2019年北师大版数学选修1-1讲义：第三章 变化率与导数 章末复习

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1、章末复习学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算1函数 yf(x)在 xx 0 处的导数(1)函数 yf(x)在 xx 0 处的瞬时变化率称为函数 yf(x)在 xx 0 处的导数，记作 f(x 0)，即f(x 0) .limx 0yx lim x 0fx0 x fx0x(2)函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f( x0)是曲线 yf (x)在点 P(x0，f (x0)处切线的斜率，在点 P处的切线方程为 yf( x0)f (x0)(xx 0)2导函数如果一个函数 f(x)在区间(a，b) 上的每一

2、点 x 处都有导数，导数值记为 f(x) ，f ( x)，则 f(x)是关于 x 的函数，称 f(x) 为 f(x)的导函数，通常也简称为导limx 0 fx x fxx数3导数公式表原函数 导函数f(x)c(c 是常数) f(x) 0f(x)x ( 为实数) f( x)x 1f(x)sin x f(x)cos xf(x)cos x f( x)sin xf(x)a x(a0，a1) f( x)a xln af(x)e x f (x)e xf(x)log ax(a0，a1) f( x)1xln af(x)ln x f(x) 1xf(x)tan x f(x)1cos2xf(x)cot x f( x

3、)1sin2x4导数的四则运算法则设两个函数 f(x)，g(x)可导，则和的导数 f(x)g(x) f(x )g (x)差的导数 f(x)g(x) f(x )g (x)积的导数 f(x)g(x)f(x )g(x)f(x )g(x)商的导数fxgx f xgx fxg xg2x1f(x 0)与(f(x 0)表示的意义相同 ( )2若 y ，则 y 3 .( )312 323因为(ln x) ，则 ln x( )1x (1x)类型一 导数几何意义的应用例 1 求过曲线 ysin x 上点 P 且与过这点的切线垂直的直线方程(6，12)解 ysin x，ycos x，曲线在点 P 处的切线斜率(6，

4、12)kcos ，6 32过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 ，23故所求的直线方程为 y (x )，12 23 6即 2x y 0.332 3反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程” ，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y 1)，由 f(x 1)和 y1f (x1)求出 x1，y 1 的值，转化为第一种类型y0 y1x0 x1跟踪训练 1 设函数 f(x) x3ax 29x 1( a0)，直线 l 是曲线 yf(x)的一

5、条切线，当 l 的13斜率最小时，直线 l 与直线 10xy6 平行(1)求 a 的值；(2)求 f(x)在 x3 处的切线方程考点 切线方程求解及应用题点 求曲线的切线方程解 (1)f(x)x 22ax9(xa) 2a 29，f(x )mina 29，由题意知a 2910，a1 或1(舍去) 故 a1.(2)由(1)得 a1.f(x )x 22x 9，则 kf(3)6，f(3) 10.f(x)在 x3 处的切线方程为 y106(x3)，即 6xy280.类型二 导数的计算例 2 求下列函数的导数：(1)yx 2ln xa x ；(2)y3 4 ；3x4 x3(3)y .cos xx2考点 导

6、数的运算法则题点 导数运算法则的应用解 (1)y(x 2ln x a x)(x 2)(ln x)(a x)2x a xln a.1x(2)y(3 4 )3x4 x3(3 )(4 )3x4 x32(1346x4 6 .3x x(3)y (cos xx2)cos x x2 cos xx2x4 sin xx2 cos x2xx4 .xsin x 2cos xx3反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点(1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则(2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数

7、的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导跟踪训练 2 求下列函数的导数：(1)y ；3x2 xx 5x 9x(2)y .cos 2xsin x cos x考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的应用解 (1)312259,yxx3122()5(9)yxx19 1.92x(1 1x2)(2)ycos 2xsin x cos xcos2x sin2xcos x sin xcos x sin x，y(cos xsin x)(cos x)(sin x)sin xcos x.类型三 导数的综合应用例 3 设函数 f(x)a 2x2(a0)，若函数

8、 yf(x)图像上的点到直线 xy30 距离的最小值为，求 a 的值2考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用解 因为 f(x)a 2x2，所以 f (x)2a 2x，令 f(x )2a 2x1，得 x ，此时 y ，12a2 14a2则点 到直线 xy30 的距离为 ，(12a2，14a2) 2即 ，解得 a 或 .2| 12a2 14a2 3|2 12 510反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练 3 已知直线 x2y40 与抛物线 y2x 相交于

9、A，B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点 P，使ABP 的面积最大AOB考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用解 设 P(x0，y 0)，过点 P 与 AB 平行的直线为 l，如图由于直线 x2y 40 与抛物线 y2x 相交于 A，B 两点，所以 |AB|为定值，要使ABP 的面积最大，只要 P 到 AB 的距离最大，而 P 点是抛物线的弧 上的一点，因此点 P 是抛AO物线上平行于直线 AB 的切线的切点，由图知点 P 在 x 轴上方， y ，y ，x12x由题意知 kAB .12k l ，即 x01，y 01.P(1,1).12x0 121下列说法正确的是( )A若 f(

10、x 0)不存在，则曲线 yf(x)在点( x0，f (x0)处就没有切线B若曲线 y f(x)在点(x 0，f(x 0)处有切线，则 f(x 0)必存在C若 f(x 0)不存在，则曲线 yf(x)在点( x0，f (x0)处的切线斜率不存在D若曲线 yf (x)在点( x0，f(x 0)处没有切线，则 f(x 0)有可能存在答案 C解析 kf(x 0)，所以 f( x0)不存在只说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为 xx 0.2已知函数 f(x)x 22x，则 f(2)等于( )A16ln 2 B168ln 2C816ln 2 D1616ln 2

11、考点 导数的乘法与除法法则题点 利用导数的乘除法则求导答案 D解析 f(x)2x2 xx 22xln 2，f(2)1616ln 2.3设函数 f(x)ax 33x 22 ，若 f(1) 4，则 a 的值为( )A. B. C. D.193 163 133 103答案 D解析 f(x) 3ax 26x ，f(1) 4，3a64，a .1034若直线 y xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b .12考点 基本初等函数的导数公式题点 与切线有关的问题答案 ln 21解析 设切点为(x 0，y 0)， y ， ，1x 12 1x0x 02，y 0ln 2，ln 2 2b，bln 21

12、.125已知 P，Q 为抛物线 x22y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为 考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用答案 4解析 由于 P，Q 为抛物线 x22y 上的点，且横坐标分别为 4，2，则(即 y fx 12x2)P(4,8)， Q(2,2)，从而在点 P 处的切线斜率 kf(4) 4.由点斜式，得曲线在点 P 处的切线方程为 y84( x4)；同理，曲线在点 Q 处的切线方程为 y22( x2)；上述两方程联立，解得交点 A 的纵坐标为4.1利用定义求函数的导数是逼近思想的应用2导数的几何意义是曲线在

13、一点的切线的斜率3对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量一、选择题1y2x6 从 x2 到 x2.5 的平均变化率是( )A0 B0.5 C2 D2.5考点 平均变化率的概念题点 求平均变化率答案 C解析 y2x6 从 x2 到 x2.5 的平均变化率是 2，故选 C.yx 22.5 6 22 62.5 22若物体运动方程为 s t43t 2，则 t4 时的瞬时速度为( )14A4 B64 C16 D40考点 导数的概念题点 瞬时速度答案 D解析 s t 36t ，(14t4 3t2)s(4) 4 3 6440.3.已知 yf(x) 的图像如图所示，则 f( xA)

14、与 f( xB)的大小关系是( )Af(x A)f (xB)Bf(x A)0 时，如图(1) ，两函数图像显然没有交点；当 a0)的交点为 P，曲线 C 在 P 点处的切线与 x 轴交于点 Q(a,0) ，求 a 的值考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用解 由Error!解得 P(a，a 33 a)因为 y3x 23，所以曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 3a23，切线方程为 y( a33a)(3a 23)(xa)令 y0 得切线与 x 轴的交点为 ，(2a33a2 3，0)则 a，解得 a 或 a 或 a0.2a33a2 3 155 155因为 a0，所以 a 的值为 .15513在

15、曲线 y (x0)上求一点 P，使 P 到直线 x2y 40 的距离最小1x考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用解 由题意得平行于直线 x2y40 的 y (x0)的切线的切点即为所求 P 点，设1xP(x0，y 0)，由 y 得，k ，1x2 1x20又 x2y40 的斜率为 ， ，12 1x20 12x 0 或 (舍去) ，2 2当 x0 时， y0 ，212 22即 P 点坐标为 .( 2， 22)四、探究与拓展14若曲线 yx 在点(a，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a .1212答案 64解析 y ，y x ，12x12 3曲线在点(a，a )处的切线

16、斜率 k a ，1212 3切线方程为 ya a (xa)1212 3令 x0 得 y a ；令 y0 得 x3a.32 1该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S 3a a a 18，12 32 194 2a64.15已知函数 f(x)x 3x 16.(1)求曲线 yf(x )在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标解 (1)由题意知 f( x)3x 21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf (2)13.切线的方程为 13xy 320.(2)方法一 设切点为(x 0，y 0)，则直线 l 的斜率为 f(x 0) 3x 1，20直线 l 的方程为 y(3 x 1)(xx 0)x x 016，20 30又直线 l 过原点(0,0)，0(3x 1)(x 0)x x 016，20 30整理得，x 8，x 02，y 026，k13.30直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26) 方法二 根据题意可设直线 l 的方程为 ykx，切点为( x0，y 0)，则 k ，y0 0x0 0 x30 x0 16x0由题意知 kf (x0)3x 1 ， 3x 1，20x30 x0 16x0 20解得 x02，y 026，k 13.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)