【全国名校】2019届山东省济南市市中区高三第二次诊断性考试数学（文）试题（解析版）

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1、2019 届 山 东 省 实 验 中 学高 三 第 二 次 诊 断 性 考 试 数 学 （ 文 ） 试 题数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的

2、作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 中的元素个数是=1， 2， 3， 4， =2， 4， 6， 8，则 A2 B3 C6 D82已知向量 =(1,2),=(,1)，若 ，则 =A B C D22 12 123设 满足约束条件 则 的最大值是, 3+26000 ， =A B0 C2 D334已知等比数列 中， 3=2,7=8,则 5=A B

3、4 C4 D1645“ ”是“ 指数函数 单调递减”的1 ()=(32)在 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为 135 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是A3 B4 C5 D67已知函数 ，若将函数 的图像向左平移 个单位长度后所得()=(2+)(009,0 ,则 (1)=14已知 且 ，则 的最小值为_。0,0 +=11+415函数 的最大值为_()=2(1+)16表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每

4、列都成等差数列，则数字 70 在表中出现的次数为_三、解答题17已知在递增的等差数列 的等比中项中 ,1=2,3是 1和 9(I)求数列 的通项公式； (II)若 ， 为数列 的前 n 项和，求 =1(+1) 18已知向量 ，1)， ， )，函数 =( 3 =(12 ()=mn（）求函数 的单调递增区间；()（）若 ， ， 分别是角 ， ， 的的对边， ， ，且 =1，求 的面 =23 =4 () 积19为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从网年龄在 1565 岁的人群中随机调查 100 人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（I）由频率分布直方

5、图估计年龄的众数和平均数；（II）由以上统计数据填 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策” 的支持度有差异；参考数据：2= ()2(+)(+)(+)(+)（III）若以 45 岁为分界点，从不支持 “延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活动.现从这 8 人中随机抽 2 人.求抽到的 2 人中 1 人是 45 岁以下，另一人是 45 岁以上的概率.20已知数列 的前 项和为 ,1=2,+1=2+(I)求数列 的通项公式； ()设 ，求数列 的前 n 项和 =(31) 21某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数

6、x 与销售价格 y(单位：万元，辆) 进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z 与 x 有很强的线性相关关系，请求出 z 与 x 的线性回归方程(回归系数精确到 0.01)；,(II)求 y 关于 x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为 10 年时售价约为多少参考公式：=1()()=1()2 =1=122,=参考数据：6=1=187.4,6=1=47.64,6=12=139,1.030.03,1.020.02.22已知 (e 为自然对数的底数，e=2.71828)，其反函数为 ，函数()= =()的最小值为 m()()(1)求曲线 在点 的切线方程；=()+2 (1，

7、2)(2)求证： .21 ()=(32)在 故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题 和集合 的对应关系. ， ；最后利用下面、 、 :=|()成立 :=|()成立 的结论判断：若 ,则 是 的充分条件，若 ，则 是 的充分非必要条件；若 ,则 是 的必要条件，若 ，则 是 的必要非充分条件； 若 且 ，即 时，则 是 的 = 充要条件.6B【解析】试题分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取 7 人，得到抽

8、取比例为 ，然后各层按照此比例抽取解：由已知，将个数据分为三个层次是130，138 ，139，151，152 ，153，根据系数抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为 ，所以成绩在区间139，151中共有 20 名运动员，抽取人数为 20 =4；故选 B考点：茎叶图7C【解析】【分析】先由函数平移得解析式 ，由函数为偶函数得 ，从而得=(2+3+) sin(3+)=1.进而结合条件的范围可得解.3+=2+,【详解】将函数 的图像向左平移 个单位长度后所得图像对应函数是：()=(2+)6.=sin2(+6)+=(2+3+)由此函数为偶函数得 时有： .=0 sin(3+)=1所以 .即 .3+

9、=2+, =6+,由 ，得 .00,0 +=1取得等号，故函数的最小值为 9.，答案为 9.考点：本试题主要考查了均值不等式求解最值的运用。点评：解决该试题的关键是构造均值不等式的结构特点，利用一正二定三相等的思路来分析求解得到结论。15439【解析】【分析】先化简 ，再利用基本不等式求 的最大值，即得 f(x)的最大值.()=22(122) 2()【详解】由题得 ，()=2(1+2221)=2222=22(122)所以 2()=422(122)(122)=2222(122)(122)2(222+(122)+(122)3 )3=1627,所以 .故答案为：()433=493 439【点睛】本题

10、主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16 4【解析】【分析】第 1 行数组成的数列 是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列，第 j 列数组成的数列1(=1,2,)是以 j+1 为首项，公差为 j 的等差数列，求出通项公式，就求出结果(=1,2,)【详解】第 i 行第 j 列的数记为 .那么每一组 i 与 j 的组合就是表中一个数.(=1,2,)因为第一行数组成的数列 是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列，1(=1,2,)所以 ，1=2+(1)1=+1所以第 j 列数组成的数列 是以 j+1 为首项，公差为 j 的等差数列，(=1

11、,2,)所以 .=(+1)+(1)=+1令 ，=+1=70 ，=69=169=323=233=691所以，表中 70 共出现 4 次.故答案为：4.【点睛】本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题17 (I) (II) =2 =2(+1)【解析】【分析】(I)根据已知求出 的通项公式. (II) 由题意可知 ，=2， 再写出数列 =12(+1)=12(1 1+1)再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为 ,因为 ，所以 ，解得 32=19 (2+2)2=2(2+8) =2或 =0(舍 )，所以 . =2(II)由题意可知：

12、 =12(+1)=12(1 1+1)所以 .=12(112+1213+.+1 1+1)= 2(+1)【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18（1）k ，k+ (kZ)； （2） .6 3 23【解析】【分析】（）化简函数 ,利用正弦函数的单调性求递增区间即可（ ）根据 =1()=(26) ()可求出 A，利用余弦定理可求出 b,代入面积公式即可.【详解】（） =mn= + =() 3212 3221+22 +12=322122,=(26)由 ，k Z，得 ，k Z，22262+2 6+3故函数 的单调递增区间为k ，k+ (k

13、Z) ()6 3（）由题意得 =sin(2A )=1， A (0，)，2A ， ()6 6（ 6 116）2A , ,6=2=3由余弦定理 ，得 12= +1624b ，即 4b+4=0，2=2+22 212 2b=2 ABC 的面积 sin =2 =12=1224 3 3【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，正弦型函数的单调性及利用余弦定理解三角形，属于中档题.19（）众数为 50，平均数为 42，（）有 95%的把握 ()37【解析】【分析】（）根据频率分布直方图知，最高矩形的中点代表的是众数，矩形中点乘以矩形面积求和可得平均数；（）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(

14、) 设 45 岁以下的 6 人为 a1，a 2， a3，a 4， a5，a 6，45 岁以上的 2 人为 b1，b 2，将所有的基本事件列举出来，数出满足条件的基本事件，利用古典概型计算公式求解即可【详解】解：(I) 估计众数为 50. 估计平均数为 200.2300.1400.2 500.3600.2 42. (II)列联表如下：45 岁以下 45 岁以上 总计支持 35 45 80不支持 15 5 20总计 50 50 100因为 K2 6.253.841，所以有 95%的把握认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策 ”的支持度有差异 (III)从不支持“ 延迟退休” 的人中

15、抽取 8 人，则 45 岁以下的应抽 6 人，45 岁以上的应抽 2 人设 45 岁以下的 6 人为 a1，a 2， a3，a 4， a5，a 6，45 岁以上的 2 人为 b1，b 2，则从这 8 人中随机抽 2 人包含以下基本事件( a1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，( a1，a 5)，( a1，a 6)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a2，a 3)，( a2， a4)，(a 2，a 5)， (a2，a 6)，( a2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，( a3，a 5)，(a 3，a 6)，( a3，b 1)，(a3，b 2)，( a4，

16、 a5)，(a 4，a 6)， (a4，b 1)，( a4，b 2)，(a 5，a 6)，( a5，b 1)，( a5，b 2)，(a 6，b 1)，( a6，b 2)，( (b1，b 2)共 28 个基本事件记抽到的 2 人中 1 人是 45 岁以下，另一人是 45 岁以上为事件 M，则事件 M 包含如下基本事件(a 1，b 1)，( a1，b 2)，(a 2，b 1)，( a2，b 2)，(a 3，b 1)，( a3，b 2)，(a 4，b 1)，(a4，b 2)，( a5， b1)，(a 5，b 2)， (a6，b 1)，( a6，b 2)，共 12 个基本事件故 . ()=1228=3

17、7即抽到的 2 人中 1 人是 45 岁以下，另一人是 45 岁以上的概率为 .37【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的众数和平均数的计算，同时考查了独立性检验的应用，还考查了古典概型的计算，属于中档题.20(I) .=2()=(127)211【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列 的通项公式 . ()利用错位相减法求数列 的前 n 项和 .【详解】(I)由题意可知：当 时， ，又因为 ，所以 ， 2 =2+1 +1=2+ +1=2又因为当 ， ，所以 =1 2=4 2=21所以 等比数列，且 =2（2） =22+522+.+(31)22=222+523+.+(31)2+1=4+322+3

18、23+.+32(31)2+1=4+312112(31)2+1=1+(712)21所以 =(127)211【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21(I)z 与 x 的线性回归方程是 (II)当使用年数为 10 年时售价约为 1.03 万=0.36+3.63元【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出 z 与 x 的线性回归方程. (II) 先求出 y 关于 x 的回归方程是, 令 x10，预测某辆该款汽车当使用年数为 10 年时售价.=0.36+3.63【详解】(I)由题意，知 ，=16(2+3+4+5+6+7)=4.5

19、，=16(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2又 ,6=1=47.646=12=139所以 ， =47.6464.5213964.52 =6.3617.50.363所以 ，=2+0.3634.5=3.63所以 z 与 x 的线性回归方程是 ；=0.36+3.63(II)因为 ,=所以 y 关于 x 的回归方程是 ,=0.36+3.63令 x10，得 = ,因为 ln 1.030.03，所以 ，=0.3610+3.630.03 =1.03即预测该款汽车当使用年数为 10 年时售价约为 1.03 万元【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生

20、对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22（1） （2）见解析=+1【解析】【分析】（1）通过求函数导数值得切线斜率，再由点斜式即可得解；（2）通过求导，利用导数的正负得函数的单调性，进而得存在唯一的 ，使得0(12,1)， ，再通过运算可得 ，进而可得解.(0)=0 =(0)=00 =00=10+0【详解】（1）由题意可知 ，=()+2=+2，所以斜率 ，所以切线方程为 . /=1 =1 =+1（2）令 ()=()()=，因为 ， ，()=1 (1)=10 (12)=20又因为 在 上单增()+所以存在唯一的 ，使得 ，即 ， 0(12,1) (0)=0 0=10当 ，所以 单减，同理 在 单增， (0,0),()0 () ()(0,+)所以 ， =(0)=00因为 ，所以 ， 0=10 0=0所以 因为 ，所以 .=00=10+0 0(12,1) 252【点睛】对于导函数的零点存在但是不可求的问题，解题时可根据导函数的单调性得到零点所在的范围，在得到函数的单调性后进一步得到函数的最值，在求最值的过程中需要利用导函数的零点进行代换，以达到求出函数最值的目的，如在本题中由 得到 ，进而得到(0)=00=0 0=10是能求范围的关键0=0