结

8、词的命题真假的步骤(1)确定命题的形式(2)判断构成该命题的两个命题的真假(3)根据“p 或 q”“p 且 q”“綈 p”的真假性与命题 p，q 的真假性的关系作出判断跟踪训练 2 若(綈 p)或 q 是假命题，则( )Ap 且 q 是假命题Bp 或 q 是假命题Cp 是假命题D綈 q 是假命题答案 A解析 由于(綈 p)或 q 是假命题，则綈 p 与 q 均是假命题，所以 p 是真命题，綈 q 是真命题，所以 p 且 q 是假命题，p 或 q 是真命题，故选 A.类型三 逻辑联结词的应用例 3 已知 p：方程 x2mx10 有两个不等的负实数根；q：方程 4x24(m2)x 10无实数根，若

9、“p 或 q”为真命题，且“p 且 q”是假命题，求实数 m 的取值范围考点 “p 或 q”形式的命题题点 由命题 p 或 q，p 且 q 的真假求参数范围解 p：方程 x2mx10 有两个不等的负实数根Error!解得 m2.q：方程 4x24(m2)x10 无实数根16(m2) 2 162，q：10”是“x 20”的必要不充分条件，命题 q：ABC 中， “AB”是“sin Asin B”的充要条件，则( )Ap 真 q 假 Bp 且 q 为真Cp 或 q 为假 Dp 假 q 真考点 “且” “或”形式的命题题点 判断“p 或 q”“p 且 q”形式命题的真假答案 D解析 命题 p 假，命

10、题 q 真2给出下列命题：21 或 13；方程 x22x40 的判别式大于或等于 0；25 是 6 或 5 的倍数；集合 AB 是 A 的子集，且是 AB 的子集其中真命题的个数为( )A1 B2 C3 D4考点 “且” “或”形式的命题题点 判断“p 或 q”“p 且 q”形式命题的真假答案 D解析 由于 21 是真命题，所以“21 或 13”是真命题；由于方程 x22x 40 的 4160，所以“方程 x22x40 的判别式大于或等于0”是真命题；由于 25 是 5 的倍数，所以命题“25 是 6 或 5 的倍数”是真命题；由于 AB A，ABA B，所以命题“集合 AB 是 A 的子集，

11、且是 AB 的子集”是真命题3已知命题 p：1x|( x2)(x3)y，则x y，则x 0，且两根 Error!p 为真命题，q 为假命题，所以非 p 为假命题，非 q 为真命题；p 且 q 为假命题，p 或 q 为真命题，故选 C.4由下列各组命题构成的新命题“p 或 q”“p 且 q”都为真命题的是( )Ap：449，q：74Bp：aa，b，c ，q：a a，b，cCp：15 是质数，q：8 是 12 的约数Dp：2 是偶数，q：2 不是质数考点 “且” “或”形式的命题题点 判断“p 或 q”“p 且 q”形式命题的真假答案 B解析 “p 或 q”“p 且 q”都为真，则 p 真 q 真

12、，故选 B.5命题 p：点 P 在直线 y2x 3 上；命题 q：点 P 在曲线 yx 2 上，则使“p 且 q”为真命题的一个点 P(x，y) 是( )A(0，3) B(1,2)C(1，1) D(1,1)考点 “p 且 q”形式的命题题点 已知“p 且 q”命题的真假求参数答案 C解析 点(x，y)满足Error!解得 P(1，1)或 P(3，9)，故选 C.6给定两个命题 p，q，若綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 p 是綈 q 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案 A解析 因为綈 p 是 q 的必要不充分条件，所以 q綈 p 但綈 pq，所以

13、p綈 q 但綈 qp，故 p 是綈 q 的充分不必要条件7已知 p，q 是两个命题，若“綈(p 或 q)”是真命题，则 ( )Ap，q 都是假命题Bp，q 都是真命题Cp 是假命题且 q 是真命题Dp 是真命题且 q 是假命题考点 “綈 p”形式的命题的真假判断题点 判断“綈 p”命题的真假答案 A解析 由复合命题真值表得：若“綈(p 或 q)”是真命题，则 p 或 q 为假命题，则命题 p，q都是假命题8命题 p：若 a0，b0 ，则 ab1 是 ab2 的必要不充分条件，命题 q：函数 ylog 2的定义域是( ，2) (3，)，则( )x 3x 2Ap 或 q 为假 Bp 且 q 为真C

14、p 真 q 假 Dp 假 q 真考点 “且” “或”形式的命题题点 判断“p 或 q”“p 且 q”形式命题的真假答案 D解析 由命题 p：a0，b0 ，ab1 得 ab2 2，所以 p 为假命题；ab命题 q：由 0 得 x3，x 3x 2所以 q 为真命题9已知命题 p：“任意的 x1,2，都有 x2a” ，命题 q：“存在 xR ，使得x22ax2a0 成立” 若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( )Aa2 B20 ，命题 p 且 q 为假，p 或 q为真，则实数 a 的取值范围是_考点 “p 或 q”与“p 且 q”形式的命题题点 由命题“p 或 q”“p 且 q”

15、的真假求参数的范围答案 ( 12，0 12，1)解析 由 a20 恒成立知 16a 240 恒成立； q：a 28a200 恒成立，当 a0 时，不等式恒成立，满足题意当 a0 时，由题意得Error!解得 00)，若非 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_答案 (0,3解析 綈 p 即|4x |6，解得 x10 或 x10 或 x0 对一切 xR 恒成立”都是真命题由关于 x 的方程 ax22x 1 0 有解，得 a0 或Error!即 a0 或 a1 且 a0，所以 a1.由 ax2ax10 对一切 xR 恒成立，得 a0 或Error!即 a0 或 0a4，所以 0a4.由Error!得 0a1，故实数 a 的取值范围是0,1