2019年北师大版数学选修1-1讲义：疑难规律方法 第三章 变化率与导数

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1、 1 利用导数的几何意义解题1求参数例 1 设曲线 yf( x)ax 2 在点 (1，a)处的切线与直线 2x y60 平行，则 a_.解析 根据导数的定义， 2aax，当 x 无限趋近于 0yx a1 x2 ax 2ax ax2x时，2aax 无限趋近于 2a，即 f(1) 2a.又由曲线 f(x)ax 2 在点(1 ，a)处的切线与直线2xy60 平行，得 2a2，即 a1.答案 12求倾斜角例 2 求曲线 yf( x) x3x 25 在 x1 处的切线的倾斜角13分析 要求切线的倾斜角 ，先要求切线的斜率 k，再根据斜率 ktan ，求出倾斜角 .解 设曲线 yf( x) x3x 25

2、在 x1 处的切线的倾斜角为 ，13f1 x f1x 131 x3 1 x2 5 (13 1 5)x (x)21，13x3 xx 13当 x 无限趋近于 0 时， (x)21 无限趋近于1，13即 tan f(1)1.因为 0 ，)，所以 .故切线的倾斜角为 .34 34评注 切线的倾斜角 能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角 的取值范围3求曲线的切线例 3 求在点 P 处与曲线 y x3 相切的切线方程(2，83) 13分析 要求直线在点 P 处的切线方程，需求得过点 P 的切线的斜率 k，然后根据点斜式可求得切线方程解 因为点 P 在曲线 y x3 上，y (2x)

3、 3 234x 2( x)2 (x)3，(2，83) 13 13 13 13所以 42x (x)2，yx 13当 x 无限趋近于 0 时，无限趋近于 4，即 k4.yx故所求的切线方程为 y 4(x2)，即 12x3y160.83评注 求在点 P 处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程4求切点的坐标例 4 若曲线 yf( x)x 31 在点 P 处的切线的斜率为 3，求点 P 的坐标分析 要求点 P 的坐标，可设点 P 的坐标为(x 0，x 1)，然后由切线的斜率为 3，解方程求30得解 设点 P 的坐标为(x 0，x 1)，30因为 3x 3 x0x(x) 2

4、，当 x 无限趋近于 0fx0 x fx0x 3x20x 3x0x2 x3x 20时，上式无限趋近于 3x ，所以 3x 3.解得 x01.20 20故点 P 的坐标是(1,2)或(1,0)评注 值得注意的是切点 P 的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错2 利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一而导数 f(x 0)的几何意义为曲线 yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳1已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数 f(x)，并代入点斜式方程即可例 1 曲线 f(x)x 3

5、3x 21 在点(1，1)处的切线方程为( )Ay3x4 By3x2Cy 4x3 Dy4x5解析 由 f(x )3x 26x ，知在点 (1，1)处的斜率 kf(1) 3.所以切线方程为 y(1)3(x 1)，即 y3x2.故选 B.答案 B2已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例 2 求过曲线 f(x)x 32x 上的点(1，1)的切线方程解 设 P(x0，y 0)为切点，则切线的斜率为 f(x 0)3x 2.20所以切线方程为 yy 0(3x 2)(xx 0)，20即 y(x 2x 0)(3x 2)( xx 0)30 20又

6、知切线过点(1，1)，所以1(x 2x 0)(3 x 2)(1x 0)30 20解得 x01 或 x0 .12故所求切线方程为 y(1 2) (32)(x1)，或 y ，( 18 1) (34 2)(x 12)即 xy20 或 5x4y10.点评 可以发现直线 5x4y 10 并不以(1，1)为切点，实际上是经过点(1，1)，且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点( 12，78)3已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例 3 求过点(2,0)且与曲线 f(x) 相切的直线方程1x解 设 P(x0，y 0)为切点，则切线的斜率为 f(x 0

7、) .1x20所以切线方程为 yy 0 (xx 0)，1x20即 y (xx 0)1x0 1x20又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，得 (2x 0)1x0 1x20解得 x01，y 0 1，即 xy20.1x0点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性4求两条曲线的公切线例 4 已知曲线 C1：y x 2 与 C2：y x 24x4，直线 l 与 C1，C 2 都相切，求直线 l 的方程分析 设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解解 设 l 与 C1

8、 相切于点 P(x1，x )，与 C2 相切于点 Q(x2，x 4x 24)21 2由 C1：yx 2，得 y2x ，则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 yx 2x 1(xx 1)，21即 y2x 1xx ，由 C2：y x24x4，得 y2x 4，21则与 C2 相切于点 Q 的切线方程为y2( x22) xx 4.2因为两切线重合，所以 2x12(x 22)且x x 4，21 2解得 x10，x 22 或 x12， x20.所以直线 l 的方程为 y0 或 y4x4.点评 公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.3 导数运算中的常见错

9、误1对 f(x 0)与 f(x )理解有误例 1 已知函数 f(x)x 22xf(1)，则 f(0) 的值为( )A0 B4 C2 D2错解 由 f(x)x 22xf (1)得 f(0)0.所以 f(0)0.故选 A.错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意 f(1)是常数正解 由 f(x)x 22xf (1)得，f ( x)2x2f (1)所以 f(1)212f(1) 所以 f(1)2.从而 f(x) 2x4.所以 f(0)4.故选 B.2切点位置的确定有误例 2 求过点 P(1,0)且与曲线 f(x)x 3x 相切的直线

10、的方程错解 由题意知点 P(1,0)在曲线上因为 f(x) 3x 21，所以 f (1)2.所以切线方程为 y02( x1)，即 2xy20.错因分析 点 P(1,0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点 P(1,0)当作切点显然是错误的正解 设切点为(x 0，x x 0)，30则过该点的切线方程为 y( x x 0)(3x 1)(xx 0)30 20由切线过点 P(1,0)得：0(x x 0)(3 x 1)(1x 0)，30 20整理得 2x 3x 10.30 20即(x 0 1)2(2x0 1)0，解得 x01 或 x0 .12所以切线方程为 2xy 20 或 x4y10.3对切线定义

11、的理解有误例 3 已知曲线 C：y f(x) x3 ，曲线 C 在点 P(2,4)处的切线方程为 y4x4，试分析13 43该切线与曲线 C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由错解 由于直线 y4x 4 与曲线 C 相切，因此除切点 P(2,4)外没有其他的公共点错因分析 “切线与曲线有唯一公共点” ，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立正解 由Error!消去 y 整理得x312x160，即(x 2)(x 22x 8) 0.所以(x 2)2(x 4)0，解得 x2 或 x4.所以交点的坐标为(2,4)，( 4，20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外，还有点( 4，20)