【全国名校】2019届四川省成都市第七中学高三一诊模拟考试数学（理）试题（解析版）

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1、2019 届 四 川 省 成 都 市 第 七 中 学高 三 一 诊 模 拟 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题

2、的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1若随机变量 ，且 ，则(3,2) (5)=0.2 (166设实数 满足 ，则 的最大值是, 24+2210 +1A-1 B C1 D12 327“ ”是“ ”的2210)若 ，则 的值|=4 A B2 C D332 52二、填空题14某学校初中部共 120 名教师，高中部共 180 名教师，其性别比例如图所示

3、，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有 6 人，则工会代表中男教师的总人数为_.15设 ， ， 为自然对数的底数，若 ，则 的最小值是0 0 2+=1 2+1+1_.16若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是_()= 2+2,03+2,0 三、解答题17正项等比数列 中，已知 ， . 3=4 4=2+6求 的前 项和 ；(1) 对于 中的 ，设 ，且 ，求数列 的通项公式.(2) (1) =1 +1=() 18“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明” 江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情 每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续 25 天左右的梅雨季节，如

4、图是江南 Q 镇.年梅雨季节的降雨量 单位： 的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答2009 2018 ( )下列问题： “梅实初黄暮雨深” 假设每年的梅雨天气相互独立，求 Q 镇未来三年里至少有两年梅雨季节( ) .的降雨量超过 350mm 的概率； “江南梅雨无限愁” 在 Q 镇承包了 20 亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品( ) .种杨梅，平均每年的总利润为 28 万元 而乙品种杨梅的亩产量 亩 与降雨量之间的关系如下面. (/)统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为 元 ，请你帮助老李排解忧愁，他来320.01(/)年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润 万元 的

5、期望更大？ 需说明理由 ( ) ( )降雨量 100,200) 200,300) 300,400) 400,500亩产量 500 700 600 40019已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .22+22=1(0) 22 (2,0)求椭圆的标准方程；(1)设 为椭圆的中线，点 ，过点 的动直线 交椭圆于另一点 ，直线 上的点满足(2) (2,0) ，求直线 与 的交点 的轨迹方程.=4 20如图，在多面体 中， 和 交于一点，除 以外的其余各棱长均为 2. 作平面 与平面 的交线 ，并写出作法及理由；(1) 求证：平面 平面 ；(2) 若多面体的体积为 2，求直线 与平面 所成角的正弦值.(3)

6、 21已知函数 ，其中 为常数.()=+2+2 若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 的值；(1) =() =0 若对 ，都有 ，求 的取值范围.(2) 0, b0 ，但满足 的如 a=-2,b=-1 不能得到 ，2212故“ ”是“ ”的充分不必要条件 .2210 交点，结合图象求出实数 a 的取值范围【详解】由题意可将函数 有三个不同的零点转化为函数 y=a 与 有三个不同的()（ ） =2+2,03+2,0 交点，如图所示：当 时， 的图象易得，当 时，函数 g(x)= ， = =0，x=1,0 =2+2 03+2 () 2322在区间(0，1) 上单调递减，在区间 (1， )

7、上单调递增，如图所示：() +有三个不同的交点， a43故答案为： (3， 4 .【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题17 (1)=1212=21(2)=2【解析】【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出 a1=1，q=2，由此能求出 an的前 项和 (1) （2）由 ，直接利用累加法求出b n的通项+1=【详解】设正项等比数列 的公比为 ，则(1) (0)由 及 得 ，化简得 ，解得 或 （舍去）.3=4 4=2+6 4=4+6 2232=0 =2 =12于是 ，所以 ， .1=42=1 =1212=21 由已知 ， ，所以当

8、时，由累加法得(2) 1=1=1 +1=21() 2=(1)+(12)+(21)+1=(21+22+21)(1)+1，.=2(121)12 +2=2又 也适合上式，所以 的通项公式为 ， .1=1 =2 【点睛】本题考查数列通项公式、数列的前 n 项和的求法，考查累加法求通项等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18 乙(1)532(2)【解析】【分析】由频率分布直方图可求出降雨量超过 的概率，利用独立重复试验的概率公式计算三(1) 350年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率.350根据题意，列出随机变量 （万元）的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比较得出结论.(2) 【详解】频率分布

9、直方图中第四组的频率为 . (1) 1100(0.002+0.004+0.003)=0.1江南 地区在梅雨季节时降雨量超过 的概率为 . 350 500.003+0.1=0.25所以 地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率为 350（或 0.15625）.23(14)2(114)+33(14)3=964+164=532根据题意，总利润为 （元），其中 .(2) 20(320.01) =500,700,600,400所以随机变量 （万元）的分布列如下表. 27 35 31.2 22.4 0.2 0.4 0.3 0.1故总利润 （万元）的数学期望（万元）.=270.2+350.4+3

10、1.20.3+22.40.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31因为 3128，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考查计算能力19 (1)24+22=1(2)2+2+2=0(0)【解析】【分析】（1）利用椭圆 C： 的离心率为 ，且经过点 M（2，0），可求椭圆的几何22+22=1( 0) 22量，从而可求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得 B 点坐标，结合 求出 C 的坐=4标，写出 BD、OC 的直线方程，利用消参法求轨迹.【详解】因为椭圆的离心率 ，且 ，所以 . (1)

11、 =22 =2 =2又 .故椭圆的标准方程为 .2=22=224+22=1设直线 的方程为 （当 存在时，由题意 ），代入 ，并整理得(2) =+2 0 2+22=4.(2+2)2+4=0解得 ，于是 ，即 .=42+2 =+2=4222+2 (4222+2, 42+2)设 ，则 .(0+2,0) =(422)(0+2)2+2 +402+2=8422302+2由已知得 ，得 ，解得 ，于是 .=4 842230=42+8 0=4 (2,4)又 ，(2,0)由 两点的坐标可得直线 的方程为 ., =2(+2)又由点 坐标可得直线 的方程为 . =2两式相乘，消去参数 得 .（如果只求出交点 的坐

12、标，此步不得分） 2=(+2) 又当 不存在时， 四点重合，此时 也满足题意. , (2,0)故直线 与 的交点的轨迹方程 . 2+2+2=0(0)【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，正确运用韦达定理是关键20 见解析 见解析 (1) (2) (3)155【解析】【分析】由题意可得 平面 ，由线面平行的性质作出交线即可.(1) /取 的中点 ，连结 ， .由条件可证得 平面 ，故 .(2) 又 . 平面 .从而平面 平面 . 利用等体积法求得三棱锥 的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角.(3) 【详解】过点 作 （或 ）的平行线，即为所求直线

13、.(1) 和 交于一点， 四点共面.又 四边形 边长均相等. , 四边形 为菱形，从而 . /又 平面 ，且 平面 ， 平面 . /平面 ，且平面 平面 ， . = /取 的中点 ，连结 ， . ， ， ， .(2) =又 ， 平面 ， 平面 ，故 .= 又 四边形 为菱形， . 又 ， 平面 .= 又 平面 ， 平面 平面 . 由 ，即 .(3) =2=2=2 =1设三棱锥 的高为 ，则 ，解得 . 13(1223)=1 =3又 ， 平面 .=3 建立如图的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， . (0,1,0) ( 3,0,0) (0,0, 3) (0,1,0)， .=(0,1, 3) =(

14、3,1， 0)由 得，平面 的一个法向量为 .+3=03=0 =(1,3,1)又 ，于是 .=(0,1, 3) =2352=155故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 155【点睛】本题考查证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点21 (1)=1(2)1,【解析】【分析】（1）求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得 a 即可（2）对 a 分类讨论，易判断当 或当 时， 在区间 内是单调的，根据单调性得0 () 0,出结论，当 时， 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减， 故0(0),() (0)=4 ()= ()，将最大值构造新函数，

15、通过导函数的符号判断函数的单调性(0)=00+20+0+2求解函数的最值，然后求解结果【详解】求导得 ，所以 .(1) ()=+ (0)=又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 .(0)=4 =() =0 =+4由切线在两坐标轴上的截距相等，得 ，解得 即为所求.4=4 =1对 ， ，所以 在 区间内单调递减.(2) 0, ()=()=由 恒成立，得 ，这与 矛盾，故舍去.() 1 0当 时， ，所以 在区间 内单调递增，故 ()()=0 () 0,，即 ，由 恒成立得 ，结合 得 .(0)0 ()=(0),() () (0)=4 ()= 10 ()内单调递增，于是 ，即 .所以不等式 恒成立.0

16、, ()()=2 (0)2 ()2综上所述，所求 的取值范围是 . 1,【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考查转化思想以及计算能力22 (1)22=4(44)(2)(22,6)【解析】【分析】（1）先将曲线 C 的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；（2）将 与 的极坐标方程联立，求出直线 l 与曲线 C 的交点的极角，代入直线的极坐标方程 即可求得极坐标【详解】消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程 .(1) 22=4(2)将 ， 代入 ，得 .= =22

17、=4 2(22)=4所以曲线 的极坐标方程为 . 22=4(44)将 与 的极坐标方程联立，消去 得 .(2) 42(3)=22展开得 .3223+2=2(22)因为 ，所以 .0 3223+1=0于是方程的解为 ，即 .=33 =6代入 可得 ，所以点 的极坐标为 .(3)=2 =22 (22,6)【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力23 见解析(1)73(2)【解析】【分析】由柯西不等式将 中的 变为 ，(1) ()+()+() 2+2+2 13(+)2=43求得 的最小值.()+()+()因为 ，又 ，故 再结合绝(2) |()()|=|+1| |1 |()()|+1|对值三角不等式证得结论成立.【详解】由柯西不等式得， （当且仅当 时取等号），所(1) 2+2+213(+)2=43 =23以 ，即 的最小值()+()+()=(2+2+2)(+)+343+1=73 ()=()=()为 ；73因为 ，所以(2) |1 |()()|=|(22)()|=|+1|+1|=|()+(21)|+|21|1+(2|+1)=2(|+1)，故结论成立.【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.