2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
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1、2019 年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)设集合 AxN *|x2x 20 ,B2,3 ,则 AB( )A 1,0,1,2,3 B1 ,2,3 C1,2D 1,32 (5 分)若复数 z 为纯虚数且(1+i)zai (其中 i 是虚数单位,aR) ,则|a+z| ( )A B C2 D3 (5 分)函数 y (x0)的图象大致是( )A BC D4 (5 分)在区间1,1内随机取两个实数 x,y ,则满足 yx 21 的概
2、率是( )A B C D5 (5 分)4 名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )A24 种 B36 种 C48 种 D60 种6 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )第 2 页(共 27 页)A B C D 7 (5 分)已知双曲线 C: (a0,b0) ,过左焦点 F1 的直线切圆 x2+y2a 2于点 P,交双曲线 C 右支于点 Q,若 ,则双曲线 C 的渐近线方程为( )Ayx By2x Cy Dy 8 (5 分)我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积
3、尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径 “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 ,人们还用过一些类似的近似公式,根据3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是( )A B C D9 (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件 ,则 的取值范围为( )A BC D10 (5 分)如图,设 A、B 是半径为 2 的圆 O 上的两个动点,点 C 为 AO 中点,则第 3 页(共 27 页)的取值范围是( )A1,3 B1,3 C 3,1 D 3,111 (5 分)已知函数 yf(x)对任意的 x( ,
4、)满足 f(x)cosx+f(x)sinx0 (其中 f(x)是函数 f(x)的导函数) ,则下列不等式成立的是( )A f( )f( ) B f( )f ( )Cf(0)2f( ) Df(0) f( )12 (5 分)已知球 O 是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)ABCD 的外接球,BC3, ,点 E 在线段 BD 上,且 BD6BE ,过点 E 作球O 的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )A B C D二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知 ,则 14 (5 分)数
5、列a n首项 a12,且 ,令 bnlog 3(a n+1) ,则的前 2019 项的和 S2019 15 (5 分) (3x+2y ) 2(x y) 7 的展开式中含有 x5y4 的项的系数为 16 (5 分)若函数 在(0,+)上仅有一个零点,则 a 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (12 分)如图,D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点,AC (1)若CAD30,求角 B 的大小;(2)若 BD2DC,且 AD2 ,求 CD 的长第
6、 4 页(共 27 页)18 (12 分)如图,已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,PA底面ABCD, EDPA,且 PA 2ED2(1)证明:平面 PAC平面 PCE;(2)若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45,求二面角 PCED 的余弦值19 (12 分)已知椭圆 C 中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 与椭圆 C 在第一象限内的交点是 M,点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2,椭圆 C 另一个焦点是F1,且 ()求椭圆 C 的方程;()直线 l 过点(1,0) ,且与椭圆 C 交于 P,Q 两点,求F 2PQ 的内切圆面积的最大
7、值20 (12 分)为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户) 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯月用电范围(度) (0,210 (210,400 (400,+ )某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况,得到统计表如下:居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10用电量(度) 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410(1)若规定第一阶梯电价每度 0.5 元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元,第三第 5 页(共 27 页)阶梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元,试计算 A 居民用电户用
8、电 410 度时应交电费多少元?(2)现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;(3)以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电,现从全市中依次抽取 10 户,若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大,求 k 的值21 (12 分)已知函数 f(x )e x+ax+ln(x+1)1(1)求 f(x)在 x0 处的切线方程;(2)若 x0 时,f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围;(3)求证:e 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy
9、中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为4cos ,曲线 C1、C 2 的公共点为 A、B()求直线 AB 的斜率;()若点 C、D 分别为曲线 C1、C 2 上的动点,当|CD|取最大值时,求四边形 ACBD的面积选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|2x +1| xm |(mR) (1)当 m1 时,解不等式 f(x)2;(2)若关于 x 的不等式 f(x)|x 3|的解集包含3 ,4,求 m 的取值范围第 6 页(共 27 页)2019 年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解
10、析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)设集合 AxN *|x2x 20 ,B2,3 ,则 AB( )A 1,0,1,2,3 B1 ,2,3 C1,2D 1,3【分析】可求出集合 A,然后进行并集的运算即可【解答】解:AxN *|1x21,2 ,B2,3;AB1,2,3故选:B【点评】考查描述法、列举法的定义,以及并集的运算2 (5 分)若复数 z 为纯虚数且(1+i)zai (其中 i 是虚数单位,aR) ,则|a+z| ( )A B C2 D【分析】把已知等式变形,利用复数
11、代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值,则|a+ z|可求【解答】解:由(1+i)z ai ,得 ,复数 z 为纯虚数, ,解得 a1zi,则|a +z| |1i| 故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题3 (5 分)函数 y (x0)的图象大致是( )第 7 页(共 27 页)A BC D【分析】判断函数的奇偶性,排除选项,利用特殊值判断即可【解答】解:函数 y (x0)是奇函数,排除 C,D当 x 时,y 0排除 B,故选:A【点评】本题考查函数的图象的判断与应用,基本知识的考查4 (5 分)在区间1,1内随机取
12、两个实数 x,y ,则满足 yx 21 的概率是( )A B C D【分析】该题涉及两个变量,故是与面积有关的几何概型,分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积,最后利用概率公式解之即可【解答】解:由题意可得, 的区域为边长为 2 的正方形,面积为 4,满足 yx 21 的区域为图中阴影部分,面积为 2+ 满足 yx 21 的概率是 故选:D第 8 页(共 27 页)【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解,解题的关键是准确求出区域的面积,属于中档题5 (5 分)4 名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )
13、A24 种 B36 种 C48 种 D60 种【分析】分两类,第一类,有 3 名被录用,第二类,4 名都被录用,则有一家录用两名,根据分类计数原理即可得到答案【解答】解:分两类,第一类,有 3 名被录用,有 24 种,第二类,4 名都被录用,则有一家录用两名,有 36,根据分类计数原理,共有 24+3660(种)故选:D【点评】本题考查排列、组合的综合运用,解题时要先确定分几类,属于基础题6 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )第 9 页(共 27 页)A B C D 【分析】由三视图可得,直观图为圆锥的 与圆柱的 组合体,由图中数据可得该几何体的体积【解答
14、】解:由三视图可得,直观图为圆锥的 与圆柱的 组合体,由图中数据可得几何体的体积为 ,故选:A【点评】本题考查由三视图求面积、体积,考查学生的计算能力,确定几何体的形状是关键7 (5 分)已知双曲线 C: (a0,b0) ,过左焦点 F1 的直线切圆 x2+y2a 2于点 P,交双曲线 C 右支于点 Q,若 ,则双曲线 C 的渐近线方程为( )Ayx By2x Cy Dy 【分析】由已知可得:丨 OP 丨a,设双曲线的右焦点为 F,由 P 为线段 FQ 的中点,知|PF|2a,| QF|2b,由双曲线的定义知:2b2a2a,由此能求出双曲线 C:(a0,b0)的渐近线方程第 10
15、页(共 27 页)【解答】解:过双曲线 C: (a0,b0) ,左焦点 F 引圆 x2+y2a2 的切线,切点为 P,丨 OP 丨a,设双曲线的右焦点为 F,P 为线段 FQ 的中点,|QF |2a, |QF|2b,由双曲线的定义知:2b2a2a,b2a双曲线 C: (a 0,b0)的渐近线方程为 bxay0,即 2axay0,2xy0故选:B【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化,属于中档题8 (5 分)我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径 “开
16、立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 ,人们还用过一些类似的近似公式,根据3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是( )A B C D【分析】根据球的体积公式求出直径,将四个选项逐一代入,求出最接近真实值的那一个即可【解答】解:由 V ( ) 3,解得 d ,第 11 页(共 27 页)选项 A 代入得 3.1;选项 B 代入得 3;选项 C 代入得 3.2;选项 D 代入得 3.142857由于 D 的值最接近 的真实值故选:D【点评】本题主要考查了球的体积公式及其估算,同时考查了计算能力,属于中档题9 (5 分)已知实数 x,
17、y 满足约束条件 ,则 的取值范围为( )A BC D【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解:作出的可行域为三角形(包括边界) ,把 ,看作点(x,y)和 C(5,0)之间的斜率,记为 k,由可行域可知 A(2,2) ,B(2,4) ,则 k 故选:A【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,通过数形结合是解决本题第 12 页(共 27 页)的关键10 (5 分)如图,设 A、B 是半径为 2 的圆 O 上的两个动点,点 C 为 AO 中点,则的取值范围是( )A1,3 B1,3 C 3,1 D 3,1【分析】如图所
18、示,可得 O( 0,0) ,A(2,0) ,C(1,0) ,设B(2cos,2sin ) 0,2) 利用数量积运算性质与三角函数的单调性可得范围【解答】解:如图所示,可得 O(0,0) ,A(2,0) ,C(1,0) ,设 B(2cos,2sin) 0 ,2 ) (1,0)(2cos+1,2sin)2cos+1 1, 3故选:A【点评】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数的单调性求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11 (5 分)已知函数 yf(x)对任意的 x( , )满足 f(x)cosx+f(x)sinx0 (其中 f(x)是函数 f(x)的导函数) ,则下列不等式成立的是( &
19、nbsp;)A f( )f( ) B f( )f ( )Cf(0)2f( ) Df(0) f( )第 13 页(共 27 页)【分析】根据条件构造函数 g(x) ,求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解:构造函数 g(x) ,则 g(x) (f(x)cosx+f(x)sinx) ,对任意的 x( , )满足 f(x)cosx+f (x)sinx0,g(x)0,即函数 g(x)在 x( , )单调递增,则 g( )g( ) ,即 , ,即 f( )f ( ) ,故 A 正确g(0)g( ) ,即 ,f(0)2f( ) ,故选:A【点评】本题主要考查函数单调性的应用,
20、利用条件构造函数是解决本题的关键,综合性较强,有一点的难度12 (5 分)已知球 O 是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)ABCD 的外接球,BC3, ,点 E 在线段 BD 上,且 BD6BE ,过点 E 作球O 的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )A B C D【分析】设BDC 的中心为 O1,球 O 的半径为 R,连接 O1D,OD,O 1E,OE,可得R23+(3R) 2,解得 R2,过点 E 作圆 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面的面积最小,当截面过球心时,截面面积最大,即可求解【解答】解:如图,设BDC 的中心为 O1,球 O 的半径
21、为 R,连接 O1D,OD,O 1E,OE ,第 14 页(共 27 页)则 O1D3sin60 ,AO 1 3,在 Rt OO1D 中,R 23+(3R) 2,解得 R2,BD6BE,DE2.5,在DEO 1 中, O1E ,OE ,过点 E 作圆 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面的面积最小,此时截面圆的半径为 ,最小面积为 ,当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为 4故选:A【点评】本题考查三棱锥外接球的截面圆面积的取值范围的求法,考查球、圆锥等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是中档题二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在
22、答题纸上)13 (5 分)已知 ,则 【分析】由已知利用两角和的正切函数公式 tan ,利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解【解答】解: ,则 2,解得:tan ,第 15 页(共 27 页) 故答案为: 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题14 (5 分)数列a n首项 a12,且 ,令 bnlog 3(a n+1) ,则的前 2019 项的和 S2019 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式进一步利用通项公式再利用裂项相消法求出数列的和【解答】解:数列a
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