2019年北师大版数学选修1-1讲义:4.2.2(第2课时)函数最值的应用
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1、第 2 课时 函数最值的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题知识点一 生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路:上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程知识点二 导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决1用导数解决实际问题的关键是建立函数模型( )2恒成立问题可以转化成函数的最值问题( )3用导数证明不等式可以通过构造函数,转化为函数大于等于 0 或小于等
2、于 0.( )类型一 几何中的最值问题例 1 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?考点 几何类型的优化问题题点 面积的最值问题解 设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x20, ,y 252其中 x20,y25.两栏的面积之和为 2(x20) 18 000,y 252由此得 y 25.18 000x 20广告的面积 Sxyx 25x,(18 000x
3、20 25) 18 000xx 20S 25 25.18 000x 20 xx 202 360 000x 202令 S0,得 x140,令 S0;(0,23a)当 x 时,V(x)ln 21 且 x0 时,e xx22ax1.(1)解 由 f(x) ex2x2a 知,f(x)e x2,xR ,令 f( x)0,得 xln 2.当 x 变化时,f(x)及 f(x)的变化情况如下表:x (, ln 2) ln 2 (ln 2, )f(x ) 0 f(x) 2(1 ln 2a) 故 f(x)在区间(,ln 2)上是减少的,在区间(ln 2,)上是增加的,f(x)在 xln 2 处取得极小值,极小值为
4、 2(1ln 2a) ,无极大值(2)证明 设 g(x)e xx 22ax1,xR ,于是 g(x) e x2x 2a,由(1)知 g(x) 的最小值为 2(1ln 2a),当 aln 21 时,g(x )0,故 g(x)在 R 上是增加的,所以 x0 时 g(x)g(0)0,即 exx22ax1.反思与感悟 利用函数的最值证明不等式常用的方法与步骤(1)构造函数(2)利用导数确定函数的单调性、最值( 或值域)(3)将其归结为函数的最值或值域问题(4)证明函数 yf(x )的最大(小 )值大于 0 或小于 0,或逆用单调性定义得出结论跟踪训练 2 证明:当 x0,1 时, xsin xx.22
5、证明 记 F(x)sin x x,则 F(x) cos x .22 22当 x 时,F( x)0,F( x)在 上是增加的;(0,4) 0,4当 x 时,F( x)0,所以当 x0,1时,F(x)0,即 sin x x.22记 H(x)sin xx,则当 x(0,1)时,H( x)cos x1f(2)2c,解得 c2.故 c 的取值范围为( ,1) (2,)反思与感悟 解决恒成立问题,常用方法是转化为求函数的最值问题,通过分离参数,要使mf(x)恒成立,只需 mf(x)的最大值即可,同理,要使 m1 时,g(x)0,故 g(x)在(1,)上是增加的,所以 g(x)的最小值是 g(1)1.因此
6、ag(x) ming(1)1,故 a 的取值范围为(,1.1已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元) 与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为y x381x 234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 C解析 x0,y x 281 (9 x)(9x),令 y0,解得 x9,当 x(0,9) 时,y 0,当 x(9 ,)时,y 0,当 t(8,9)时,y0)256a2 210a令 S2a 0,得 a8.210a2当 08 时,S0,故当 a8 时,S 最小,此时 h 4.28
7、824要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器,已知底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是_元考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题答案 160解析 设底面长为 x,由题意得底面宽为 .4x设总造价为 y,则 y20x 101 ,4x (2x 24x)即 y20x 80,80xy20 ,令 y0,得 x2.80x2当 x2 时,y min160(元)5已知函数 f(x)e x2xa 有零点,则 a 的取值范围是_答案 (,2ln 22解析 函数 f(x)e x2xa 有零点,即方程 ex2xa0 有实根,即函数 g(
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