2019年北师大版数学选修1-1讲义：3.3 计算导数

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1、3 计算导数学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数知识点一 导函数思考 对于函数 f(x)，如何求 f(1)，f ( x)？f ( x)与 f (1)有何关系？答案 f(1) .limx 0f1 x f1xf(x) .limx 0fx x fxxf(1)可以认为把 x1 代入导数 f(x) 得到的值梳理 如果一个函数 f(x)在区间(a，b) 上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f(x) ，f ( x) ，则 f(x)是关于 x 的函数，称 f(x) 为 f(x)的导函数，通常也简称为limx 0 fx x fxx导数.区别 联系f(x 0)

2、f( x0)是具体的值，是数值f(x)f(x)是 f(x)在某区间 I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数在 xx 0 处的导数 f(x 0)是导函数f(x)在 xx 0 处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值知识点二 导数公式表函数 导函数yc(c 是常数) y0y x ( 为实数 ) yx 1ya x (a0，a1) ya xln aye x y exylog ax(a0，a1) y1xln ayln x y1xysin x ycos xycos x ysin xytan x y1cos2xycot x y1sin2x1函数 f(x)

3、与 f(x )的定义域相同( )2求 f(x 0)时，可先计算出 f(x0)，再对 f(x0)求导( )3求 f(x 0)时，可先求出 f(x)，再求 f(x)在 xx 0 处的函数值 ( )类型一 利用导函数求某点处的导数例 1 求函数 f(x)x 23x 的导函数 f(x) ，并利用 f(x) 求 f(3) ，f(1)考点 导函数题点 利用导函数求某点处的导数解 f(x) limx 0fx x fxx limx 0 x x2 3x x x2 3xx (x2x 3) 2x3，limx 0即 f(x )2x3，f(3)2333，f(1)2 (1)35.反思与感悟 f(x 0)是 f(x )在

4、xx 0 处的函数值计算 f(x 0)可以直接使用定义，也可以先求 f(x )，然后求 f(x )在 xx 0 处的函数值 f( x0)跟踪训练 1 求函数 yf( x) 5 的导函数 f( x)，并利用 f(x) ，求 f(2) 1x考点 导函数题点 利用导函数求某点处的导数解 yf(xx )f(x ) 51x x (1x 5) ， xx xx ，yx 1x xxf(x ) .limx 0yx lim x 0 1x xx 1x2f(2) .14类型二 导数公式表的应用例 2 求下列函数的导数(1)ysin ；3(2)yx ；x(3)ylog 3x；(4)y ；sin x2cos2 x2 1(

5、5)y5 x.考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数导数公式的应用解 (1)y0.(2)因为 yx ，x32所以1().x(3)y(log 3x) .1xln 3(4)因为 y tan x，sin x2cos2 x2 1 sin xcos x所以 y(tan x) .1cos2x(5)y(5 x)5 xln 5.反思与感悟 对于教材中出现的 8 个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如 sin 是常数，而常数的导数一定为零，就不3 32会出现 cos 这样的错误结果二是准确记忆，灵活变形如根式、分式可先转化(sin3) 3为指数式，再利用公

6、式求导跟踪训练 2 求下列函数的导数(1)y(1 ) ；x(1 1x) x(2)yx 13；考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数导数公式的应用解 (1)y(1 ) x(1 1x) x ，1 xx x 1x 23.y(2)y(x 13)13x 131 13 x12.类型三 导数公式的综合应用命题角度 1 利用导数公式求解切线问题例 3 已知点 P(1,1) ，点 Q(2,4)是曲线 yx 2 上两点，是否存在与直线 PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由考点 基本初等函数的导数公式题意 利用导数公式求解切线问题解 因为 y( x2)2x，假设存在与直线 PQ 垂直的切线

7、设切点为(x 0，y 0)，由 PQ 的斜率为 k 1，4 12 1而切线与 PQ 垂直，所以 2x01，即 x0 .12所以切点为( ， )12 14所以所求切线方程为 y (1)(x )，14 12即 4x4y10.引申探究若本例条件不变，求与直线 PQ 平行的曲线 yx 2 的切线方程解 因为 y( x2)2x，设切点为 M(x0，y 0)，由 PQ 的斜率为 k 1，4 12 1而切线平行于 PQ，所以 2x01，即 x0 .12所以切点为 M .(12，14)所以所求切线方程为 y x ，即 4x4y10.14 12反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用(1)切点处的导

8、数是切线的斜率(2)切点在切线上(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决跟踪训练 3 (1)若直线 l 过点 A(0，1)且与曲线 yx 3 切于点 B，求 B 点坐标(2)若直线 l 与曲线 yx 3 在第一象限相切于某点，切线的斜率为 3，求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积解 (1)y3x 2，设 B(x0，x )(x00)，30则切线斜率 k3x .20又直线 l 过点(0，1)，k .x30 1x03x ，20x30 1x02x 1，x 0 ，x ，30312 30 12B .(312，12)(2)设切点为(x 0，x )(x00)，则该切线斜率为 3x ，30 203x 3，x

9、01，则切点为(1,1)20直线 l 的方程为 y13( x1) 直线 l 与坐标轴的交点分别为 (0，2)， ，(23，0)直线 l 与坐标轴围成的三角形面积S |2| .12 23 23命题角度 2 利用导数公式求解参数问题例 4 已知直线 ykx 是曲线 yln x 的切线，则 k 的值等于( )Ae BeC. D1e 1e考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题答案 C解析 y(ln x ) .1x设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为 yy 0 (xx 0)，1x0即 y ln x 01.xx0直线 ykx 过原点，ln x 010，得 x0e，k .1e反思

10、与感悟 解决利用导数公式求解参数问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程跟踪训练 4 已知函数 f(x) ，g(x)aln x，aR ，若曲线 yf (x)与曲线 yg( x)相交，且x在交点处有相同的切线，求 a 的值考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题解 设两曲线的交点为(x 0，y 0)，由题意知，f(x 0)g(x 0)，即120,a即 120,x点(x 0，y 0)为两曲线的交点， aln x0，x0由可得 x0e 2，将 x0e 2 代入得 a .e21下列结论：(sin x)cos x ； ；(ln x) .523()x1x

11、其中正确的有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数的导数公式的应用答案 C解析 5233(),x错误，故选 C.2函数 f(x) ，则 f(3) 等于( )xA. B036C. D.12x 32答案 A解析 f(x)( ) ，f (3) .x12x 123 363设函数 f(x)log ax，f(1)1，则 a .考点 基本初等函数的导数公式题点 指数函数、对数函数的导数答案 1e解析 f(x) ，1xln a又 f(1) 1，a .1ln a 1e4在曲线 y 上一点 P 处的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为 1x考点 基本初等函数的导数

12、公式题点 利用导数公式求解切线问题答案 或(12，2) ( 12， 2)解析 设 P(x0，y 0)，y ，则 4，1x2 1x20得 x0 .12当 x0 时，y 02.12当 x0 时，y 02，12点 P 的坐标为 或 .(12，2) ( 12， 2)5曲线 ye x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题答案 e212解析 y(e x)e x，ke 2，曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 ye 2e 2(x2)，即 ye 2xe 2.当 x0 时，ye 2，当 y0 时，x1.S 1| e2| e2.12 121

13、利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归2有些函数可先化简再求导如求 y12sin 2 的导数因为 y12sin 2 cos x，所以x2 xy(cos x)sin x.3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化一、选择题1下列结论中正确的个数为( )yln 2，则 y ；yf (x) ，则 f(3) ；12 1x2 227y2 x，则 y2 xln 2； ylog 2x，则 y .1xln 2A0 B1 C2 D3考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数的导数公

14、式的应用答案 D解析 中 yln 2 为常数，所以 y0.错2已知 f(x) ，则 f 等于( )1x (f (15)A25 B125C. D25125考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用答案 B解析 因为 f(x) ，所以 f(x) .故 f 25，f f(25) .1x 1x2 (15) (f (15) 1253下列函数中，导函数是奇函数的是( )Aysin x Bye xCy ln x Dycos x考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦、余弦函数的导数答案 D解析 A 中，ycos x ；B 中，ye x；C 中，y ；D 中，ysin x.1x4若 f(x)x 3，f

15、( x0)3，则 x0 的值是( )A1 B1C1 D3 3考点 基本初等函数的导数公式题点 常数、幂函数的导数答案 C解析 f(x 0)3x 3，x 01.205设曲线 yax 2 在点(2,4a)处的切线与直线 4xy40 垂直，则 a 等于( )A B.18 18C D.116 116考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题答案 C解析 由题意知切线的斜率是 ，14y2ax，4a ，得 a .14 1166已知直线 ykx 是曲线 y ex的切线，则实数 k 的值为( )A. B1e 1eCe De答案 D解析 ye x，设切点为(x 0，y 0)，则Error! x0

16、，0xx 01，ke.7设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是( )A. B0 ，)0，4 34，)C. D. 4，34 0，4 2，34答案 A解析 (sin x) cos x ，k lcos x，1k l1， l .0，4 34，)8设 f0(x)sin x，f 1(x)f 0(x)，f 2(x)f 1(x)，f n1 (x)f n(x)，nN，则 f2 018(x)等于( )Asin x Bsin xCcos x Dcos x考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦余弦函数的导数答案 B解析 f 1(x)f 0(x)(sin x

17、) cos x，f2(x)f 1(x)(cos x)sin x，f3(x)f 2(x)(sin x) cos x，f4(x)(cos x)sin x ，f5(x)(sin x)f 1(x)，f6(x)f 2(x)，fn4 (x)f n(x)，可知周期为 4，f 2 018(x)f 50442 (x)sin x .二、填空题9已知 f(x) ，g(x)mx 且 g(2) ，则 m .1x 1f 2考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用答案 4解析 f(x) ，g( x)m ，f (2) ，1x2 14又 g(2) ，m4.1f 210设曲线 ye x在点(0,1)处的切线与曲线 y

18、 (x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 1x考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题答案 (1,1)解析 因为 ye x，所以曲线 ye x在点(0,1)处的切线的斜率 k1e 01.设 P(m，n)，y (x0)的导数为 y (x0)，1x 1x2曲线 y (x0)在点 P 处的切线斜率 k2 (m0)1x 1m2因为两切线垂直，所以 k1k21，所以 m1，n1，点 P 的坐标为 (1,1)11已知 f(x)cos x，g( x)x，则关于 x 的不等式 f(x)g( x)0 的解集为 考点 基本初等函数的导数公式题点 基本初等函数导数公式的应用答案 xx 2

19、 2k，k Z解析 f(x)sin x ，g (x)1，由 f(x )g(x)0，得sin x10，即 sin x1，则 sin x1，解得 x 2k ，kZ，2其解集为 .xx 2 2k，k Z三、解答题12已知曲线 y5 (x0) ，求：x(1)曲线上与直线 y2x4 平行的切线方程；(2)过点 P(0,5)，且与曲线相切的切线方程考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题解 (1)设切点为(x 0，y 0)，由 y5 ，得曲线在 xx 0 处的切线的斜率 k .x52x0因为切线与直线 y2x 4 平行，所以 2，52x0解得 x0 ，所以 y0 .2516 254故所求

20、切线方程为 y 2 ，254 (x 2516)即 16x8y250.(2)因为点 P(0,5)不在曲线 y5 上，x所以设切点坐标为 M(x1，y 1)，则切线斜率为 (x10)，52x1又因为切线斜率为 ，y1 5x1所以 ，52x1 y1 5x1 5x1 5x1解得 x14( x10 舍去)所以切点为 M(4,10)，斜率为 ，54故切线方程为 y10 (x4)，54即 5x4y200.13点 P 是曲线 ye x上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离考点 基本初等函数的导数公式题点 利用导数公式求解切线问题解 如图，当曲线 ye x在点 P(x0，y 0)处的切线与直线 yx 平

21、行时，点 P 到直线 yx 的距离最近则曲线 ye x在点 P(x0，y 0)处的切线斜率为 1，又 y(e x)e x，所以 1，得 x00，0代入 ye x，得 y01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为 .22四、探究与拓展14设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xe x，则 f(1) 等于( )A1 B2C3 D4考点 基本初等函数的导数公式题点 指数函数、对数函数的导数答案 B解析 设 ext，则 xln t(t0) ，f(t)ln tt， f( t) 1，f(1)2.1t15已知抛物线 yx 2，直线 xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解 根据题意可知与直线 xy20 平行的抛物线 yx 2 的切线，对应的切点到直线xy20 的距离最短，设切点坐标为(x 0，x )，则 k2x 01，20所以 x0 ，12所以切点坐标为 ，(12，14)切点到直线 xy 20 的距离d ，|12 14 2|2 728所以抛物线上的点到直线 xy20 的最短距离为 .728