【全国名校】2019届湖南省岳阳市岳阳楼区高三上学期第三次质检（期中）数学（理）试题（解析版）

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1、2019 届 湖 南 省 岳 阳 市 第 一 中 学高 三 上 学 期 第 三 次 质 检 （ 期 中 ） 数 学 （ 理 ） 试 题数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效

2、 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 ， ，则=|22 :,20A命题 是假命题 B命题 是真命题 C命题 是真命题 D命题 是假命题() ()5函数 的单调递增区间是=(2+3),2,2A B C D53,3 56,76 3,2 23,436已知 ， ，且 ，则 的最小值是0 01+9=1 +A4 B12 C1

3、6 D187若 ，则=34 2+22=A B C1 D6425 4825 16258函数 为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示， cosyx(0,)、 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为 ，则该函数的一条对称轴为2A B C D2x2x1x2x9观察 ， ， ，由归纳推理可得：若定义在 上的函数(2)=2(4)=43 (cos)=sin 满足 ，记 为 的导函数，则() ()=() () () ()=A B C D() () () ()10已知球 的半径为 ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 的距离为 ， , 12， , 则球 的表面积为=2 =120 A B C D169 163

4、649 64311某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为A B C D22 52 62 312在数列 中， ， ，若数列 满足 1=0 1+5=2(+2)(,2) ，则数列 的最大项为=+1+1(811) 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项二、解答题13已知数列 的前 项和为 ， 且 ，数列 为等差数列，且公差 1=3 +1=2+3 ， ；0 1+2+3=15求数列 的通项公式； (1) 若 成等比数列，求数列 的前项和 (2)13+1,23+2,33+3 14 中， 分别是内角 所对的边，且满足

5、 , ,+2+ =0求角 的值；(1) 若 ， 边上的中线 ，求 的面积(2)=2 =3 15设二次函数 在区间 上的最大值、最小值分别是 M、m，()=2+(0) 2,2集合 =|()=若 ，且 ，求 M 和 m 的值；(1)=1,2 (0)=2若 ，且 ，记 ，求 的最小值(2)=1 1 ()=+ ()16如图，在 中， ， ， 分 别为 的中点， 的延长线=90 =30 ,) , 交 于 现将 沿 折起，折成二面角 ，连接 . （1）求证：平面 平面 CBD；（2）当 时，求二面角 大小的余弦值 17已知函数 ， ()=+ ()=（1）求函数 的单调区间；()（2）当 时， 恒成立，求实

6、数 的取值范围；=0 ()() （3）当 时，求证：当 时，=1 1 (+1)(+1)()2(1+1).18在直角坐标系 中，曲线 ： ，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 1 2+24=1 曲线 是圆心极坐标为 ，半径为 1 的圆.2 (3,)（1）求曲线 的参数方程和 的直角坐标方程；1 2（2）设 ， 分别为曲线 ， 上的动点，求 的取值范围. 1 2 |19选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()=|21|+2|（）求不等式 f(x)0 的解集；（）若关于 x 的不等式 有解，求实数 m 的取值范围.|2+1|(+3)+3|+5|三、填空题20已知点 在不等式组 表示的平面区域上

7、运动，则 的最大值是(,) 20020 =+_21设 ， 是夹角为 的单位向量， ，则 _1 2 60 =21+32 |=22设 a0，若 an 且数列a n是递增数列，则实数 a 的范围是637n（ ） ， ， ，_23对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 是曲线 的“优=() 0 (0)+(0)=0 (0,(0) ()美点”，已知 ，若曲线 存在“优美点 ”，则实数 的取值范围为_.()=2+2,0,0 +2+2+32+2()区间；（2）由 可求得增区间2+2+2+26C【解析】【分析】变形 ，利用基本不等式可得结果，注意等号成立的条件+=(1+9)(+)=10+9+【详解】因为1+9=1所

8、以 +=(1+9)(+)=10+9+10+29=16当且仅当 时，取等号9=即 的最小值是 16，故选 C+【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 7A【解析】试题分析：由 ，得 或 ，所以=34 =35,=45 =35,=45，故选 A2+22=1625+41225=6425【考点】同角三角函数间的

9、基本关系，倍角公式【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系8C【解析】试题分析：因为函数 为奇函数，所以 所cos(0,)yx2以函数可化为 由 ，设函数周期为 T，可得 所sinyxAB228,4T以 ，所以函数的解析式为 代入四个选项可得 是该函数图象的一条对2sin2yx1x称轴考点：1函数图象的识别2三角函数的性质3解三角形的知识9A【解析】【分析】由 ，可发现原函数都是偶函数，得到的导函数是奇函数，(2)=2,(4)=43,()=可归纳出偶函数的导函数为奇函数，从

10、而可得到答案【详解】由 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(2)=2中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(4)=43中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； ，()= 我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数若定义在 上的函数 满足 ， ()()=()则函数 为偶函数，(又 为 的导函数，则 奇函数，()( ()故 ，即 ，故选 A()+()=0 ()=()【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，属于中档题归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想） . 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数

11、的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳 .10D【解析】在 中， =2， =120，=4+4222(12)=23由正弦定理可得平面 截球所得圆的半径（即 的外接圆半径）， =23232=2，又球心到平面 的距离 =12，球的 半径 ， =4+142， 2=163故球 O 的表面积 =42=643，故选 D【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键11B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何

12、体的直观图如图所示，平面 平面 ，四棱锥的高 为 ，四边形 是边长为 的正方形，则 1 1 =1211=12,=121 2=22,，故选 .=121 5=52 考点：1.三视图；2.几何体的表面积.12B【解析】【分析】利用累加法求出数列 的通项公式，可得 ，进一步利用 ， =(+1)(811)1 1+1 建立不等式组，从而可得结果【详解】数列 中， ， ， 1=0 1+5=2(+2)得到： ，1=21，12=2(1)1，21=221上边 个式子相加得：(1)，1=2(2+3+)(1)解得： =21当 时，首项符合通项=1故： =21数列 满足 ， =+1+1(811)则 ，=(+1)(811

13、)1由于 ，1+1 故： ，(2+)(811)1(2)(811)2(2+)(811)1(2+3+2)(811) 解得： ，163193由于 是正整数，故 故选 B=6【点睛】本题主要考查递推公式求数列的通项公式、累加法的应用，数列最大项的求法，属于难题由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加法求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推公式，可构造等比数例 ，进而得出 的通项公式.=1+(0,1) + 13（1） ；（2） .=

14、3 2+2【解析】【分析】由 ，得 ,两式相减，即可发现 为等比数列，从而求(1)+1=2+3 =21+3(2) 出 的通项公式； 由 中数列 的通项公式，把 ， 和 代入，再根据等比数列的性质求 (2)(1) 1 2 3出， ， ， ，从而求得公差 ，得到 的通项公式，然后再利用等差数列的求和公式求其前1 2 3 =2 项和 【详解】由 ，得 ,(1)+1=2+3 =21+3(2)相减得： ，即 ，则 ,+1=2(1) +1=2+1=3当 时， ， =1 2=21+3=9，21=3数列 是等比数列， . =331=3， ， ,(2)1+2+3=151+3=22 2=5由题意 ，而 ,(23+

15、2)2=(13+1)(33+3) 13=1,23=3,33=9设 ， ， ，1=5 2=5 3=5+，64=(5+1)(5+9)，得 或 舍去 ,2+820=0 =2 =10( )故 .=1+(1)2 =3+(1)2 2=2+2【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，根据数列的递推法求其通项公式，还考查了等差数列的前 项的和，属于中档题已知数列前 项和，求数列通项公式，常用公式 ，将所给条件化为关于前 项和的递推关系或是关于第 项的递推关系，若满= 1,=11,2 足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用

16、与通项 的关系求 的过程中，一定要注意 的情况. =114（1） ；（ 2） .3 3【解析】【分析】由 ，根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简可得(1)+2+ =0，由于 ，可求 ，进而可求 的值； 由 ，结合2=0 0 =12 (2)=12(+)平面向量数量积的运算可得 ，解得 的值，根据三角形面积公式3=14(22+2+2260) 即可得结果【详解】，(1)+2+ =0由正弦定理得： ，+2+ =0即 ，+(2+)=0从而 ，即： ，(+)2=0 2=0又 中， ，0故 ，=12得 .=3由 ，得： ，(2)=12(+) 3=14(22+2+2260)从而 或 舍 ，=2 =4()故

17、 .=12=122260=3【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.15（） ， ；（） .=10=1314【解析】（1）由 1 分(0)=2可知 =2，又 A=1， 2，故 1， 2是方程 2+(1)+=0的两实根 .3 分 4 分1+2=1-ba2

18、=ca , 解得 =1,=2()=22+2=(1)2+1,2,25 分当 =1时， ()=(1)=1,即 =16 分当 =2时， ()=(2)=10,即 =10.（2） x=1由题意知，方程 2+(1)+=0有两相等实根 =2, ，即 8 分f（x）=ax 2+（1-2a）x+a, x -2,2 其对称轴方程为 x=又 a1，故 1- 9 分M=f（ -2）=“9a-2 “ 10 分m= 11 分g（a）=M+m=9a- -1 14 分= 16 分又 ()在区间 1,+)上为单调递增的， 当 =1时， ()=634.16（I）证明略（II） 13.【解析】（I）证明：在 ，中 ,为 的中点 ,

19、得 =又 =30,得 是正三角形 ,又 E 是 CD 的中点，得 AFCD。 3 分折起后，AECD，EFCD，又 AEEF=E，AE 平面 AED，EF 平面 AEF，故 CD平面 AEF， 6 分又 CD 平面 CDB，故平面 AEF平面 CBD。 7 分（II）方法一：解：过点 A 作 AHEF，垂足 H 落在 FE 的延长线上。CD平面 AEF，所以 CDAH，AH平面 CBD。8 分以 E 为原点，EF 所在直线为 x 轴，ED 所在直线为 y 轴，过 E 与 AH 平行的直线为 z 轴建立如图空间直角坐标系数。9 分由（I）可知AEF 即为所求二面角的平面角，设为 ，并设 AC=a

20、，可得(0,2,0),(0,2,0),(32,0),(32,0,32).11 分故 =( 32,2, 32),=( 32,2,0),=0,即 324+24=0,得 13 分=13.故二项角 ACDB 大小的余弦值为 14 分13.方法二：解：过点 A 作 AHEF，垂足 H 落在 FE 的延长线，CD平面 AEF，所以 CDAH，AH平面 CBD。 9 分连接 CH 并延长交 BD 的延长线于 G，由已知 ACBD，得 CHBD ，即CGB=90，因此CEHCGD，则=,设 =,易得=60,=2,=2,=32,代入上式得 =36,又 =32故 12 分=13.又AECD，EFCD，AEF 即为

21、所求二面角的平面角，13 分故二项角 ACDB 大小的余弦值为 14 分13.17（1） 在 单调递增，在 单调递减；（ 2） (3)见解析()(0,1) (1,+) 12【解析】分析：（1）求出导函数 ，由 可确定增区间，由 可确定减区间；()()0 ()2(1+1) 1+1(+1)(+1) 21+1， ，其中 ，即能证明题设不等式()=1+1(+1)(+1) (1)()=21+1010002(1+1)等价于 .1+1(+1)(+1) 21+1令 ，则 ，()=(+1)(+1) ()=2令 则 ，()= ()=11=1 ， ， 在 单调递增，1 ()0 ()(1,+)， ， 在 单调递增，(

22、)(1)=10 ()0 ()(1,+) ， ，()(1)=2()+12+1令 ，则 ，()=21+1 ()=21(1)(+1)2 ， ， ， 在 单调递减，1 11 ()2+1()(+1)(+1)()2(1+1)点睛：（1）用导数研究函数的单调性方法是：求出导函数 ，解不等式 得增区间，() ()0解不等式 得减区间()() ()()0的最小值，这个最小值大于 0；另一种方法是求得 的最小值 ，再求得()=()() () ()的最大值 ，由 得证() ()()()18（1） （ 为参数）， ；（2）=2 (+3)2+2=1 1|5【解析】分析：（1）结合公式 ，借助换元法可得曲线 的参数方程，

23、把极2+2=1 1坐标 化为直角坐标后可得圆的标准方程；(3,)（2）曲线 的参数方程即为 上点的坐标，求出它与圆心距离的最值范围，即可得 的取1 1 |值范围详解：（1） 的参数方程为 （ 为参数）， 的直角坐标方程为 .1 =2 2 (+3)2+2=1（2）设 ， ， (,2)2(3,0) |2|2=(+3)2+42，=32+6+13=3(1)2+16 ， ， ， .11 4|2|2162|2|4 1|5点睛：点 到圆 上点的距离的取值范围是 ，其中 是圆 的半径 |,|+ 19（1） ；（2）(,13)(3,+) (,32,+)【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一

24、元一次不等式组后再合并可得解集；（2） ，利用绝对值的三角不等式求得(+3)+3|+5|=|2+5|+|2+10|的最小值 ，然后解不等式 即可|2+5|+|2+10| |2+1|详解：（1） ，()= 3,1231,20 3 310 20 2综上可得不等式 的解集为 .()0 (,13)(3,+)（2）依题意 ，|2+1|(+3)+3|+5|)令 .()=(+3)+3|+5|=|2+5|+|2+10|25+2+10|=5 ，解得 或 ，即实数 的取值范围是 .|2+1|5 2 3 (,32,+)点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“ 恒成立” 问题的区别：（1）“能成立”：存在 使不

25、等式 成立 ，存在 使不等式 成立 ()() ()；()（2）“恒成立”：对任意的 不等式 恒成立 ，对任意的 不等式 恒 () () ()成立 ()204【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图： 阴影部分( )由 可得 ，=02=0 (2,2)由 得 ，=+ =+平移直线 ， =+由图象可知当直线 经过点 时，=+ (2,2)直线 的截距最大，此时 最大=+ 将 代入目标函数 得 ，故答案为 4(2,2) =+ =2+2=4【点睛】本题主要考查

26、线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值21 19【解析】【分析】将 平方，利用平面向量数量积公式以及平面向量数量积的运算法则，求出 的=21+32 2值，从而可得结果【详解】， 是夹角为 的单位向量，且 ，1 2 60 =21+32则2=412+1212+922，=4+121160+9=19，故答案为 |=19 19【点睛】本题考查了平面向量数

27、量积的定义与运算，是基础题向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .=| 2=|2222a3【解析】由a n是递增数列，得 解得 2a 387301a ， ， ， 39 ， 或 ，23 (,222【解析】【分析】曲线 存在“优美点”，等价于当 时， 关于原点对称的函数图象与当 时() 0的图象有交点，求得 时函数 关于原点对称函数的解析式，联立 ，() =+2 0 () =+2当 时， ，0由 与 联立，=+2 =2+2可得 在 有解，=2+2 0由 ，2+222+2=222当且仅当 时，取得等号，=2即有 ，222则 的取值范围是 ，故答案为 (,222 (,222.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、转化与划归思想的应用，以及新定义的理解和运用，属于难题遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.