【全国名校】2019届湖南省长沙市重点中学高三上学期第五次调研考试数学（文科）试题（解析版）

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1、我国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，“物不知数”问题，原文如下：“今有物不知其数，三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二问物几何？”其大意为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数这类问题可以用计算机解决记N r（ MOD m），即正整数 N 除以正整数 m 的余数为 r，例如 10 2（MOD 4）执行如图所示 的程序框图，则输出的 i 等于A6     B5      C8      D78已知命题 为奇函数；命题 ，则下面结论正确的:()=12+ 121 :(0,2),0)点 N（

2、-1，0），且 lOM，则直线 l 与抛物线 C 的交点个数为A0 个    B1 个    C 2 个    D1 个或 2 个10已知函数 ， 为 的零点， 为 图象的对()=2(+)(>0,|0,>0)以 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线交于点 Q，P、Q 均位于第一象限，且 P 为 QF2 的中点，则双曲线 C 的离心率为_16已知直线 与曲线 至少有一个公共:+ 2(+)5=0 :2+2=2(|+|)点，则 的取值范围是_三、解答题17已知正项数列 满足 1=1,+1=2+（）求数列 的通项公式；（）令 ，记

3、数列 的前 n 项和为 Tn，求证： =(+1)+1 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 是参数），在以坐标原点为极=622=22  点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 =22(4)（）写出直线 l 的普通方程、曲线 C 的参数方程；（）过曲线 C 上任意一点 A 作与直线 l 的夹角为 45的直线，设该直线与直线 l 交于点 B，求 的最值|2019 届 湖 南 省 长 沙 市 长 郡 中 学高 三 上 学 期 第 五 次 调 研 考 试 数 学 （ 文 科 ） 试 题数 学   答  案参考答案1C【解析】【

4、分析】先利用复数相等得到 ，再利用复数的除法得到 .=4 【详解】因为 ，故 .(2+)=+2=4+2 =4又 ，故选 C.=342=(34)(2+)5 =1055 =2【点睛】本题考查复数相等的条件及复数概念，属于基础题.2A【解析】【分析】算出两个集合后可求它们的交集.【详解】， ，故 ，故选 A.=(0,1 =0,1) =(0,1)【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如 表示函|=(),数的定义域，而 表示函数的值域， 表示函数的图像.|=(), (,)|=(),3B【解析】【分析】考虑函数 在 上为单调递增时实数 的取值范围后可得两者的关系.() (,2

5、【详解】若 ，则对称轴 ，所以 在 上为单调递增，4 =(+1)3>2 () (,2取 ，则对称轴 ， 在 上为单调递增，但 ，所以“ 在=3 =(+1)=2 () (,2 >4 ()上为单调递增” 是“  ”的必要不充分条件.(,2 4【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 则 ”是真命题，“若 则 ”是假命 题，则 是 的充分不必要条件；若“若 则 ”是真命题，“若 则 ”是真命题，则 是 的充分必要条件； 若“若 则 ”是假命题，“ 若 则 ”是真命题，则 是 的必要不充分条件；若 “若 则 ”是假命题，“若 则 ”是假命题，则 是 的既不充

6、分也不必要条件. 4C【解析】【分析】先求出 的坐标，再求出 ，最后利用倍角公式求出 后可得 . 2 (2+2)【详解】因为 的图像过定点 ，所以 ，故 ，=(21)+3 (1,3) =310，故选 C.(2+2)=2=122=195=45【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化或者诱导公式，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.5A【解析】【分析】根据点在直线上可以得到 ，从而得到 ，故 为等比数列，根据公式可=32

7、=321 求 .5【详解】因为 在直线 上，所以 ，故 ，(,) =32 =32 1=312所以当 时，有 即 ，2 =331 =321又 ，故 ，所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，1=1 01=32 1 32，选 A.5=11(32)5132 =22433232=21116【点睛】数列的通项 与前 项和  的关系式 ，我们常利用这个关系式实现 = 1,=11,2 与 之间的相互转化. 6C【解析】【分析】目标函数为 ，画出不等式组对应的可行域，分 两种情形结合目标函数最=+ 0,0) (0,0) 0+2上的点 到焦点的距离为 .直线与抛物线的交点个数可通过联立直线方2=

8、2(>0) (0,0) 0+2程和抛物线方程结合判别式来讨论.10B【解析】【分析】根据函数的零点和对称轴得到 的值，再根据 恒成立可以得到 的表达 (0)()(0+13) 式，求出 的最小值后再求函数的单调区间可得正确的选项 .【详解】因为 为函数的零点，故 .=4 4+=1,1因为 是图像的对称轴，故 ，故 ， . =4 4+=2+2,2 2=+2 因 ，故 或者 ，所以 或者 ，  .|13所以 ，令 ， ，()=2(13+4) 2213+42+2 故 ，所以 在 上为增函数，21335213+4213+52 () 352,52故选 B.【点睛】一般地，我们研究 的图像和

9、性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求=(+)函数的单调区间时，我们先确定 的单调性，再函数的单调性确定外函数 的单调=+ =区间后求出 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由 的对称轴或对称中 =心得到相应的对称轴或对称中心.11D【解析】【分析】设 的外接圆的圆心为 ，则 ，故 ，计算 +=0 +2=4+的最大值可求 的最大值.|4+|2 |+2|【详解】设 的外接圆的圆心为 ，则圆的半径为 ， ，故 33212=3 +=0.+2=4+，故 ，当 共线同向时|4+|2=51+851+24=75 |+2|53 ,取最大值.选 D.【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长

10、度的向量、与已知角的边有关的向量转化.另外，在三角形  中，如果 为三角形的重心，则 . +=012A【解析】【分析】原方程可以化成 ，取 ， ，利用导数研究2=+ ()=2,1,4 ()=+,1,两个函数的单调性、极值和最值可得实数 的取值范围.【详解】原方程可以化成 ，取 ， .2=+ ()=2,1,4 ()=+,1,，'()=(22) ,1,4当 时， ，故 在 上为减函数；(1,0) '()0 () 0,2当 时， ，故 在 上为增函数；(2,4) '()0 () 1,因为关于 的方程 在 有三个不同的实数根，故2=+ 1,4，故 ，解答 ，故选 A.

11、(1)(4)()(0) ()(2+1+1)=3+1所以 ，13(+1)321332>( +1 )+1=(+1) +1=所以 ， 21+2 1>2 12>2(121)12+1，利用导数可证该不等式>2(1)+1,>1【详解】（1） '()=1+2=22+1当 时， ，故 的增区间为 0 '()>0 () (0,+)当 时，0 () (0,12)若 ，则 ，故 在 为减函数；> 12 '() 21+2不妨设 ，则原不等式又等价于 ，该式可进一步化为：1>2 (1)(2)>2(12)1+2，因此原不等式等价于 ，下证该不等

12、式成立12>2(121)12+1 >2(1)+1,>1令 ，则 ，()=2(1)+1,>1 '()=(1)2(+1)2>0故 在 为增函数，所以 即 成立，() (1,+) ()>(1)=0 >2(1)+1,>1综上，原不等式 成立(1)(2)12 >【点睛】一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）() (,) '()>0('()<0) () (,)函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则 多元不等() (,) '()0('()0)式的恒成立问题，可考虑对原

13、有的不等式变形（若齐次化、换元等），使得多元不等式转化为一元不等式，从而可利用导数证明22（）直线 的普通方程 、曲线 C 的参数方程   (1)2+(1)2=2 =1+2=1+2 （ 是参数）；（） 的最大值为 6，最小值为 2 |【解析】【分析】（1）消去参数 后可得直线的普通方程，利用两角差的余弦公式及 得直角方程后可 = 得曲线 的参数方程（2）先计算圆心到直线的距离的最大值和最小值，从而得到圆上的动点 到直线 的距离的最 大值和最小值，所求的 的最大值与最小值时前者的 的倍| 2【详解】（1）直线 的普通方程为 +6=0，故 ，=22(4)=2+2 2=2+2从而 ，圆的标准方程为 ，2+222=0 (1)2+(1)2=2其参数方程为  （ 为参数）=1+2=1+2 （2）考虑点圆心到直线 的距离为 ，故圆上的点到直线 的最大距+6=0 =|1+16|12+12=22 离为 ，最小距离为 ，因直线 的倾斜角为 ，故 是圆上的点到直线 的距离的 的倍，所32 2 34 | 2以 的最大值为 ，最小值为 | 6 2【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是 ，必要时须在给定方程中构= 造 当动点在圆上变化时，我们可用圆的参数方程来表示动点坐标，这样把二元函数,的最值问题转化一元函数的最值问题