上海市杨浦区2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）

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1、1.若实数 a 满足：a 21，4， a，则实数 a 的取值集合为 _【答案】 1， 2，2，0【解析】实数 满足： 1，4， ， =1 或 =4，或 =a，解得 =2 或 =2 或 =1 或 =1 或 =0，当 =1 时，集合为1，4，1，不合题意；当 =1，或 =2，或 =0 时，满足题意实数 的取值集合为1， 2，2，0故答案为： 1，2，2，0 2.函数 的定义域为_【答案】 2，3）【解析】由题意得 ，解得 函数的定义域为：2，3） 故答案为：2，3） 3.命题“若 ab0，则 b0” 的逆否命题是_【答案】 “若 b0，则 ab0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的

2、条件与结论同时否定得到，所以命题“若 ab0，则 b0”的逆否命题是“ 若 b0，则 ab0”.故答案为：“若 b0，则 ab0”.4.函数 y= +2 的单调区间是_【答案】 （， 0）和（0，+）【解析】由题意得函数 的定义域为 ，又函数 在 和 上单调递减，所以函数 的单调减区间是 和 故答案为：（ ，0）和（0，+） 5.已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则当 时，_【答案】【解析】设 ，则 ，由已知当 时， ，当 时，可得 ， 6.已知符号函数 sgn（x） ，则函数 f（x）=sgn（x）2x 的所有零点构成的集合为_【答案】  【解析】当 x0 时，函数 f（x）

3、=sgn（x）2x =1 2x，令 12x=0，得 x= ，即当 x0 时，函数 f（x）的零点是 ；当 x=0 时，函数 f（x）=0 ，故函数 f（x）的零点是 0；当 x0 时，函数 f（x）= 12x，令12x =0，得 x= ，即当 x0 时，函数 f（x）的零点是 综上可得函数 f（x ）=sgn（x）x 的零点的集合为： 7.函数 的值域为_.【答案】【解析】由指数函数的性质可知： ，据此可知： ，函数的值域为 .8.已知 a0，b0，则 的最小值为_【答案】4【解析】由题意得 ， ， ， ，当且仅当 ，即 时等号成立 的最小值为 4故答案为：49.设集合 A=1，2，6，B=2

4、 ，4 ，C =xR |1x5，则（AB）C=_【答案】1，2，4【解析】A=1，2，6，B=2，4 ，AB=1，2，4 ，6，又 C=x|1x5，x R ，（AB） C=1，2，4 故答案为：1，2，410.若 y=f（x）是定义在（ ，+）上的单调减函数，且 f（x）f（2x2） ，则 x 的取值范围_【答案】 （， 2）【解析】f（x ）f（2x 2） ，且 y=f（x ）是定义在（，+ ）上的单调减函数，x2x2，解得 x2x 的取值范围为（ ，2） 故答案为：（，2） 11.若函数 ，则 _【答案】1【解析】由题意得 故答案为：112.定义：若平面点集 A 中的任一个点（x 0，y

5、0） ，总存在正实数 r，使得集合，则称 A 为一个开集给出下列集合：（x，y）|x 2+y2=1；（x，y ）|x+y+20；（x，y）|x+ y|6；  其中不是开集的是_ （请写出所有符合条件的序号）【答案】【解析】对于，集合 A=（x，y）| x2+y2=1表示以原点为圆心，1 为半径的圆，则在该圆上任意取点（x 0，y 0） ，以任意正实数 r 为半径的圆面，均不满足 ，故不是开集对于，集合 A=（x，y ）|x+y+20 ，对于 A 中的任一点（ x0，y 0） ，设该点到直线x+y+2=0 的距离为 d，取 r=d，则满足 ，故是开集对于，集合 A=（x，y ）|x+y

6、|6，在曲线| x+y|=6 任意取点（x 0，y 0） ，以任意正实数 r 为半径的圆面，均不满足 ，故该集合不是开集对于，集合 A= 表示以点 为圆心，以 1 为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集 A 中的任一点（x 0，y 0） ，则该点到圆周上的点的最短距离为d，取 r=d，则满足 ，故该集合是开集综上可得中的集合不是开集故答案为：二选择题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13.设 xR，则“|x 2|1” 是“ x2x60”的（  ）A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件    D.

7、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x 2|1 得1x 21，解得 1x3，由 x2x60，得2x 3因为 ， ，所以“1x3” 是“2x 3”的充分不必要条件，即“| x2|1”是“x 2x60” 的充分不必要条件故选 A14.已知函数 f（x ）=3 x+x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx +x 的零点依次为 x1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（  ）A. x1 x2 x3    B. x1 x3 x2    C. x3 x1 x2    D. x2 x3 x1【答案】B【解析】函数 f（x

8、）=3 x+x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为 x1，x 2，x 3，在坐标系中画出 y=3x，y=log 3x，y =sinx 与 y=x 的图象，如下图所示：由图形可知 x10，x 20，x 3=0，所以 x1x 3x 2故选 B15.已知非空集合 M 满足：若 xM ，则 M ，则当 4M 时，集合 M 的所有元素之积等于（ ）A. 0    B. 1    C. 1     D. 不确定【答案】C【解析】依题意，得当 4M 时，有 ，从而 ， ，于是集合 M 的元素只有 4， ， 所有元素之积

9、等于 4（ ） =-116.已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，对任意的 xR，均有 f（x+2）=f（x） ，当x0， 1）时，f（x ）=2 x1，则下列结论正确的是（   ）A. f（x）的图象关于 x=1 对称B. f（x）的最大值与最小值之和为 2C. 方程 f（x ）lg|x |=0 有 10 个实数根D. 当 x2 ，3时，f（x ）=2 x+21【答案】C【解析】由函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，可得 又当 x0 ，1）时，f（x ）=2 x1，所以，当 x1，0）时，x 0 ，1） ，则 f（x）=2 x1=f（x） ， 又 f（x+2）=f（x

10、） ，函数 f（x）是周期为 2 的周期函数画出函数 y=f（x）与 y=lg|x|的图象，如图所示，对于 A，结合图象可得函数 f（x）的图象无对称轴，所以 A 不正确对于 B，由图象可得，函数 f（x）没有最大值和最小值，所以 B 不正确对于 C，结合图象可得当 x0 时，函数 y=f（x）与 y=lg|x|的图象有 4 个交点，当 x0 时，函数 y=f（x）与 y=lg|x|的图象有 6 个交点，故方程 f（x）lg|x|=0 有 10 个实数根所以 C正确对于 D，当 x2，3)时，x20 ，1)，所以 故 D 不正确故选 C三解答题（共 5 小题，满分 76 分）17.设 p：实数

11、 x 满足 x24ax3a 20，其中 a0；q：实数 x 满足 x2x60.(1)若 a1，p 且 q 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若q 是p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围解：(1)由 x24ax3a 20 得(x3a)(xa)0，又 a0，所以 ax3a，当 a1 时，1x3，即 p 为真时，实数 x 的范围是 1x3；由 q 为真时，实数 x 的范围是2x 3，若 p 且 q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是(1,3)(2)p：xa 或 x3a，q：x2 或 x3，由q 是p 的充分不必要条件，有 得 0a1，显然此时p q，即 a 的取值范围为

12、(0,1 18.已知函数 y=f（x）为定义在（，0）（0，+）上的奇函数，且当 x0 时，（1）试求 f（2）的值；（2）指出 f（x ）的单调递增区间（直接写出结论即可） ；（3）求出 f（x ）的零点解：（1）函数 为奇函数， （2）当 x0 时，函数  在（3，+ ）上单调递增，又函数 y=f（x）为定义在（ ，0）（0，+）上的奇函数，函数 y=f（x）在（ ，3）上也单调递增，函数的单调递增区间为（， 3）和（3，+）.（3）当 时，由 ，得 ，解得 ， 是函数 的零点又函数 为奇函数， 也为函数 的零点综上可得函数 的零点为  和 19.已知函数 .（1）求不

13、等式 的解集；（2）若 对 恒成立，求 的取值范围.解：（1）因为 ， ，所以当 时，由 得 ；当 时，由 得 ；当 时，由 得 .综上， 的解集为 .（2）法一：由 得 ，因为 ，当且仅当 取等号，所以当 时， 取得最小值 .所以当 时， 取得最小值 ，故 ，即 的取值范围为 .法二：设 ，则 ，当 时， 取得最小值 ，所以当 时， 取得最小值 ，故 时，即 的取值范围为 .20.函数 f(x)的定义域为 Dx| x0，且满足对任意 x1，x 2D，有 f(x1x2)f(x 1)f(x 2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x 1

14、)<2，且 f(x)在(0，) 上是增函数，求 x 的取值范围解：(1)对于任意 x1，x 2D，有 f(x1x2)f(x 1)f (x2)，令 x1x 21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令 x1x 21，有 f(1)f(1) f (1)，f(1) f(1)0.令 x11，x 2x 有 f(x)f(1) f (x)，f (x )f (x)，f (x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x) 是偶函数， f( x1)<2f (|x1|)<f (16)又 f(x)在(0，)上是增函数0<|x 1|<16，解之得15<

15、;x<17 且 x1.x 的取值范围是 x|15<x <17 且 x121.已知函数 ， (1)若函数 是奇函数，求实数 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数 与函数 的图象公共点个数，并说明理由；(3)当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方，求实数 的取值范围解：（1）因为 为奇函数，所以对于定义域内任意 ，都有 ，即 ， ， 显然 ，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有 .上面等式左右两边同时乘以 得 ，化简得 ，.上式对定义域内任意 恒成立，所以必有 ，解得 .（2）由（1）知 ，所以 ，即 ，由 得 或 ，所以函数 定义域 . 由题意，要求方程 解的个数，即求

16、方程 在定义域 上的解的个数.令 ，显然 在区间 和 均单调递增，又 ，且 ， . 所以函数 在区间 和 上各有一个零点，即方程 在定义域 上有 2 个解，所以函数 与函数 的图象有 2 个公共点.（附注：函数 与 在定义域 上的大致图象如图所示）（3）要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，必须使 在 上恒成立，令 ，则 ，上式整理得 在 恒成立.方法一：令 ， . 当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，恒成立； 当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，解得 与 矛盾.  当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以由 ，解得 ，又 ，所以综合得 的取值范围是 .  方法二：因为 在 恒成立. 即 ，又 ，所以得 在 恒成立令 ，则 ，且 ，所以 ， 由基本不等式可知 （当且仅当 时，等号成立.）即，所以 ,所以 的取值范围是 .