2019年北师大版数学选修1-1讲义：疑难规律方法 第四章 导数应用

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1、1 利用导数研究函数单调性常见题型1运用导数求函数的单调区间利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域； (2)求导数 f( x)；(3) 在定义域内解不等式 f(x )0 或 f( x)0；当10 时，f(x )0.故 f(x)的递增区间是(，1) ，(0，) ，递减区间是 (1,0)点评 单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“”连接，中间用“， ”或“和”连接例 2 已知函数 f(x)x 23x 2ln x，则函数 f(x)的递减区间为_分析 先求函数 f(x)的定义域和导数，再结合定义域解 f( x)0，且 2x23x 21 时，

2、ln x .12 x22分析 可构造函数 f(x)ln x ，由于 f(1)0，故若能证明 f(x)在(1 ，)上是增加(12 x22)的，即证明在(1，)上，导函数 f( x)0 恒成立即可证明 令 f(x)ln x ，则有 f(1)0.(12 x22)因为 f(x) x 0，x(1，)，1x 1 x2x所以函数 f(x)在(1，)上是增加的，又 f(1)0，所以当 x(1，)时，f(x)0 恒成立，即 ln x .12 x22点评 证明不等式 f(x)g(x)，x(a，b) 的一般方法：构造函数 F(x)f(x )g(x) ，x(a，b)，分析 F(x)在区间(a，b) 上的单调性及最小值

3、与 0 的大小，进而说明 F(x)0 在(a，b)内恒成立即可3求参数的取值范围例 4 已知函数 f(x)x 3ax 21.(1)若函数 f(x)的递减区间是 (0,2)，求实数 a 的值；(2)若函数 f(x)在区间 (0,2)上是减少的，求实数 a 的取值范围分析 注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆解 (1)由 f(x)的递减区间为 (0,2)可知，0 与 2 是方程 f(x )3x 22ax0 的两根，故有 3222a20，解得 a3.(2)因为函数 f(x)在区间(0,2) 上是减少的，所以 f(x) 3x 22ax 0 在(0,2)上恒成立，即 2a3x 在区

4、间(0,2)上恒成立因为 x(0,2)，所以 3x(0,6)，故 2a6，即 a3.经验证 a3 时满足题意，故 a 的取值范围为3，)点评 若函数 f(x)在区间 D 上是增加的 (减少的)，则有 f(x )0(f(x) 0)对 xD 恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小) 值问题求解也可根据所给区间是递增 (减)区间的子区间求解2 巧用导数求极值1函数的极值点的判定方法设函数 f(x)在 x0 处连续，判定 f(x0)是极大(小) 值点的方法是： (1)如果在 x0 两侧 f(x) 符号相同，则 x0 不是函

5、数 f(x)的极值点；(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值2极值常见题型详解(1)利用导数求函数的极值例 1 求函数 f(x)xln x 的极值点解 f(x) ln x 1，x0.而 f(x )0ln x10 x ，1ef(x)0，f(x )在(0，) 上是增加的，无极值；若 a0，令 f(x) 0，得 x .1a当 x 时，f(x )0，f( x)是增加的；(0，1a)当 x 时

6、，f(x )0 时，f( x)的递增区间为 ，递减区间为 ，极大值为ln a1，无极小值(0，1a) (1a， )点评 本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏(3)极值问题的逆向考查例 3 已知函数 f(x)x 3ax 2bx a 27a 在 x1 处取得极大值 10，则 的值为( )abA B223C2 或 D不存在23解析 由题意知 f(x )3x 22axb.所以Error!解得Error!或Error!经检验Error!满足题意，所以 .故选 A.ab 23答案 A点评 本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求

7、参数进行讨论，是否满足极值的条件如果不满足，需要舍去3 分类讨论思想在导数中的应用分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？1按导数为零的根的大小来分类例 1 设函数 f(x)x( xa) 2(xR)，其中 aR 且 a0 ，求函数 f(x)的极大值和极小值解 f(x) (3xa)( xa)，令 f( x)0，解得 xa 或 x .a3当 a ，即 a0，x 时，f(x)0，x (a，)时，f(x)0，x 时，f ( x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)是增加的(2)当 a0 时，由 f( x)0，解得 x11，

8、x 2 1，1a当 a ，即 x1x 2 时，h(x)0 恒成立，12此时 f(x) 0，f(x )在(0，)上是减少的；当 010 ，12 1ax(0,1)时，h(x)0，f(x)0，f (x)是增加的，(1，1a 1)x 时，h(x)0，f(x)0，f(x)0，f(x) 是增加的综上所述：当 a0 时，函数 f(x)在(0,1)上是减少的，在(1，) 上是增加的；当 a 时，函数 f(x)在(0，) 上是减少的；12当 02 时，方程 g(x )0 的根为x1ln 0，a a2 42此时，若 x(0，x 2)，则 g( x)0，故 g(x)在区间(0，x 2)内是减少的所以当 x(0 ，x 2)时，g( x)g(0)0，即 f(x)ax，与题设 f(x)ax 相矛盾综上所述，满足条件的实数 a 的取值范围为(，2 点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对 a 进行分类讨论小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2) 分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行分类讨论的一般步骤为：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论