2019年河南省开封市中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2019 年河南省开封市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡上1 （3 分）下列实数中，最小的数是（）A0 B1 C D2 （3 分）2019 年河南省清明节旅游市场共接待游客 1437 万人次，旅游收入 89.14 亿元，则数据 89.14 亿用科学记数法表示为（  ）A89.1410 6 B89.1410 7 C8.91410 8 D8.91410 93 （3 分）下列运算正确的是（  ）A2a 25a 23a 2 B （a 2） 3a 6C （a1） 2a

2、21 Da 3a4 a124 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（  ）Ak4 Bk4 Ck4 Dk 45 （3 分）2019 年 3 月 31 日，以“双城有爱，一生一世”为主题的郑开马拉松开赛在这次马拉松长跑比赛中，抽取了 10 名女子选手，记录她们的成绩（所用的时间）如下：选手（序号） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10时间（分钟） 152 155 166 178 183 189 193 195 195 198关于这组数据，下列说法不正确的是（  ）A这组样本数据的中位数是 186B这组样本数据的众数是 19

3、5C这组样本数据的平均数超过 170D这组样本数据的方差小于 306 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（  ）A24+2 B16+4 C16+8 D16+12第 2 页（共 32 页）7 （3 分）不等式组 的最大正整数解为（  ）A1 B2 C3 D48 （3 分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果下面有三个推断：当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖向上”的概率是 0.616；随着试验次数的增加， “钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概

4、率是 0.618；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 1000 时， “钉尖向上”的频率一定是0.620其中合理的是（  ）A B C D9 （3 分）如图，O 的半径为 4，将O 的一部分沿着弦 AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕 AB 的长为（   ）A4 B6 C2 D310 （3 分）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，B60，动点 P 以 1 厘米秒的速度自A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米 /秒的速度自 B 点出发沿折线BCD 运动至 D 点停止若点 P、Q 同时出发运动了 t 秒，记BPQ 的面积为 S 厘米 2

5、，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（  ）第 3 页（共 32 页）A BC D二、填空题（本大题共有 5 题，每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90分别以 A、B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交 BC 于点 P，连结 AP，当B 为     度时，AP 平分 CAB 12 （3 分）已知：如图，在AOB 中，AOB90，AO 3cm，BO4cm 将AOB绕顶点 O，按顺时针方向旋转到 A 1OB1 处，此时线段 OB1 与 AB 的交点 D 恰好为 AB的中点，则线段

6、 B1D     cm 第 4 页（共 32 页）13 （3 分）如图，ABC 中，D、E 两点分别在 AB、BC 上，若AD：DBCE： EB2：3 ，则DBE 的面积：ADC 的面积      14 （3 分）如图，已知顶点为（3，6）的抛物线 yax 2+bx+c 经过点（1，4） ，下列结论： b2 4ac；ax 2+bx+c6；若点（2，m） ， （5，n）在抛物线上，则 mn； 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c4 的两根为 5 和1，其中正确的是      15 （3 分）如图，矩形 ABCD

7、 中，AB4，BC3，F 是 AB 中点，以点 A 为圆心，AD 为半径作弧交 AB 于点 E，以点 B 为圆心，BF 为半径作弧交 BC 于点 G，则图中阴影部分面积的差 S1S 2 为     三、解答题（本大题共 8 题，共 75 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请写在答题卡上16 （8 分）化简并求值：（ + ） ，其中 x，y 满足|x2|+ （2x y3）2017 （9 分）当今社会，手机越来越普遍，有很多人每天过分依赖手机，每天使用手机时间过长而形成了“手机瘾” ，因为解某高校大学生每天使用手机时间的情况，某社团随机调查了部分学生用手机的时间将调查

8、结果分为五类：第 5 页（共 32 页）A基本不用；B平均每天使用 1 到 2 小时；C 平均每天使用 2 到 4 小时；D平均每天使用 4 到 6 小时；E平均每天使用超过六小时并把所得数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据相关信息解答下列问题（1）将上面的条形统计图补充完整；（2）若每天使用手机的时间超过六小时，则患有严重的“手机瘾” ，该校共有学生14900 人，试估计该校有多少人患有严重的“手机瘾”？（3）在被调查的基本不使用手机的四位同学中，有两男两女，现要从中随机抽取两名同学去参加座谈会，请你用列表法或树图法求出所选同学恰好是一男同学和一名女同学的概率18 （9 分）如图在平行四

9、边形 ABCD 中，圆 O 是ABC 的外接圆，CD 与圆 O 相切于点C，点 P 是劣弧 上的一个动点，点 P 不与 BC 重合连接 PA，PB，PC （1）求证 CACB；（2）当 APAC 时，试判断APC 与CBA 是否全等，请说明理由；（3）填空：当D 的度数为      时，四边形 ABCD 是菱形19 （9 分）如图某数学社团测量坡角BCD30的斜坡上大树 AB 的高度小东在离山脚底部 C 点一米 F 处测得大树顶端 A 的仰角为 45，树底部 B 的仰角为 20测得斜坡上树底 B 到山脚 C 点的距离为 求树 AB 的高度 （sin200.34，c

10、os200，.94，tan20 0.36）第 6 页（共 32 页）20 （9 分）参照学习函数的过程与方法，探究函数 y （x0）的图象与性质，因为y ，即 y +1，所以我们对比函数 y 来探究列表：x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1 2 4 4 2 1 y 2 3 5 3 1 0 描点：在平面直角坐标系中以自变量 x 的取值为横坐标，以 y 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；（1）请把 y 轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：当 x0 时，y 随 x 的增大而     ；（“增大”或“减小” ）

11、y 的图象是由 y 的图象向     平移      个单位而得到的：图象关于点     中心对称 （填点的坐标）（3）函数 y 与直线 y2x +1 交于点 A，B，求 AOB 的面积第 7 页（共 32 页）21 （10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种商品的销售单价为 88

12、元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？22 （10 分）操作：如图，点 O 为线段 MN 的中点，直线 PQ 与 MN 相交于点 O，请利用图 画出一对以点 O 为对称中心的全等三角形根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的等量关系，并证明你的结论；探

13、究二：如图，DE 、BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且BE：EC1：2 ，BAEEDF，CF AB若 AB5，CF1，求 DF 的长度第 8 页（共 32 页）23 （11 分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+4 与抛物线 y x2+bx+c（b，c是常数）交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上设抛物线与 y 轴的另一个交点为点 C（1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点 A、B 重合） ，如图 2，若点 P 在直线 AB 上方，连接 OP 交 AB 于点 D，求 的最大值；如图 3，若点 P 在 x 轴的上方，连接 PC，以

14、 PC 为边作正方形 CPEF，随着点 P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点 E 或 F 恰好落在 y 轴上，直接写出对应的点 P 的坐标第 9 页（共 32 页）2019 年河南省开封市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡上1 （3 分）下列实数中，最小的数是（  ）A0 B1 C D【分析】根据正数大于 0，0 大于负数，两个负数，绝对值大的反而小比较【解答】解：正数和 0 都大于负数，可见，A、B 选项错误；| | ， ， 最小，故选：C【

15、点评】本题考查了实数大小的比较，知道正数大于 0，0 大于负数，两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键2 （3 分）2019 年河南省清明节旅游市场共接待游客 1437 万人次，旅游收入 89.14 亿元，则数据 89.14 亿用科学记数法表示为（  ）A89.1410 6 B89.1410 7 C8.91410 8 D8.91410 9【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值是易错点，由于 8914 亿8914000000 有 10 位，所以可以确定 n1019【解答】解：89.14 亿89140000008.91410 9，故

16、选：D【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键3 （3 分）下列运算正确的是（  ）A2a 25a 23a 2 B （a 2） 3a 6C （a1） 2a 21 Da 3a4 a12【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法求出每个式子的值，再判断即可【解答】解：A、结果是3a 2，故本选项不符合题意；第 10 页（共 32 页）B、结果是a 6，故本选项符合题意；C、结果是 a22a+1 ，本选项不符合题意；D、结果是 a7，故本选项不符合题意；故选：B【点评】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方，完全平

17、方公式，同底数幂的乘法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（  ）Ak4 Bk4 Ck4 Dk 4【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 有两个相等的实数根，4 24k164k 0，解得：k4故选：A【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当0 时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键5 （3 分）2019 年 3 月 31 日，以“双城有爱，一生一世”

18、为主题的郑开马拉松开赛在这次马拉松长跑比赛中，抽取了 10 名女子选手，记录她们的成绩（所用的时间）如下：选手（序号） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10时间（分钟） 152 155 166 178 183 189 193 195 195 198关于这组数据，下列说法不正确的是（  ）A这组样本数据的中位数是 186B这组样本数据的众数是 195C这组样本数据的平均数超过 170D这组样本数据的方差小于 30【分析】分别根据所给数据计算出中位数、众数、平均数、方差，然后再确定答案【解答】解：中位数：（183+189）2186；195 出现的次数最多，因此众数为 195；（152

19、+155+166+178+183+189+193+195+195+198） 10180.4；第 11 页（共 32 页）S2 （152180.4） 2+（155180.4） 2+（166180.4） 2+（178180.4）2+（183180.4） 2+（189180.4） 2+（193180.4） 2+（195180.4）2+（195180.4） 2+（198180.4） 2264.04，故选：D【点评】此题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，关键是掌握三种数的定义，掌握方差的计算公式6 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（  ）A24+2 B16+4 C

20、16+8 D16+12【分析】根据三视图知该几何体是一个半径为 2、高为 4 的圆柱体的纵向一半，据此求解可得【解答】解：该几何体的表面积为 2 22+44+ 22412+16，故选：D【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算7 （3 分）不等式组 的最大正整数解为（  ）A1 B2 C3 D4【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可【解答】解：解不等式 得： x1，解不等式 得： x4，不等式组的解集为1x4，不等式组的大正整数解为 3，故选：C第 12 页（共 32 页）【点评】本题考

21、查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键8 （3 分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果下面有三个推断：当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖向上”的概率是 0.616；随着试验次数的增加， “钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 1000 时， “钉尖向上”的频率一定是0.620其中合理的是（  ）A B C D【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确

22、，从而可以解答本题【解答】解：当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以此时“钉尖向上”的频率是：3085000.616，但“钉尖向上”的概率不一定是 0.616，故错误，随着实验次数的增加， “钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618故正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时， “钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是 0.620，故错误，故选：B【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答9 （3 分）如图，O 的半径为 4，将O

23、的一部分沿着弦 AB 翻折，劣弧恰好经过圆心第 13 页（共 32 页）O，则折痕 AB 的长为（   ）A4 B6 C2 D3【分析】过 O 作垂直于 AB 的半径 OC，设交点为 D，根据折叠的性质可求出 OD 的长；连接 OA，根据勾股定理可求出 AD 的长，由垂径定理知 AB2AD，即可求出 AB 的长度【解答】解：过 O 作 OCAB 于 D，交O 于 C，连接 OA，RtOAD 中，ODCD OC2，OA 4，根据勾股定理，得：AD ，由垂径定理得，AB2AD 4 ，故选：A【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大

24、小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键10 （3 分）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，B60，动点 P 以 1 厘米秒的速度自A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米 /秒的速度自 B 点出发沿折线BCD 运动至 D 点停止若点 P、Q 同时出发运动了 t 秒，记BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（  ）A B第 14 页（共 32 页）C D【分析】应根据 0t2 和 2t 4 两种情况进行讨论把 t 当作已知数值，就可以求出 S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解【解答】解：当 0t2

25、时， S 2t （4t） t2+2 t；当 2t4 时，S 4 （4t ） t+4 ；只有选项 D 的图形符合故选：D【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键二、填空题（本大题共有 5 题，每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90分别以 A、B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交 BC 于点 P，连结 AP，当B 为 30 度时，AP 平分 CAB【分析】利用基本作法，图中作了 AB 的垂直平分线，所以 PAPB，则BPAB，则证明BPABPAC，然后利用三角形

26、的内角和可计算出B 的度数【解答】解：由作法得 P 点在 AB 的垂直平分线上，PAPB，BPAB，AP 平分CAB，PAB PCA，第 15 页（共 32 页）BPABPCA，而B+PAB +PAC90，B30即当B 为 30 度时，AP 平分CAB故答案为 30【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握 5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 12 （3 分）已知：如图，在AOB 中，AOB90，AO 3cm，BO4cm 将AOB绕顶点 O，按顺时针方向旋转到 A 1OB1 处，此时线段 OB1 与 A

27、B 的交点 D 恰好为 AB的中点，则线段 B1D 1.5  cm 【分析】先在直角AOB 中利用勾股定理求出 AB 5cm ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 OD AB2.5cm然后根据旋转的性质得到OB1OB4cm，那么 B1D OB1OD1.5cm【解答】解：在AOB 中，AOB90，AO3cm，BO4cm ，AB 5cm，点 D 为 AB 的中点，OD AB2.5cm将AOB 绕顶点 O，按顺时针方向旋转到A 1OB1 处，OB 1OB 4cm，B 1DOB 1OD1.5cm故答案为 1.5第 16 页（共 32 页）【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转

28、中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理13 （3 分）如图，ABC 中，D、E 两点分别在 AB、BC 上，若AD：DBCE： EB2：3 ，则DBE 的面积：ADC 的面积     【分析】先证BED 与BCA 相似，求出BED 与BCA 的相似比，进一步求出其面积比，然后分别过点 B，D 作 AC 的垂线 BM，DN，求出 DN 与 BM 的比值，推出DCA 与BCA 的面积比，结合BED 与BCA 的面积比即可求出最终结果【解答】解： ， ，又DBEABC ，BEDB

29、CA， ，分别过点 B，D 作 AC 的垂线 BM，DN，则 DNBM，ADNABM， ，第 17 页（共 32 页）S ADC ACDN，S BCA ACBM， ， ，故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质及同底不等高的三角形面积比等于其高之比这一结论14 （3 分）如图，已知顶点为（3，6）的抛物线 yax 2+bx+c 经过点（1，4） ，下列结论： b2 4ac；ax 2+bx+c6；若点（2，m） ， （5，n）在抛物线上，则 mn； 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c4 的两根为 5 和1，其中正确的是 【分析】利用二次函

30、数与一元二次方程的关系及其与一元一次不等式的关系，以及二次函数的对称性可以求解【解答】解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，b 24ac0，从而 b24ac，故正确；已知该抛物线是开口向上，顶点为（3，6） ，故 ax2+bx+c6 正确，从而正确；第 18 页（共 32 页）由抛物线的对称轴为 x3，点（2，m ） ， （5，n）在抛物线上，则点（ 2，m ）离对称轴的距离为 1，而点（5，n）离抛物线的距离为 2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而 mn，故 错误；由图象可知，x1 为关于 x 的一元二次方

31、程 ax2+bx+c 4 的一个根，由二次函数的对称性，可知5 为另一个根，从而正确；、综上，正确的是故答案为：【点评】本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一元一次不等式，及二次函数的对称性，难度中等15 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC3，F 是 AB 中点，以点 A 为圆心，AD 为半径作弧交 AB 于点 E，以点 B 为圆心，BF 为半径作弧交 BC 于点 G，则图中阴影部分面积的差 S1S 2 为 12   【分析】根据图形可以求得 BF 的长，然后根据图形即可求得 S1S 2 的值【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB4，

32、BC3，F 是 AB 中点，BFBG 2，S 1S 矩形 ABCDS 扇形 ADES 扇形 BGF+S2，S 1S 243 12 ，故答案为：12 【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答三、解答题（本大题共 8 题，共 75 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请写在答题卡上16 （8 分）化简并求值：（ + ） ，其中 x，y 满足|x2|+ （2x y3）20第 19 页（共 32 页）【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出

33、x 与 y 的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式 ，|x 2|+（2xy3） 20，|x 2|0， （2xy 3） 2 0，x2，y1原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键17 （9 分）当今社会，手机越来越普遍，有很多人每天过分依赖手机，每天使用手机时间过长而形成了“手机瘾” ，因为解某高校大学生每天使用手机时间的情况，某社团随机调查了部分学生用手机的时间将调查结果分为五类：A基本不用；B平均每天使用 1 到 2 小时；C 平均每天使用 2 到 4 小时；D平均每天使用 4 到 6 小时；E平均每天使用超过六小时并把所得数据绘制成如下两幅

34、不完整的统计图，请根据相关信息解答下列问题（1）将上面的条形统计图补充完整；（2）若每天使用手机的时间超过六小时，则患有严重的“手机瘾” ，该校共有学生14900 人，试估计该校有多少人患有严重的“手机瘾”？（3）在被调查的基本不使用手机的四位同学中，有两男两女，现要从中随机抽取两名同学去参加座谈会，请你用列表法或树图法求出所选同学恰好是一男同学和一名女同学的概率【分析】 （1）由题意得：调查的学生数为：48%50，再求得 B 类人数，即可补全统计图；第 20 页（共 32 页）（2）由题意可得：我校学生患有严重的“手机瘾”的约有：149010%149（名） ；（3）首先根据题意画出树状图，然

35、后由树状图求得所有等可能的结果与两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）根据题意得：调查的学生数为：48%50（名） ；则 B 类别人数为 504209512（名） ；如图：（2）我校学生患有严重的“手机瘾”的有约有：1490010%1490（名） ；（3）画树状图得：共有 12 种等可能的结果，所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的有 8 种情况，所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率为 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步

36、或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比18 （9 分）如图在平行四边形 ABCD 中，圆 O 是ABC 的外接圆，CD 与圆 O 相切于点C，点 P 是劣弧 上的一个动点，点 P 不与 BC 重合连接 PA，PB，PC 第 21 页（共 32 页）（1）求证 CACB；（2）当 APAC 时，试判断APC 与CBA 是否全等，请说明理由；（3）填空：当D 的度数为  60 时，四边形 ABCD 是菱形【分析】 （1）连接 CO 交 AB 于点 E，由 CD 与圆 O 相切于点 C，得到 CECD，因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 ABCD，因此 CEAB，所以

37、 AEBE，于是CACB；（2）当 ACAP 时，CPAABC由于 ACBC，ACAP，则ABCBAC，APC ACP ，根据圆周角定理得ABCAPC，则BACACP，加上 AC CA，即可得到CPAABC；（3）如图 2，连接 OC，AC， OB，根据平行线的性质得到BCD120，根据切线的性质得到OCD90，推出 BO 垂直平分 AC，即可得到结论【解答】解：（1）证明：如图 1，连接 CO 交 AB 于点 E，CD 与圆 O 相切于点 C，CECD，四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD，CEAB，AEBE，CACB；（2）当 APAC 时，APCCBA，理由如下：CACB，APACA

38、BCBAC，APC ACP ，ABCAPC，BACACP，在APC 与CBA 中，第 22 页（共 32 页）APCCBA（AAS ） ；（3）当ABC 的度数为 60时，四边形 ABCD 是菱形，如图 2，连接 OC，AC，OB，ABC60，BCD120，CD 与 O 相切于点 C，OCD90，BCO30，OBOC，OBC30，ABO30，BO 垂直平分 AC，ABBC，四边形 ABCD 是菱形故答案为 60【点评】本题是圆综合题，熟练掌握切线的性质、垂径定理、圆周角定理等相关性质是解题的关键19 （9 分）如图某数学社团测量坡角BCD30的斜坡上大树 AB 的高度小东在离山脚底部 C 点一

39、米 F 处测得大树顶端 A 的仰角为 45，树底部 B 的仰角为 20测得斜坡上树底 B 到山脚 C 点的距离为 求树 AB 的高度 （sin200.34，cos200，.94，tan20 0.36）第 23 页（共 32 页）【分析】首先在直角三角形 BDC 中求得 DC 的长，然后求得 DF 的长，进而求得 GF 的长，然后在直角三角形 BGE 中即可求得 BG 的长，从而求得树高【解答】解：底部 B 点到山脚 C 点的距离 BC 为 6 米，山坡的坡角为 30在 RtBDC 中DCBCcos306 9（米） ，CF1 米，DF9+1 10 米，GE10 米，AEG45，AGEG 10（米

40、） ，在直角三角形 BGE 中，BGGEtan20100.36 3.6（米） ，ABAG BG103.66.4 米，答：树高约为 6.4 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形20 （9 分）参照学习函数的过程与方法，探究函数 y （x0）的图象与性质，因为y ，即 y +1，所以我们对比函数 y 来探究列表：x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1 2 4 4 2 1 第 24 页（共 32 页）y 2 3 5 3 1 0 描点：在平面直角坐标系中以自变量 x 的取值为横坐标，以 y 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图

41、所示；（1）请把 y 轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：当 x0 时，y 随 x 的增大而 增大 ；（“增大”或“减小” ）y 的图象是由 y 的图象向 上 平移  1 个单位而得到的：图象关于点 （0，1） 中心对称 （填点的坐标）（3）函数 y 与直线 y2x +1 交于点 A，B，求 AOB 的面积【分析】 （1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）联立方程求出点 A、B 的坐标，由此即可解决问题；【解答】解：（1）函数图象如图所示：第 25 页（共 32 页）（2） 当 x0 时，y 随 x 的

42、增大而增大；y 的图象是由 y 的图象向上平移 1 个单位而得到；图象关于点（0，1）中心对称故答案为：增大，上，1， （0，1） ；（3）根据题意得： 2x+1，解得：x1，当 x1 时，y2x +11 ，当 x1 时，y 2x +13 ，交点为（1，1） ， （1，3） ，当 y0 时，2x +10，x ，AOB 的面积 （3+1） 1【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型21 （10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元

43、，且购进的甲、乙两种商品件数相同（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种商品的销售单价为 88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？第 26 页（共 32 页）【分析】 （1）设甲种商品的每件进价为 x 元，乙种商品的每件进价为 y 元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400 元购进的甲、乙两

44、种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460 元”列出不等式【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为 x 元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元根据题意，得， ，解得 x40经检验，x40 是原方程的解答：甲种商品的每件进价为 40 元，乙种商品的每件进价为 48 元；（2）甲乙两种商品的销售量为 50设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则（6040）a+（600.740） （50a）+（8848）502460，解得 a20答：甲种商品按原销售单价至少销售 20 件【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用本题属于

45、商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润售价进价22 （10 分）操作：如图，点 O 为线段 MN 的中点，直线 PQ 与 MN 相交于点 O，请利用图 画出一对以点 O 为对称中心的全等三角形根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的等量关系，并证明你的结论；探究二：如图，DE 、BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且BE：EC1：2 ，BAEEDF，CF AB若 AB5，CF1，求 DF 的长度第 2

46、7 页（共 32 页）【分析】 （1）根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据，来画出全等三角形（2）本题可通过作辅助线将 AB，FC，AF 构建到一个相关联的三角形中，可延长AE、DF 交于点 M，不难证明 ABEMCE，那么 ABCF，现在只要将 AF 也关联到三角形 BEC 中，我们发现，BAE EAF，BAE M（ABCD） ，那么三角形AMF 就是个等腰三角形，AFMF，因此 ABMCMF+FC AF+FC；（3）本题的作法与（2）类似，延长 DE、CF 交于点 G，不难得出ABEGCE，可根据线段的比例关系和 AB 的值得到 CG 的值，然后就能得出 FG 的值，同（2）可得出DFG 是等腰三角形，那么 DFGF，这样就求出 DF 的值了【解答】解：（1）如图（2）结论：ABAF +CF证明：分别延长 AE、DF 交于点 ME 为 BC 的中点，BECE，ABCD，BAE M，在ABE 与MCE 中， ，ABE MCE（AAS） ，ABMC，又BAE EAF ，MEAF，MFAF，第 28 页（共 32 页）又MCMF+CF，ABAF+CF ；（3）分别延长