2019年北师大版数学选修1-1讲义：3.1 变化的快慢与变化率

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1、1 变化的快慢与变化率学习目标 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度知识点一 函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考 1 怎样理解从点 A 到点 B 自变量 x 的增量、函数值 y 的增量？答案 (1)自变量的增量：用 x 表示，即 xx 2x 1，表示自变量相对于 x1 的“增加量” (2)函数值的增量：用 y 表示，即 yf (x2)f (x1)，也表示为 f(x1x) f (x1)，表示函数值在 x1 的“增加量” (3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是 0，比如常数函数，其函数值的增量就是 0.思考 2 函数

2、 f(x)在区间x 1，x 2上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？答案 (1)yf(x )在区间x 1，x 2上的平均变化率是曲线 y f(x)在区间x 1，x 2上陡峭程度的“数量化” ，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)平均变化率的绝对值越大，曲线 yf(x)在区间x 1，x 2上越“陡峭” ，反之亦然梳理 函数的平均变化率的定义及作用(1)定义：对一般的函数 yf(x)来说，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为 .fx2 fx1x2 x1其中自变量的变化 x2x 1 称作自变量的改变量，记作 x，函数值的

3、变化 f(x2)f(x 1)称作函数值的改变量，记作 y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 .yx fx2 fx1x2 x1(2)作用：刻画函数值在区间x 1，x 2上变化的快慢知识点二 瞬时变化率思考 瞬时速度与平均速度有何区别？答案 瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢梳理 瞬时变化率的定义及作用(1)定义：对于一般的函数 yf(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，若设x x1x 0，yf(x 1)f (x0)，则函数的平均变化率是 .而yx fx1 fx0x1 x0 fx0 x fx0

4、x当 x 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢对于函数 yf(x )，当 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，若记 xx 2x 1，yf(x 2)f(x 1)，则1 x 可正，可负，可为零( )2函数 yf(x)的平均变化率为 .( )yx fx2 fx1x2 x1 fx1 x fx1x3函数 yf(x)的平均变化率为 .( )yx fx1 fx2x1 x2 fx2 x fx2 x4当 x 趋于 0 时， 就趋于函数在 x1 处的瞬时变化率( )yx类型一 函数的平均变化率例 1 求函数 yf( x)x

5、 2 在 x 分别从 1 到 1x,2 到 2x,3 到 3x 的平均变化率，当x 都为 时，哪一点附近的平均变化率最大？13考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率解 在 x1 附近的平均变化率为k1 f1 x f1x 1 x2 1x2x；在 x2 附近的平均变化率为k2 f2 x f2x 2 x2 22x4x；在 x3 附近的平均变化率为k3 f3 x f3x 3 x2 32x6x.当 x 时，k 12 ，13 13 73k24 ，k 36 .13 133 13 193由于 k10)竖直上抛的物体， t 秒时的高度 s 与 t 的函数关系为 sv 0t gt2，求12物体在 t0 时刻处的

6、瞬时速度考点 瞬时变化率的概念题点 瞬时速度解 因为 sv 0(t0t) g(t0t) 212 (v0t0 12gt20)(v 0gt 0)t g(t)2，12所以 v0gt 0 gt.st 12当 t 趋于 0 时， 趋于 v0gt 0，st故物体在 t0 时刻处的瞬时速度为 v0gt 0.反思与感悟 1.求瞬时速度的步骤(1)求位移改变量 ss(t 0 t)s( t0)(2)求平均速度 v .st(3)当 t 趋于 0 时，平均速度 趋于瞬时速度st2求当 x 无限趋近于 0 时， 的值yx(1)在表达式中，可把 x 作为一个数来参加运算(2)求出 的表达式后，x 无限趋近于 0，就是令

7、x0，求出结果即可yx跟踪训练 2 一质点 M 按运动方程 s(t)at 21 做直线运动( 位移单位：m ，时间单位：s) ，若质点 M 在 t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值考点 瞬时变化率的概念题点 瞬时速度解 质点 M 在 t2 时的瞬时速度即为函数 s(t)在 t2 处的瞬时变化率质点 M 在 t2 附近的平均变化率 4aat，st s2 t s2t a2 t2 4at当 t 趋于 0 时， 趋于 4a，st4a8，得 a2.1已知函数 f(x)，当自变量由 x0 变化到 x1 时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( )A在 x0 处的变化率B在区间 x

8、0，x 1上的平均变化率C在 x1 处的变化率D以上结论都不对考点 平均变化率的概念题点 平均变化率概念的理解答案 B解析 ，由平均变化率的定义可知，故选 B.yx fx1 fx0x1 x02一物体的运动方程是 s(t) 32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是( )A0.4 B2C0.3 D0.2考点 平均变化率的概念题点 求平均速度答案 B解析 2.s2.1 s22.1 2 3 22.1 3 220.13物体运动时位移 s 与时间 t 的函数关系是 s(t)4t 216t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )At1 Bt2Ct3 Dt4考点 瞬时变化率的概念题点 瞬时

9、速度答案 B解析 设此物体在 t0 时刻的瞬时速度为 0， 8t 0164t，st st0 t st0t当 t 趋于 0 时， 趋于8t 016，st令8t 0160，解得 t02.4球的半径从 1 增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为_考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 283解析 y 23 13 ，43 43 283球的体积平均膨胀率为 .yx 2835设函数 f(x)3x 22 在 x01,2,3 附近 x 取 时的平均变化率分别为 k1，k 2，k 3，比较12k1，k 2，k 3 的大小考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率解 函数在x 0，x 0x 上的平均变化率为

10、 6x03x.当 x01，x 时，函数在1,1.5上的平均变化率为12k16130.57.5；当 x02，x 时，函数在2,2.5上的平均变化率为12k26230.513.5；当 x03，x 时，函数在3,3.5上的平均变化率为12k36330.519.5，所以 k1k2Ck 1 k2 D无法确定考点 平均变化率的概念题点 平均变化率概念的理解答案 D解析 k 1 2x0 x，k 2 2x 0 x，而 x 可正可负，故fx0 x fx0x fx0 fx0 xxk1，k 2 大小关系不确定7如果函数 yf( x)ax b 在区间1,2上的平均变化率为 3，则( )Aa3 Ba3Ca2 Da 的值

11、不能确定考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 B解析 a3.yx f2 f12 18一个物体的运动方程是 s2t 2at 1，该物体在 t1 时的瞬时速度为 3，则 a 等于( )A1 B0C1 D7考点 瞬时变化率的概念题点 瞬时速度答案 A解析 st s1 t s1t21 t2 a1 t 1 2 a 1ta42t，当 t 趋于 0 时，a42t 趋于 a4，由题意知 a43，得 a1.二、填空题9汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图像如图所示，在时间段t 0，t 1，t 1，t 2，t 2，t 3上的平均速度分别为 1， 2， 3，则三者的大小关系为_v v v考点 平

12、均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 1 2 3v v v解析 1k OA， 2k AB， 3k BC，v v v由图像知，k OAkABkBC，所以 1 2 3.v v v10函数 f(x) 2 在 x1 处的瞬时变化率为_1x2考点 瞬时变化率的概念题点 瞬时速率答案 2解析 y 2( 2)11 x2 112 1 ，11 x2 2x x21 x2 ，当 x 趋于 0 时， 趋于2.yx 2 x1 x2 yx11若一物体的运动方程为 s7t 28，则其在 t_ 时的瞬时速度为 1.答案 114解析 7t 14t，st 7t t2 8 7t2 8tt 趋于 0 时， 趋于 14t，即 14

13、t1，t .st 11412函数 f(x)x 2x 在区间2，t 上的平均变化率为 2，则 t_.考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 5解析 函数 f(x)x 2x 在区间 2，t 上的平均变化率是 2，yx ft f 2t 2 t2 t 22 2t 2即 t2t62t4，t 23t 100，解得 t5 或 t2(舍去)所以当函数 f(x)x 2x 在区间 2，t 上的平均变化率是 2 时，t 的值是 5.三、解答题13若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)sError!求：(1)物体在 t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度 v0；(3)物体在 t1 时的瞬时速

14、度考点 变化率的概念题点 瞬时速度解 (1)物体在 t3,5内的时间变化量为t 532，物体在 t3,5内的位移变化量为s 3522(33 22)3(5 23 2)48，物体在 t3,5内的平均速度为 24 m/s.st 482(2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t0 时的瞬时速度物体在 t0 附近的平均变化率为 3t18，st f0 t f0t 29 30 t 32 29 30 32t当 t 趋于 0 时， 趋于18，st物体在 t0 处的瞬时变化率为 18，即物体的初速度为18 m/s.(3)物体在 t1 时的瞬时速度即为函数在 t1 处的瞬时变化率物体在 t1 附近的平均变化率为 s

15、t f1 t f1t 3t 12.29 31 t 32 29 31 32t当 t 趋于 0 时， 趋于12，st物体在 t1 处的瞬时变化率为 12.即物体在 t1 时的瞬时速度为 12 m/s.四、探究与拓展14.甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A甲 B乙C相同 D不确定考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 B解析 在 t0 处，虽然 W1(t0)W 2(t0)，但是在 t0t 处，W 1(t0t)W 2(t0t)，即 ，|W1t0 W1t0 tt | |W2t0 W2t0 tt |所以在相同时间 t 内，甲厂比乙厂的平均治污率小所以乙厂的治污效果较好15物体的运动方程是 s (位移单位：m，时间单位：s)，求物体在 t1 s 时的瞬时速t 1度解 s ，1 t 1 1 1 2 t 2 ，st 2 t 2t 2 t 2 2 t 2t 2 t 2 12 t 2当 t 趋于 0 时， 趋于 .st 24物体在 t1 s 时的瞬时速度为 m/s.24