【全国名校】2019届重庆市重庆第一中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

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1、2019 届 重 庆 市 重 庆 第 一 中 学高 三 （ 上 ） 期 中 数 学 试 卷 （ 文 科 ）数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的

2、作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 则=|10) 3 ，则|=4 =A4 B2 C1 D 39已知双曲线 过点 且其渐近线方程为 ， 的顶点 恰为 的两焦点，顶 (3,4) =233 , 点 在 上且 ，则 |=A B C D277 277 2 210若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是()= A B C D(,1) (,) (

3、0,1) (0,)11巳知数列 的前 n 项和为 ，首项 ，且满足 ，则 等于 1=23 +1+2=(2) 2018A B C D20162017 20172018 20182019 2019202012（题文）已知双曲线 的右顶点为 ， 为坐标原点，以 为圆心的:2222=1(0,0) 圆与双曲线 的某渐近线交于两点 ， ，若 ，且 ，则双曲线 的离心率为 =60 A B C D74 73 72 7二、填空题13函数 在点 处的切线方程为_；()=(+2) (1,(1)14若 x， ，且 ，则 的最小值为_；+ +2=12+115已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上一点，且1 2

4、 :22+29=1(3) ，则 _12=120|1|2|=16已知函数 满足 ，且对任意 恒有 ，则()(1)=12 , 2(+2)(2)=()+()_(2018)+(2019)=三、解答题17在 中，角 所对的边分别为 ，且 . , ,+=1（1）证明： 成等比数列；,（2）若 ，且 ，求 的周长.=3 32=22+1 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 18如图 1，在直角 中， ， 分别为 的中点，连=90,=43,=23 , ,结 并延长交 于点 ，将 沿 折起，使平面 平面 ，如图 2 所示 图 1 图 2（1）求证： ；（2）求四棱锥 的体积19已知数列 满足 ，

5、数列 满足 ， +2+=2+1() +1=+1()且 .1=1,3=5,5+7=22（）求 及 ； （）令 ，求数列 的前 项和 =, 20已知椭圆 的左右焦点分别为 ，且 为抛物线1:22+22=1(0) 1,2 2的焦点， 的准线被 和圆 截得的弦长分别为 。2:2=2(0) 2 1 2+2=2 22,4（1）求 方程；1,2（2）已知动直线 与抛物线 相切（切点异于原点），且与椭圆 相交于 两点，若椭圆 2 1 ,上存在点 ，使得 ，求实数 的取值范围。1 +=(0) 21已知函数 ()=1求 的单调区间；(1)() 证明： 其中 e 是自然对数的底数， ( ) ()+1( =2.718

6、28)22在平面直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的 极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），点 的极坐标为24+1=0 =3+32=3+12 ，设直线 与曲线 相交于 两点(23,6) ,（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； （2）求 的值|23设函数 。()=|2|+1|（1）解不等式 ；()1（2）记函数 的最大值为 ，若 ，证明： 。() +=3(,0) +12019 届 重 庆 市 重 庆 第 一 中 学高 三 （ 上 ） 期 中 数 学 试 卷 （ 文 科 ）数 学 答 案参考答案1D【解析】【分析】化简集合 ，根据并集

7、运算即可.=0,1,2【详解】因为 ， ，所以 ，故选 D.=0,1,2 =1,0,1 =1,0,1,2【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2A【解析】【分析】根据等比数列可知， ，所以 ，故 可求出.3=12 2=3 5=32【详解】因为 ，所以 ，故 ，所以选 A.3=12 2=3 5=32=23 3=6【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.3B【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】因为 ，故选 B.1575=1515=1230=14【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，属于中档题.4D【解析】【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【

8、详解】A 选项中 故不是奇函数， B 选项中 故不是奇函数, C 选项中()() ()=()故不是奇函数, D 选项中 ，是奇函数，故选 D.()=() ()=33+=3+3=()【点睛】本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.5B【解析】【分析】根据数量积的性质， ，展开计算即可. |2|2=(2)2【详解】因为 ，所以选 B.|2|2=(2)2=424+2=44 330+3=1【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，属于中档题.6C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2xy 得 y=2xz，平移直线

9、y=2xz，由图象可知当直线 y=2xz 经过点（ 0，2）时，直线的截距最大，此时 z 最小，此时 z=02=2，故选：C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键7D【解析】设圆心 ,则 ,因此圆 的方程为 即(,0),(0)|3+4|5 =23+45 =2=2 (2)2+2=4,选 D.2+24=08B【解析】【分析】设 A ，根据抛物线的定义知 ，(22,) |=+2=22+2=4又 ，联立即可求出 p.=2=222=3【详解】设 A ，根据抛物线的定义知 ,(22,) |=+2=22+2=4又 ，联立解得 ，故选 B.=2=222=3 =2【点睛】本题主要考查了

10、抛物线的定义及斜率公式，属于中档题.9A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 ，由过点 ，可得双曲线方程，利2432= (3,4)用正弦定理可知 ,根据双曲线方程即可求出.=|【详解】设双曲线方程为 ，因为过点 ，代入得 ，即双曲线方程为 ，故2432= (3,4) =4 2423=1，由正弦定理可知 ，故选 A.2=4,2=27=|=22=277【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和简单性质以及正弦定理，属于中档题.10C【解析】【分析】令 得出 ，在同一坐标系内画出 和 ，利用图象求出曲线()=0 = = =过原点的切线方程，即可求出.=【详解】函数 ，其中 ，令 得出 ，

11、()= 0 ()=0 =在同一坐标系内画出 和 的图象，如图所示：= =设曲线 上点 ，则 ，所以过点 P 的切线方程为 ，= (0,0) =1 0=10(0)因为直线过原点，所以 ，解得 ，所以切线斜率为 ，所以实数 的取值范围0=1,0=1 0=1 是 ，故选 C.(0,1)【点睛】本题主要考查了函数零点的应用问题，也考查了直线与对数函数图象交点的应用问题，属于中档题.11D【解析】【分析】直接利用递推关系式和猜想法求出数列的通项公式，最后利用数学归纳法进行证明，进一步求出结果【详解】数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn+ （n2 ），1+2=则： ，+1+2=1所以： ，=11+

12、2，由于 1=1=23当 n=2 时， = ，2=11+234当 n=3 时， ，3=12+2=45猜想： ，=+1+2下面用数学归纳法来证明：当 n=1 时， ，1=1=23当 n=k 时， ，=+1+2则当 n=k+1 时， = = ，+1=1+2 12+1+2(+1)+1(+1)+2综上所述： =+1+2所以： 2018=2018+12018+2=20192020故选：D【点睛】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式，数学归纳法的应用12C【解析】试题分析：因为 且 ，所以 为等边三角形，设 ，则=600 =3，渐近线方程为 ， ，取 的中点 ，则 ，由勾股定理可得 ，所以

13、 ，在 中，所以 ，结合 ，可得 故选：A考点：双曲线的简单性质.13 =+1【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算 f（1）的值，即可得切点坐标，进而求出函数的导数，求出f（ 1）的值，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案【详解】根据题意，f（x）=ln（x+2 ），则 f（ 1）=ln1=0 ，即切点的坐标为（1，0），又由 f（x）= ，则 k=f（1）=1，1+2则切线的方程为：y=1（x+1），即 y=x+1，故答案为：y=x+1【点睛】本题考查利用导数计算切线的方程，关键掌握导数的几何意义，属于基础题148【解析】【分析】由题意可得 + =（ + ）（x+2y），

14、展开利用基本不等式可得最小值21 21【详解】x0，y0，且 x+2y=1，求 + =（ + ）（x+2y）21 21=4+ + 3+2 =4+4=82 4当且仅当 ，并且 x+2y=1 即 x= 且 y= 时取等号，4= 12 14 + 的最小值为 821【点睛】本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题1536【解析】【分析】根据椭圆的定义知 , ,再由余弦定理|1|+|2|=2=29可得 （ 2）2=4236=|1|2+|2|22|1|2|120，即可解出.=（ |1|+|2|）2|1|2|【详解】由椭圆定义可知 ，且 ，|1|+|2|=2 |12|=2=229根据

15、余弦定理得： ，|12|2=|1|2+|2|22|1|2|120所以 4(29)=422|1|2|+|1|2|=42|1|2|解得 ，故填 36.|1|2|=36【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆方程，余弦定理，属于中档题.16 32【解析】【分析】根据 可归纳出函数为周期函数，利用周期函数的性质求解即可.2(+2)(2)=()+()【详解】令 ,可得 ，所以 =1 2(1)(0)=(1)+(1)=2(1) (0)=1令 ，可得 ，所以 =2,=0 22(1)=(2)+(0) (2)=12令 ，可得 ，所以 =3,=1 2(2)(1)=(3)+(1) (3)=1令 ，可得 ，所以 =4,=

16、0 22(2)=(4)+(0) (4)=12令 ， 可得 ，所以 =5,=1 2(3)(2)=(5)+(1) (5)=12令 ，可得 ，所以 =6,=0 22(3)=(6)+(0) (6)=1令 ， 所以 =7,=1 (7)=12故函数是 6 为周期的周期函数所以 ， .(2018)=(2)=12,(2019)=(3)=1 (2018)+(2019)= 32【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性，属于中档题.17（1）见解析（2）9【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦定理求出结果（2）利用三角函数关系式的变换和余弦定理求出结果【详解】证明：由正弦定理得：且 整理得：

17、，(1)+=1 +=1所以： ，所以： ，由正弦定理得： ，故：a，c，b 成等比(+)=1 2= 2=数列由 ，所以： ，所以： ，(2) 32=22+1 322=2 (26)=1解得： 由余弦定理得： ，由于： =3 2=2+22 =3故： 于是得： ，解得： =2=9 9=(+)23=(+)227 +=6所以 的周长为 +=9【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18（1）见解析（2）532【解析】【分析】（）利用折叠问题的应用，根据面面垂直转换为线面垂直，进一步求出线线垂直（）利用

18、（）的结论，进一步利用锥体的体积公式求出结果【详解】 如图所示：( )证明：由条件可知 ，E 为 BD 的中点，=所以： ，又面 面 BDC，面 面 ，且 面 ABD， = 所以： 面 BCD，又因为 平面 BCD，所以： 由题给数据知 ， 为等边三角形，E 为 BD 的中点，(2) =6 因此 中， ， ，=60=3 =60=3，因此 ， ，=30=1 四边形 =126 3121 3=532由 知 面 BCD，所以 ， (1) =13四边形 =135323=532【点睛】本题考查的知识要点：相面垂直和面面垂直之间的转换，锥体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19

19、（1） ；（2） .=21 =(23)2+3()【解析】【分析】（1）根据题意判断 等差数列， 等比数列，联立方程即可求解（ 2）根据数列通项公式， 可用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意可得 为等差数列， 为等比数列，设 的公差为 ，则 由题意可得： +1=3=5=1+25+7=26=21+10=22 1=1=2 =21于是 ，而 ，+1=2 1=1=1=21（2）由题意： ，由错位相减法，得：=(21)21=120+321+522+(23)22+(21)212=121+322+(23)21+(21)2两式相减，得：=1+2(2+22+21)(21)2=1+(2+14)(21)2=3(

20、23)2于是： =(23)2+3()【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，错位相减法求和，属于中档题.20（1）见解析；（2） .(2,0)(0,2)【解析】【分析】（1）根据题意 ， ，即可求出方程（2）设出直线22=22 2=4,2=，联立直线与椭圆、抛物线方程，运用韦达定理及向量运算即可求解.:=+(0)【详解】（1）由题得 ，故 22=222=4 （2）由题知 存在斜率且不为 0，设 联立 :=+(0),(1,1),(2,2),(0,0)，因为 与 相切，故 =+2=8 288=0 2 1=022+=0联立 ，=+2+22=8 (2+2)2+2+28=0两根为 ，1

21、,2所以 ，又1+2=22+2,12=282+2202+1 1+1 (0,1)(1,+) (1,+) (0,1)研究新构造函数的单调性，即可得出【详解】 根据题意，函数 ，其定义域为 ；( ) ()=1 (0,1)(1,+)其导数 ，令 ，则 ，()=11(1)2 ()=11 ()=12分析可得：在 上， ， 为增函数，(0,1) ()0 ()在 上， ， 为减函数；则 ，(1,+) ()+1 1+1 (0,1)(1,+)分 2 种情况：， 时， ，(1,+)1+1210令 ，则 ，()=21 ()=+322令 ，()=+322则 ， ， ， ，()=+3241 ()=+64 1 ()0故 在

22、 上单调递增，故 ，()(1,+) ()(1)=20故 在 上单调递增，()(1,+)于是 ，所以 ，()(1)=20 ()0所以 在 上单调递增，()(1,+)因此， 时， ，即 ，1 ()(1)=0 210下面证明 时的情况： (0,1)令 ， ，故 在 上单调递增，()=1 ()=10 ()(0,1)于是 时， ，即 ， ，(0,1) ()(0)=0 10 +10 ()(0,1)故 时， ，即 ， (0,1) ()1+1综上所述： ()+1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式的方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22（1） ， （2）1(2)

23、2+2=3 3=0【解析】【分析】（） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线 C 的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l 的普通方程；（） 点 A 的直角坐标为（ 3， ），设点 P，Q 对应的参数分别为 t1，t 2，点 P，Q 的极坐3标分别为（ ），（ ）将 （t 为参数）与（x2） 2+y2=3 联立，得：1，6 2， 6 =3+32=3+12 t1t2=1，|AP|AQ|=1 ，转化求解 |AP|AQ|OP|OQ|的值【详解】 曲线 C 的直角坐标方程为： ，即( ) 2+24+1=0，直线 l 的普通方程为 (2)2+2=3 3=0 点 A 的直角坐标为 ，设点 P，Q 对应的参数

24、分别为 ， ，点 P，Q 的极坐标分别为( ) (3,3) 1 2， 将 为参数 与 联立得： ，(1,6) (2,6). =3+32=3+12 ( ) (2)2+2=3 2+23+1=0由韦达定理得： ， 12=1 |=1将直线的极坐标方程 与圆的极坐标方程 联立得：=6() 24+1=0，由韦达定理得： ，即 223+1=0 12=1 |=1所以， |=12|12|=1【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力23(1) 解集为 ;(2)见解析.0,+)【解析】【分析】（1）去绝对值号转化为分段函数即可求解（2）由（1）知 ，根据()=3=，构造后利用均值不等式即可.+=1【详解】（1） ，易得 的解集为 .()= 3,12+1,123,2 ()1 0,+)（2）由（1）知 ，于是 因为()=3= +=1，移项即得证.+2+2+2【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，均值不等式在证明中的应用，属于中档题.