2019年北师大版数学选修1-1讲义：4.1.1 导数与函数的单调性

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1、1 函数的单调性与极值11 导数与函数的单调性学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明) 函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一 导函数的符号与函数的单调性的关系思考 1 f(x) x 2 在( ，0) 上是减少的，在(0，)上是增加的，那么 f(x)在( ，0)，(0，) 上的函数值的大小如何？答案 当 x(，0)时，f(x)0.思考 2 yf(x)在区间( a，b) 上的单调性与 yf(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？答案 在区间(a，b)上，f(x )0，则 f(x)在(a，b)上是增加的；在区间(a，b)

2、上，f( x)0 增加的f (x)0，则 f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似 )(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b) 都有 f( x)0 且在(a，b) 内的任一非空子区间上 f(x) 不恒为 0.知识点二 函数的变化快慢与导函数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下) ；反之，函数的图像就 “平缓”一些1函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓” ( )2函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ( )3函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数

3、的绝对值越大( )4若 f(x)在区间(a，b)上可导，则“f ( x)0”是“f (x)在(a，b)上是增加的”的充要条件( )5若 f(x)的图像在a，b上是一条连续曲线，且 f(x)在( a，b) 上 f( x)0，解得 x2；由 f(x )0，解得30，即 2 0，3x2 1x解得 x .33令 f(x )0 和 f(x )0 的区间为递增区间，定义域内满足 f( x)0，(x2) 20.由 f(x )0，得 x3，所以函数 f(x)的递增区间为(3，) ；由 f(x )0 时，函数的递增区间为 ，递减区间为 .(1k， ) (0，1k)2若 f(x)kxln x 在区间(1，)上不单

4、调，则 k 的取值范围是_答案 (0,1)解析 由引申探究 1 知 k0，且 1，1k则 00(或 f(x)0，f(x)的递增区间为(0，)；当 a0，解得 x2，所以 f(x)的递增区间是(2，) 2若 f(x)x 22x 4ln x，则函数的递增区间为( )A(0，) B( 1,0)(2，)C(2，) D(1,0)答案 C解析 由已知得函数的定义域为(0，) ，f ( x)2x2 ，4x 2x2 2x 4x由 f(x )0，可得 x2x20，得 x2.3若函数 f(x)x 32x 2mx1 在(，) 上是增加的，则 m 的取值范围是( )Am Bm43 43Cm Dm 0.5已知 a0 且

5、 a1，证明：函数 ya xxln a 在(，0)上是减少的考点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定(证明)函数的单调性证明 ya xln aln aln a(a x1) ，当 a1 时，因为 ln a0，a x1，所以 y0 和 f(x)0)( 33，33) 1x故函数在(1，)上是减少的，在(0,1)上是增加的故选 B.2函数 yf(x)x cos xsin x 的递增区间为( )A. B.(2，32) (，2)C. D.(32，52) (2，3)考点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定函数的单调性答案 B解析 ycos xx sin xcos xxsin x ，若 yf(

6、x) 在某区间内是增加的，只需在此区间内 y0 恒成立即可，只有选项 B 符合题意，当 x(，2)时，y0 恒成立3函数 f(x)xln x 的递减区间为( )A(，1 B1 ，)C(0,1 D(0，)考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间答案 C解析 f(x)1 (x0)，令 f(x)0，解得 00，所以在(4,5)上 f(x)是增函数5函数 f(x)ax 3x 在 R 上是减少的，则( )Aa0 Ba0 时，显然不符合题意，当 a0 时，成立故 a0.6已知函数 yxf (x )的图像如图所示，选项中的四个图像能大致表示 yf(x) 的图像的是( )答案 C解析 由题图可知

7、，当 x1 时，xf(x)0，所以 f(x)0，此时原函数是增加的，图像应是上升的；当1x0 时，xf(x)0，所以 f(x)0，此时原函数为是减少的，图像应是下降的；当 0x1 时，xf(x)0，所以 f(x)0，此时原函数是减少的，图像应是下降的；当 x1 时，xf (x )0，所以 f(x)0，此时原函数是增加的，图像应是上升的由上述分析可知选 C.7已知函数 f(x)在定义域 R 上为增函数，且 f(x)0，则 g(x)x 2f(x)在(，0)内的单调情况一定是( )A减少的 B增加的C先增加后减少 D先减少后增加考点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定(证明)函数的单调性答案

8、 B解析 因为函数 f(x)在定义域 R 上是增加的，所以 f(x) 0 在 R 上恒成立又因为 g(x) 2xf( x)x 2f( x)，所以当 x(，0)时，g (x)0 恒成立，所以 g(x)x 2f(x)在(，0)内是增加的8若 f(x) ，ef( b)Bf(a)f( b)Cf(a)1考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 A解析 因为 f(x ) ，1xx ln xx2 1 ln xx2当 x(e，)时，1ln x f(b)，故选 A.二、填空题9已知函数 f(x)ke x1 x x2(k 为常数)，曲线 yf (x)在点(0，f(0)处的切线与 x 轴平行，12则

9、 f(x)的递减区间为_考点 利用导数研究函数的单调性题点 含参数的函数求单调区间答案 (，0)解析 f(x) ke x1 1x ，曲线 yf(x) 在点(0 ，f(0) 处的切线与 x 轴平行，f(0)ke 110，解得 ke，故 f(x )e xx1.令 f(x )2 时，g(x)0，即 g(x)在(2，)上是增加的，m2 .12 5211函数 f(x)的图像如图所示，f(x)为函数 f(x)的导函数，则不等式 0，故不等式 0)6x 2x 1x 3x当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，)f(x ) 0 0 f(x) f(x)的递增区间为(0,1) 和(3 ，)，f(x)的递减区间为(1,3)要使函数 f(x)在区间 上是单调函数，(1，m 12)则Error! 解得 g(1)f(0)Cf(1) g(0)g(1)f(0)Df(1)g(0)h(1)，即 f(0)g(0)f (1)g(1)，所以 f(1)g(0)0，求证：x sin x.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式证明 设 f(x)xsin x(x0)，则 f(x) 1cos x0 对 x(0，)恒成立，函数 f(x)xsin x 在 (0，)上是增加的，又 f(0)0，f(x)0 对 x(0，)恒成立，xsin x(x0)