备战2020年高考数学理科一轮单元训练金卷:第10单元 空间向量在立体几何中的应用(B卷)含答案解析
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1、单元训练金卷高三数学卷(B )第 10 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用注 意 事 项 :1 答 题 前 , 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 , 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 : 每 小 题 选 出 答 案 后 , 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ,写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 : 用
2、 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 , 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120,则直线 与平面 所成的角等于( )A120 B30 C60 D60或 302若两个向量 , ,则平
3、面 的一个法向量为( )1,23,21AA B C D3已知 为直线 l 的方向向量, , 分别为平面 , 的法向量 不重合 那么下列说法中:v1n2; ; ; 12 n12 1l vn1l vn正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4如图,平行六面体 中, 与 交于点 ,设 ,ABa, ,则 ( )Db1c1MA B C D12abc12abc12abc12abc5在正三棱柱 中,若 ,则 与 所成角的大小为( )1CA1B1ABA B C D607505906已知在长方体 中, , , , 是侧棱 的中点,则直线与平面 所成角的正弦值为( )A B C D134959237已
4、知 , , ,则“ ”是“ , , 构成空间的23, ,a1, ,b13m, ,cabc一个基底”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件8已知正四棱柱 的体积为 ,底面 ABCD 的边长为 1,则二面角 的余弦值为( )A B C D377217279在正方体 中,点 E 是棱 的中点,点 F 是线段 上的一个动点有以下三个命题:异面直线 与 所成的角是定值;三棱锥 的体积是定值;直线 与平面所成的角是定值,其中真命题的个数是( )A3 B2 C1 D010当动点 在正方体 的体对角线 上运动时,异面直线 与 所成角的取值范围是( )A B C D,64
5、,63,43,3211三棱柱 的侧棱与底面垂直, , ,N 是 BC 的中点,点 P 在 上,且满足 ,当直线 PN 与平面 ABC 所成的角取最大值时, 的值为( )A B C D122322512如图,在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABC平面 BCD,BAC 与BCD 均为等腰直角三角形,且BAC=BCD =90,BC=2,点 P 是线段 AB 上的动点,若线段 CD 上存在点 Q,使得异面直线 PQ 与AC 成 30的角,则线段 PA 长的取值范围是( )A B C D20, 603, 2, 623,第 卷二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 13
6、若向量 ,且 与 的夹角为钝角,则实数 的取值范围为_14已知在长方体 中, , , ,E 是侧棱 的中点,则直线 AE 与平面 所成角的正弦值为_15已知圆锥的顶点为 , 为底面中心, , , 为底面圆周上不重合的三点, 为底面的直径, 为 的中点设直线 与平面 所成角为 ,则 的最大值为_ 16 , 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 的直角边 所在直线与 , 都垂直,斜边 以直线 为旋转轴旋转,有下列结论:(1 )当直线 与 成 角时, 与 成 角;(2 )当直线 与 成 角时, 与 成 角;(3 )直线 与 所成角的最小值为 ;(4 )直线 与 所成角的最小值为 ,其中正确的是
7、_(填写所有正确结论的编号) 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 个 大 题 , 共 70 分 , 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 ( 10 分)如图四棱锥 中,底面 是正方形, , ,且PABCDABPBCD,PAB为 中点ED(1 )求证: 平面 ;(2 )求二面角 的正弦值EC18 ( 12 分)如图,已知多面体 的底面 是边长为 2 的菱形, 底面 ,PABCDEPABCD,且 EDPA 2E(1 )证明:直线 平面 ;B(2 )证明:平面 平面 ;(3 )若直线 与平面 所成的角为 ,求二面角 的余弦值CD45PCED19 (
8、 12 分)如图,正方形 边长为 ,平面 平面 , 12CEDAB,(1 )证明: ;(2 )求二面角 的余弦值20 ( 12 分)如图,在四棱锥 中,底面 是梯形,是正三角形, 为 的中点,平面平面 (1 )求证: 平面 ;(2 )在棱 上是否存在点 ,使得二面角 的余弦值为 ?若存在,求出 的3819PFD值;若不存在,说明理由21 ( 12 分)等腰直角三角形 中, ,点 在边 上, 垂直 交 于 ,如图90ABC将 沿 折起,使 到达 的位置,且使平面 平面 ,连接 , ,如图(1 )若 为 的中点, ,求证: ;(2 )若 ,当三棱锥 的体积最大时,求二面角 的余弦值22 ( 12
9、分)如图,在圆柱 中,点 、 分别为上、下底面的圆心,平面 是轴截面,点在上底面圆周上(异于 、 ) ,点 为下底面圆弧 的中点,点 与点 在平面 的同侧,圆柱 的底面半径为 1,高为 2(1 )若平面 平面 ,证明: ;(2 )若直线 与平面 所成线面角 的正弦值等于 ,证明:平面 与平面 所成15锐二面角的平面角大于 3单 元 训 练 金 卷 高 三 数 学 卷 ( B)第 10 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 答 案第 卷一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 小 题 , 每 小 题 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有
10、 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【 答案】B【解析】设直线 与平面 所成的角为 ,则 ,故选 B2 【 答案】A【解析】设平面 ABC 的法向量为 ,则 ,xyz, ,n0ACn即 ,令 ,则 ,230xyz即平面 ABC 的一个法向量为 ,故选 A12, ,n3 【 答案】B【解析】平面 , 不重合; 平面 , 的法向量平行 垂直 等价于平面 , 平行 垂直 ,正确;直线 l 的方向向量平行 垂直 于平面 的法向量等价于直线 l 垂直 平行 于平面 , 都错误故选 B4 【 答案】D【解析】 , , , ,故选 D11 122BMABDcab5 【 答案】D【解析】由题意可得 ,
11、 平面 ,60C1ABC设 ,则 ,1B2A又 , ,1AB11BC所以 2111()()ABCBA02cos60故 ,即 ,即 与 所成角的大小为 1ABC1B190故选 D6 【 答案】B【解析】在长方体 中, , , , 是侧棱 的中点,以为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系,0, , , , , 0, , 0, , 1, ,设平面 的法向量为 ,则 ,取 ,得 ,,xyzn240DAxzEyn21, ,n设直线 与平面 所成角为 ,则 si 9直线 与平面 所成角的正弦值为 ,故选 B497 【 答案】A【解析】 当“ ”时, ,13, ,c易得 , , 不共面,即
12、 , , 能构成空间的一个基底,abcab即“ ”是“ , , 构成空间的一个基底”的充分条件;当 , , 能构成空间的一个基底,则 , , 不共面,cabc设 , , 共面,即 ,解得 ,即 ,abxyab1234xym21xy即 , , 能构成空间的一个基底时,m 的取值范围为 ,c即当 , , 能构成空间的一个基底,不能推出 ,ab即“ ”是“ , , 构成空间的一个基底”的不必要条件,c综合 得:“ ”是 , , 构成空间的一个基底”的充分不必要条件,故选 Aab8 【 答案】C【解析】过 D 作 于 ,连接 AO,则 就是二面角 的平面角正四棱柱 的体积为 ,底面 ABCD 的边长为
13、 1, 在 中, , ,可得 , 32DO在 中, ,27AOD故选 C31cos9 【 答案】B【解析】以 A 点为坐标原点,AB,AD, 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,可得 B(1,0 ,0) ,C(1,1,O),D (0, 1,0) , (0,0,1), (1,0 ,1) ,(1,1,1), (0,1 ,1),设 F(t,1,1-t ), (0t1) ,可得 =(1,1 ,1) , =(t-1,1,- t),可得 ,1ACBF故异面直线 与 所得角是定值,故正确;三棱锥 的底面 面积为定值,且 ,点 F 是线段 上的一个动点,可得 F 点到底面
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