2019年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
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1、2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的1 (5 分)若复数 (a R)的实部和虚部相等,则实数 a 的值为( )A1 B1 C D2 (5 分)已知集合 Mx | 3x4,N x|x22x 80,则( )AMN R BM N x|3x4CMNx |2x4 DMNx|2x43 (5 分)已知矩形 ABCD 中,BC2AB4,现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 M,则满足 0 的概率是( )A B C D4 (5 分)下列函数既是奇函数,又在
2、1,1 上单调递增的是( )Af(x)|sinx| Bf(x )lnCf(x) (e xe x ) Df(x )ln( x)5 (5 分)在ABC 中,三边长分别为 a,a+2 ,a+4,最小角的余弦值为 ,则这个三角形的面积为( )A B C D6 (5 分)如图,在ABC 中, ,P 是 BN 上一点,若 t + ,则实数 t的值为( )A B C D第 2 页(共 29 页)7 (5 分)已知双曲线 C: 1(a0,b0)的左右焦点分别为 F1,F 2,实轴长为 6,渐近线方程为 y x,动点 M 在双曲线左支上,点 N 为圆 E:x 2+(y+ )
3、21 上一点,则|MN|+|MF 2|的最小值为( )A8 B9 C10 D118 (5 分)已知函数 f(x )sin(x+) (0, )的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ,若将函数 f(x )的图象向左平移 后得到偶函数 g(x)的图象,则函数 f(x)的一个单调递减区间为( )A B C0 , D 9 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A16 +(32+16 +16 ) B16 +(16+16 +16 )C16 +(32+32 +32 ) D16 +( 16+32 +32 )10
4、 (5 分)已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中的底面为等腰直角三角形,ABAC ,点 M,N分别是边 AB1, A1C 上动点,若直线 MN平面 BCC1B1,点 Q 为线段 MN 的中点,则Q 点的轨迹为( )A双曲线的一支(一部分) B圆弧(一部分)C线段(去掉一个端点) D抛物线的一部分11 (5 分)抛物线 x22py (p0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足AFB60,过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD,垂足为 D,则的最小值为( )第 3 页(共 29 页)A B1 C D212 (5 分)已知函数 f(x )
5、,设 AxZ| x(f (x)a)0,若 A 中有且仅有 4 个元素,则满足条件的整数 a 的个数为( )A31 B32 C33 D34二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中对应题号后的13 (5 分)已知( ) n 的展开式的各项系数和为 64,则展开式中 x3 的系数为 14 (5 分)已知变量 x,y 满足 ,则 z 的取值范围是 15 (5 分) 中国诗词大会 (第三季)亮点颇多,在“人生自有诗意”的主题下,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗
6、诵,别有韵味,若沁园春长沙 、 蜀道难 、 敕勒歌 、 游子吟 、 关山月 、 清平乐六盘山排在后六场,且蜀道难排在游子吟的前面, 沁园春长沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后,则六场的排法有 种 (用数字作答) 16 (5 分)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,点 B 恰好经过原点设顶点P(x,y )的轨迹方程是 yf(x ) ,则对函数 yf(x )有下列判断: 函数 yf(x)是偶函数;对任意的 xR,都有 f(x +2)(x 2)函数 yf(x)在区间2,3上单调递减;函数 yf(x )的值域是0 ,1; f(x)dx 其中判断正确的
7、序号是 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题,每个考生都必须作答第 223 题为选考题,考生根据要求作答本小题满分 60 分17 (12 分)已知数列a n为等比数列,首项 a14,数列 bn满足 bnlog 2an,且b1+b2+b312(I)求数列 an的通项公式第 4 页(共 29 页)()令 cn +an,求数列c n的前 n 项和 Sn18 (12 分) 已知四棱锥中 PABCD,底面 ABCD 为菱形,ABC60,PA平面 ABCD,E、M 分别是 BC、PD 上的中点,直
8、线 EM 与平面 PAD 所成角的正弦值为,点 F 在 PC 上移动()证明:无论点 F 在 PC 上如何移动,都有平面 AEF平面 PAD()求点 F 恰为 PC 的中点时,二面角 CAFE 的余弦值19 (12 分)2012 年 12 月 18 日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一,郑州市正式发布 PM2.5 数据资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善,郑州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数(AQI) ,其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有 2,5,2 个监测站点,以 9 个站点测得的 AQI 的平均值为依
9、据,播报我市的空气质量()若某日播报的 AQI 为 118,已知轻度污染区 AQI 的平均值为 74,中度污染区 AQ的平均值为 114,求重度污染区 AQI 的平均值;()如图是 2018 年 11 月的 30 天中 AQI 的分布,11 月份仅有一天 AQI 在170,180)内组数 分组 天数第一组 50,80) 3第二组 80,110) 4第三组 110,140) 4第四组 140,170) 6第五组 170,200) 5第六组 200,230) 4第 5 页(共 29 页)第七组 230,260) 3第八组 260,290) 1郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的
10、AQI 为标准,如果AQI 小于 180,则去进行社会实践活动以统计数据中的频率为概率,求该校周日去进行社会实践活动的概率;在“ 创建文明城市 ”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监测数据中抽取 3 天的数据进行评价,设抽取到的 AQI 不小于 180 的天数为 X,求 X 的分布列及数学期望20 (12 分)设 M 点为圆 C:x 2+y24 上的动点,点 M 在 x 轴上的投影为 N动点 P 满足2 ,动点 P 的轨迹为 E()求 E 的方程;()设 E 的左顶点为 D,若直线 l:ykx+m 与曲线 E 交于两点 A,B(A,B 不是左右顶点) ,且满足
11、| | |,求证:直线 l 恒过定点,并求出该定点的坐标21 (12 分)已知函数 f(x )x 28x+alnx(aR) (I)当 x1 时,f(x )取得极值,求 a 的值并判断 x1 是极大值点还是极小值点;()当函数 f(x )有两个极值点 x1,x 2(x 1x 2) ,且 x11 时,总有t(4+3 x1x )成立,求 t 的取值范围选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)已知曲线 C1:x 2+(y 3) 29,A 是曲线 C1 上的动点,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点 O 为中心,将点 A 绕点 O 逆时针旋转90得到点 B,设点 B
12、的轨迹方程为曲线 C2()求曲线 C1,C 2 的极坐标方程;()射线 ( 0)与曲线 C1,C 2 分别交于 P,Q 两点,定点 M(4,0) ,求MPQ 的面积选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|3x 2 a|+|2x2|(a R) ()当 a 时,解不等式 f(x )6;第 6 页(共 29 页)()若对任意 x0R,不等式 f(x 0)+3x 04+|2x 02| 都成立,求 a 的取值范围第 7 页(共 29 页)2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
13、有项是符合题目要求的1 (5 分)若复数 (a R)的实部和虚部相等,则实数 a 的值为( )A1 B1 C D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,再结合已知条件即可求出实数 a 的值【解答】解:复数 的实部和虚部相等, ,解得 a 故选:C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题2 (5 分)已知集合 Mx | 3x4,N x|x22x 80,则( )AMN R BM N x|3x4CMNx |2x4 DMNx|2x4【分析】先分别求出集合 M, N,由此能求出 MN 和 MN【解答】解:集合 Mx |3x4,Nx| x22x8
14、0x |2 x4 ,MN x|3x 4,MN x|2x 4故选:D【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题3 (5 分)已知矩形 ABCD 中,BC2AB4,现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 M,则满足 0 的概率是( )A B C D【分析】建立以点 B 为坐标原点,BC,BA 所在直线为 x 轴,y 轴的直角坐标系得:B(0,0) ,C(4,0) ,A(0,2) ,D(4,2)第 8 页(共 29 页)设 M(x,y) ,则 (x,y ) , (4x,y) ,由 0 得:(x2)2+y24,由其几何意义和几何概型可得解【解答】
15、解:建立如图所示的直角坐标系,则 B(0,0) ,C(4,0) ,A(0,2) ,D(4,2)设 M(x,y) ,则 (x,y ) , (4x,y) ,由 0 得:(x2) 2+y24,由几何概型可得:p 1 ,故选:B【点评】本题考查了向量的数量积运算及几何概型,属中档题4 (5 分)下列函数既是奇函数,又在1,1 上单调递增的是( )Af(x)|sinx| Bf(x )lnCf(x) (e xe x ) Df(x )ln( x)【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性以及(1,1)上的单调性,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于 A,f(x)|sin x
16、|,为偶函数,不符合题意;对于 B,f(x)ln ,其定义域为( e ,e) ,有 f( x)ln ln f(x) ,为奇函数,设 t 1+ ,在( e ,e)上为减函数,而 ylnt 为增函数,则 f(x)ln 在(e , e)上为减函数,不符合题意;第 9 页(共 29 页)对于 C,f(x ) (e xe x) ,有 f(x ) (e x ex) (e xe x )f(x) ,为奇函数,且 f(x) (e x+ex ) 0,在 R 上为增函数,符合题意;对于 D,f(x)ln( x) ,其定义域为 R,f(x)ln( +x) ln ( x)f(x) ,为奇函数,设 t x ,ylnt,t
17、 在 R 上为减函数,而 ylnt 为增函数,则 f(x)ln( x )在 R 上为减函数,不符合题意;故选:C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题5 (5 分)在ABC 中,三边长分别为 a,a+2 ,a+4,最小角的余弦值为 ,则这个三角形的面积为( )A B C D【分析】设最小角为 ,故 对应的边长为 a,然后利用余弦定理化简求解即可得 a 的值,再由三角形面积公式求解即可【解答】解:设最小角为 ,故 对应的边长为 a,则 cos ,解得 a3最小角 的余弦值为 , 故选:A【点评】本题考查余弦定理,考查三角形面积公式的
18、应用,是基础题6 (5 分)如图,在ABC 中, ,P 是 BN 上一点,若 t + ,则实数 t的值为( )第 10 页(共 29 页)A B C D【分析】由题意,可根据向量运算法则得到 +(1m) ,从而由向量分解的唯一性得出关于 t 的方程,求出 t 的值【解答】解:由题意及图, ,又, ,所以 , +(1m) ,又 t + ,所以 ,解得 m ,t ,故选:C【点评】本题考查平面向量基本定理,根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键,本题属于基础题难度较低,7 (5 分)已知双曲线 C: 1(a0,b0)的左右焦点分别为 F1,F 2,实轴长为 6,渐近线方程为
19、 y x,动点 M 在双曲线左支上,点 N 为圆 E:x 2+(y+ )21 上一点,则|MN|+|MF 2|的最小值为( )A8 B9 C10 D11【分析】求得双曲线的 a,b,可得双曲线方程,求得焦点坐标,运用双曲线的定义和三点共线取得最小值,连接 EF1,交双曲线于 M,圆于 N,计算可得所求最小值【解答】解:由题意可得 2a6,即 a3,渐近线方程为 y x,即有 ,即 b1,可得双曲线方程为 y 21,焦点为 F1( ,0) ,F 2, ( ,0) ,第 11 页(共 29 页)由双曲线的定义可得|MF 2|2a+|MF 1|6+|MF 1|,由圆 E:x 2+(y +
20、 ) 21 可得 E(0, ) ,半径 r1,|MN|+|MF2|6+|MN|+|MF 1|,连接 EF1,交双曲线于 M,圆于 N,可得|MN |+|MF1|取得最小值,且为 |EF1| 4,则则|MN |+|MF2|的最小值为 6+419故选:B【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查圆的方程的运用,以及三点共线取得最值,考查数形结合思想和运算能力,属于中档题8 (5 分)已知函数 f(x )sin(x+) (0, )的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ,若将函数 f(x )的图象向左平移 后得到偶函数 g(x)的图象,则函数 f(x)的一个单调递减区间为( )A B
21、 C0 , D 【分析】首先利用函数的图象确定函数的关系式,进一步求出函数的单调区间,再根据所求的区间的子集关系确定结果【解答】解:函数 f(x )sin(x+) (0, )的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ,则:T,所以: 2将函数 f(x)的图象向左平移 后,第 12 页(共 29 页)得到 g(x)sin(2x+ +)是偶函数,故: (kZ) ,解得: (kZ) ,由于: ,所以:当 k0 时 则 ,令: (kZ) ,解得: (kZ) ,当 k0 时,单调递减区间为: ,由于 ,故选:B【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数的性质周期性和单调性的应用,主要
22、考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型9 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A16 +(32+16 +16 ) B16 +(16+16 +16 )C16 +(32+32 +32 ) D16 +( 16+32 +32 )【分析】首先把三视图进行复原,进一步求出各个几何体的表面积,最后确定总面积【解答】解:根据几何体的三视图得到:该几何体是由:上面是一个长方体,下面是由两个倒扣的圆锥构成,第 13 页(共 29 页)故:上面的正方体的表面积为: ,设中间的圆锥展开面的圆心角为 n,所以: ,解得:n ,所以圆锥的展
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