2019年北师大版数学选修1-1讲义：4.1.2 函数的极值

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1、1.2 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一 函数的极值点与极值的概念思考 观察函数 f(x) x32x 的图象13f( )的值是多少？在 x 左、右两侧的 f(x)有什么变化？2 2f( )的值是多少，在 x 左、右两侧的 f(x)又有什么变化？2 2答案 f( )0，在 x 的左侧 f(x)0，在 x 的右侧 f(x )0.2 2 2梳理 (1)如图 1，在包含 x0 的一个区间(a，b) 内，函数 yf(x) 在任何一点的函数值都小于或等于 x0 点的函数值，称点 x0

2、 为函数 yf(x)的极大值点，其函数值 f(x0)为函数的极大值(2)如图 2，在包含 x0 的一个区间(a，b) 内，函数 yf (x)在任何一点的函数值都大于或等于x0 点的函数值，称点 x0 为函数 yf(x)的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值(3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点知识点二 函数极值的判定1单调性判别：(1)如果函数 yf(x )在区间(a， x0)上是增加的，在区间(x 0，b)上是减少的，则 x0 是极大值点，f(x0)是极大值(2)如果函数 yf(x )在区间(a， x0)上是减少的，在区间(x 0，b)上是增加的，则 x0 是

3、极小值点，f(x0)是极小值2图表判别：(1)极大值的判定：x (a，x 0) x0 (x0，b)f(x ) 0 yf(x) 增加 极大值 减少(2)极小值的判定：x (a，x 0) x0 (x0，b)f(x ) 0 yf(x) 减少 极小值 增加知识点三 求函数 yf( x)的极值的步骤1求出导数 f(x )2解方程 f(x )0.3对于方程 f(x )0 的每一个解 x0，分析 f( x)在 x0 左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若 f(x) 在 x0 两侧的符号为“左正右负” ，则 x0 为极大值点；(2)若 f(x) 在 x0 两侧的符号为“左负右正” ，则

4、 x0 为极小值点；(3)若 f(x) 在 x0 两侧的符号相同，则 x0 不是极值点1导数值为 0 的点一定是函数的极值点( )2在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行( )3函数 f(x) 无极值( )1x4定义在a，b上的连续函数 f(x)若有极值 f(x0)，则 x0(a，b) ( )5函数的极值点一定是其导函数的变号零点( )类型一 求函数的极值例 1 求下列函数的极值(1)f(x)2x 33x 212x 1；(2)f(x)x 22ln x .考点 函数的极值与导数的关系题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)函数 f(x)2x 33x 212x1 的定义域为 R，f(x)6x 2

5、6x 126(x 2)(x1)，解方程 6(x2)(x1)0，得 x12，x 21.当 x 变化时，f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x( ，2)2 ( 2,1) 1 (1，)f(x) 0 0 f(x) 极大值 21 极小值6 所以当 x2 时，f( x)取极大值 21；当 x1 时，f(x)取极小值6.(2)函数 f(x)x 22ln x 的定义域为(0 ，)，f(x)2x ，2x 2x 1x 1x解方程 0，2x 1x 1x得 x11，x 21(舍去)当 x 变化时，f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，)f(x ) 0 f(x) 极小值 1 因此当 x1

6、 时，f( x)有极小值 1，无极大值反思与感悟 求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数 f(x)(2)求 f(x)的拐点，即求方程 f(x)0 的根(3)利用 f(x) 与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值特别提醒：在判断 f(x )的符号时，借助图像也可判断 f( x)各因式的符号，还可用特殊值法判断跟踪训练 1 已知函数 f(x)e x(axb) x 24x，曲线 yf (x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值考点 函数的极值与导数的关系题点

7、不含参数的函数求极值问题解 (1)f(x) ex(axb)ae x2x4e x(axab)2x 4，f(0)ab44，又 f(0)b4，由可得 ab4.(2)f(x)e x(4x4)x 24x ，则 f(x )e x(4x8) 2x 44e x(x2) 2(x2)(x2)(4e x2)令 f(x )0，得 x12，x 2ln 2，当 x 变化时，f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x (，2) 2 (2， ln ln 2 (ln 2，)2)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)在( ，2)，( ln 2，)上是增加的，在(2，ln 2)上是减少的当 x2 时，函数 f(x)

8、取得极大值，极大值为 f(2)4(1 e 2 )类型二 已知函数极值求参数例 2 设 x1 与 x2 是函数 f(x)aln xbx 2x 的两个极值点(1)试确定常数 a 和 b 的值；(2)判断 x1，x2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解 (1)f(x) aln xbx 2x，f(x ) 2bx1.ax由题意可知 f(1)f(2) 0，Error!解方程组得 a ，b ，23 16经验证，当 a ，b 时，x1 与 x2 是函数 f(x)的两个极值点23 16f(x) ln x x2x.23 16(2)x1，x2 分别是函数 f(x)的极小值点，极大值点理由如下：f(

9、x) x1 x123 13 x1 .23x 13 x2 3x 23x x 1x 23x又f(x )的定义域为(0，) ，当 x(0,1)时，f(x )0；当 x(2 ，)时，f(x)0，此时 f(x)是增加的；当 x( 3，1)时，f(x)0，此时 f(x)是增加的故 f(x)在 x1 处取得极小值，a2，b9.(2)f(x) x 22xa，由题意得方程 x22x a0 有两个不同的实数根，4 4a0，解得 a0；当11 时，f(x )0.所以由 f(x)的单调性可知，f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.作出 f(x)的大致图像如图所示因为直线 ym

10、 与函数 yf(x)的图像有三个不同的交点，结合 f(x)的图像可知，m 的取值范围是(3,1) 引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解 由本例解析可知当 m 3 或 m1 时，直线 ym 与 yf(x)的图像有两个不同的交点；当 m1 时，直线 ym 与 yf(x)的图像只有一个交点反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与 x 轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便跟踪训练 3 已知函数 f(x)x 36x 29x 3，若函数 yf(

11、x)的图像与 y f( x)5xm 的13图像有三个不同的交点，求实数 m 的取值范围考点 函数极值的应用题点 函数的零点与方程的根解 由 f(x)x 36x 29x 3，可得 f(x) 3x 212x 9， f(x) 5xm (3x212 x9) 5x m13 13x 2x3m，则由题意可得 x36x 29x 3x 2x3m 有三个不相等的实根，即 g(x)x 37x 28x m 的图像与 x 轴有三个不同的交点g(x )3x 2 14x8(3x2)(x4) ，令 g(x) 0，得 x 或 x4.23当 x 变化时，g( x)，g( x)的变化情况如下表：x ( ，23) 23 (23，4)

12、 4 (4，)g(x) 0 0 g(x) m6827 16m 则函数 g(x)的极大值为 g m，极小值为 g(4)16m .(23) 6827由 yf(x) 的图像与 y f(x) 5x m 的图像有三个不同的交点，13得Error!解得16 Ba13 13Ca0，则 f(x)是增加的；当 x( 2,2)时，f(x)0 ，f(x)在(3，1)上为减少的，在(1,2) 上为增加的，不对；x1 是 f(x)的极小值点；当 x(2,4)时，f(x ) 时，f (x)0；当 00，解得 x3 或 x0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的递减区间为( )A(1,1) B( ，1)C(1，)

13、D(，1) 和(1，)考点 根据函数的极值求参数值题点 已知极值求参数答案 A解析 令 f(x )3x 23a0，得 x ，a令 f(x )0，得 x 或 x0)的极大值为 6，极小值为 2，f( )2，f ( )6，a a即 a 3a b2 且a 3a b6，a a a a得 a1，b4，则 f(x )3x 23，由 f( x)0，即 f( x)3 时，f(x)0，f(x)在 x1 处取到极小值故选 C.8已知 aR，且函数 ye xax( xR)有大于零的极值点，则 ( )Aa1 Ba1Ca Da1e 1e考点 函数极值的应用题点 极值存在性问题答案 A解析 因为 ye xax ，所以 y

14、e xa.令 y0，即 exa0，则 exa，即 xln(a)，又因为 x0，所以a1，即 a1.二、填空题9函数 yxe x 在其极值点处的切线方程为_考点 函数的极值与导数的关系题点 不含参数的函数求极值答案 y1e解析 令 ye xx ex(1x)e x0，得 x1，y ，1e函数 yxe x 在极值点处的切线方程为 y .1e10已知函数 f(x)ax 33x 26ax b 在 x2 处取得极值 9，则 a2b_.考点 根据函数的极值求参数值题点 已知极值求参数答案 24解析 f(x) 3ax 26x 6a，f(x)在 x2 处取得极值 9，Error!即Error!解得Error!a

15、2b24.11函数 f(x)x 36x a 的极大值为 _，极小值为_答案 a4 a42 2解析 f(x) 3x 26，令 f(x )0，得 x 或 x .2 2所以f( x)极大值 f( )a4 ，2 2f(x)极小值 f( )a4 .2 2三、解答题12.函数 f(x)x 3ax 2bx c 的图像如图所示，且与直线 y0 在原点处相切，函数的极小值为4.(1)求 a，b，c 的值；(2)求函数的递减区间考点 极值的应用题点 函数的极值在图像上的应用解 (1)函数的图像过原点，c0，即 f(x)x 3ax 2bx ，f(x )3x 22ax b.又函数 f(x)的图像与直线 y0 在原点处

16、相切，f(0)0，解得 b0，f(x )3x 22ax x (3x2 a)由 f(x )0，得 x0 或 x .2a3由题意可知当 x 时，函数取得极小值4.2a3 3a 24，( 23a) ( 23a)解得 a3，a3，bc0.(2)由(1)知 f(x)x 33x 2，且 f(x)3x(x2)，由 f(x )0，x 取足够小的负数时，有 f(x)0，即 a0 ，527a1，527当 a (1 ，)时，( ， 527)曲线 yf(x) 与 x 轴仅有一个交点四、探究与拓展14已知函数 f(x)x(ln xax) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )A(，0) B.(0，12)C(0,1

17、) D(0，)考点 根据函数的极值求参数值题点 已知极值求参数答案 B解析 由题意知，x0，f(x)ln x 12ax，由于函数 f(x)有两个极值点，则 f(x)0 有两个不等的正根，即函数 yln x1 与 y2ax的图像有两个不同的交点，则 a0.设函数 yln x1 的图像上任一点(x 0,1ln x 0)处的切线为 l，则 k1 ，1x0当 l 过坐标原点时， ，解得 x01，1x0 1 ln x0x0令 2a1a ，结合图像知，00，f(x)是增加的，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，又 f(1)1，所以 f(x)的极小值为 1，无极大值(2)k(x)f(x) h(x) x2ln xa( x0)，所以 k(x) 1 ，令 k(x)0，得 x2，2x令 k(x)0，得 0x2，所以 k(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的要使函数 k(x)在 1,3上恰有两个不同的零点，则需Error!所以 22ln 2a32ln 3.