2019年北师大版数学选修1-1讲义：疑难规律方法 第一章 常用逻辑用语

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1、1 解逻辑用语问题的三绝招1化为集合理清关系充分(必要) 条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵做了直观形象的解释，实践证明效果较好集合模型解释如下：A 是 B 的充分条件，即 AB.(如图 1)A 是 B 的必要条件，即 BA.(如图 2)A 是 B 的充要条件，即 AB.(如图 3)图 1 图 2 图 3A 是 B 的既不充分又不必要条件，即 AB或 A，B 既有公共元素也有非公共元素或例 1 “x 23x20”是“x 1”的_ 条件( 填“充分不必要”

2、 、 “必要不充分” 、 “充要”或“既不充分又不必要”)解析 设命题 p：“x 23x 20” ，q：“x 1”对应的集合分别为 A，B，则 Ax|x1或 x2，B x |x1，显然“AB，B A”，因此“x 23x20”是“x1”的既不充分又不必要条件答案 既不充分又不必要2抓住量词对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药例 2 (1)已知命题 p：“任意 x1,2，x 2a0” ，与命题 q：“存在xR，x 22ax2a0”都是真命题，则实数 a 的取值范围

3、为_(2)已知命题 p：“存在 x1,2，x 2a0”与命题 q：“存在 xR ，x 22ax2a0”都是真命题，则实数 a 的取值范围为_解析 (1)将命题 p 转化为“当 x1,2时，(x2a) min0” ，即 1a0，即 a1.命题 q：即方程有解，(2a) 24(2 a)0，解得 a1 或 a2.综上所述，a1.(2)将命题 p 转化为“当 x1,2时，(x 2a) max0” ，即 4a0，即 a4.命题 q 同(1)综上所述，a1 或 2a4.答案 (1)( ，1 (2)( ，12,4点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质量

4、词，有的放矢3等价转化提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题) 一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真例 3 设命题 p：Error!q：x 2y 2r 2 (r0)，若 q 是綈 p 的充分不必要条件，求 r 的取值范围分析 “q 是綈 p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈 q 的充分不必要条件” 设 p，q 对应的集合分别为 A，B，则可由 ARB 出发解题解 设 p，q 对应的集合分别为 A，B，将本题背景放到直

5、角坐标系中，则点集 A 表示平面区域，点集 RB 表示到原点距离大于 r 的点的集合，即圆 x2y 2r 2 外的点的集合A RB 表示区域 A 内的点到原点的最近距离大于 r，直线 3x4y120 上的点到原点的最近距离大于等于 r，原点 O 到直线 3x4y120 的距离d ，r 的取值范围为 00)在 p：Error!所对应的区域的外部，也是可以解决的但以上解法将“q 是綈 p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈 q 的充分不必要条件” ，更好地体现了相应的数学思想方法2 命题的否定与否命题辨与析否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别

6、和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别1否命题与命题的否定的概念设命题“若 A，则 B”为原命题，那么“若綈 A，则綈 B”为原命题的否命题， “若 A，则綈 B”为原命题的否定所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论 “命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反例 1 写出下列命题的否命题及否定：(1)若|x| |y|0，则 x，y 全为 0；(2)函数 yxb 的值随 x 的增加而增加分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若 A，则 B”的形式

7、，然后再写出相应的命题解 (1)原命题的条件为“| x|y| 0” ，结论为“x，y 全为 0”写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x| |y|0，则 x，y不全为 0”写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x| |y|0，则 x，y 不全为 0”(2)原命题可以改写为“若 x 增加，则函数 yxb 的值也随之增加 ”否命题为“若 x 不增加，则函数 yx b 的值也不增加” ；命题的否定为“若 x 增加，则函数 yx b 的值不增加” 2否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可

8、能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准例 2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若 x20 且 n0，则 mn0.分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定根据不等式及方程的性质逐个判断其真假解 (1)否命题：“若 x24，则 x2 或 x2” 命题的否定：“若 x20 且 n0，则 mn0” 由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.3 走出逻辑用语中的误区误区 1 所有不等式、集合运算式都不是命

9、题例 1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假(1)x20；(2)x 220 ；(3)ABAB；(4)A(A B )错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题剖析 (1)中含有未知数 x，且 x 不定，所以 x2 的值也不定，故无法判断 x20 是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x 虽为未知数，但 x20，所以 x222，故可判断 x220 成立，故(2)为真命题(3)若 A B，则 ABABAB ；若 AB，则 ABA ABB.由于 A，B 的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题(4)A 为 AB 的子集，故 A(AB )成立，故(4)为真命题正解 (2)(4

10、)是命题，且都为真命题误区 2 原命题为真，其否命题必为假例 2 判断下列命题的否命题的真假：(1)若 a0，则 ab0；(2)若 a2b2，则 ab.错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断正解 (1)否命题为：若 a0，则 ab0，是假命题；(2)否命题为：若 a2b 2，则 ab，是假命题误区 3 搞不清谁是谁的条件例 3 使不等式 x30 成立的一个充分不必要条件是( )Ax3 Bx4Cx2 Dx1,2,3错解 由不等式

11、x30 成立，得 x3，显然 x3x2，又 x2 x3，因此选 C.剖析 若 p 的一个充分不必要条件是 q，则 qp，p q.本题要求使不等式 x30 成立的一个充分不必要条件，又 x4x30，而 x30 x4，所以使不等式 x30 成立的一个充分不必要条件为 x4.正解 B误区 4 用“且” “或”联结命题时只联结条件或结论例 4 (1)已知命题 p：方程(x11)( x2) 0 的根是 x11 ；q：方程(x11)( x2)0 的根是x2，试写出“p 或 q”(2)已知命题 p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p 且 q”错解 (1)p 或 q：方程(

12、x 11)(x 2) 0 的根是 x11 或 x2.(2)p 且 q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形剖析 (1)(2)两题中 p，q 都是假命题，所以“p 或 q”， “p 且 q”也都应是假命题而上述解答中写出的两命题却都是真命题错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论； (2)只联结了两个命题的条件正解 (1)p 或 q：方程(x 11)(x 2) 0 的根是 x11 或方程 (x11)( x2)0 的根是 x2.(2)p 且 q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形误区 5 不能正确否定结论例 5 p：方程 x25x 60 有两个相等的实数根，试写出“綈 p”错

13、解 綈 p：方程 x25x 60 有两个不相等的实数根剖析 命题 p 的结论为“有两个相等的实数根” ，所以“綈 p”应否定“有” ，而不能否定“相等” 正解 綈 p：方程 x25x 60 没有两个相等的实数根误区 6 对含有一个量词的命题否定不完全例 6 已知命题 p：存在一个实数 x，使得 x2x 21a2，即 q 真a2.由 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，知命题 p，q 中必有一真一假若 p 真 q 假，则无解；若 p 假 q 真，则 1a2.故满足题意的实数 a 的取值范围是(1,2)答案 (1,2)点评 若命题“p 或 q”“p 且 q”中含有参数，求解时，可以先等价转

14、化命题 p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p 或 q”“p 且 q”的真假情况确定参数的取值范围3反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假) 作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法例 3 设 A，B 为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是_AB 对任意 xA，都有 xB；AB AB ；AB BA；AB 存在 xA，使得 xB.分析 画出表示 AB 的 Venn 图进行判断解析 画出 Venn 图，如图 1 所示，则 AB存在 xA，使得 xB，故是假命题，是真命题ABBA 不成立的反例如图 2 所示同理可得 BAAB 不成立故是假命题综上知，真命题的序号是.答案