【全国名校】2018—2019学年河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题（解析版）

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1、20182019 学 年 河 北 省 衡 水 中 学高 三 年 级 上 学 期 四 调 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非

2、选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1下列命题正确的个数为梯形一定是平面图形；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A0 B1 C2 D32已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 8=44 4=A B3 C D452

3、 723已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点，则该双曲线的22=1() 2=8渐近线方程为A B C D= 3 =3 =13 =334如图，一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点 沿着置于水 平面的长方体的棱爬行至顶点 ，则它可以爬行的不同的最短路径有A40 条 B60 条 C80 条 D120 条5函数 的图象大致是()=22|A BC D6若 ，则(2+4)+(24)=32 =A B2 C D234 347某县教育局招聘了 8 名小学教师，其中 3 名语文教师，3 名数学教师，2 名全科教师，需要分配到 两个学校任教，其中每个学校都需要 2 名语文教师和 2 名数学,教师，则分

4、配方案种数为A72 B56 C 57 D638一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D96+36 72+48 48+96 24+489已知函数 ，下列结论不正确的是()=2A 的图象关于点 中心对称=() (,0)B 既是奇函数，又是周期函数=()C 的图象关于直线 对称=() =2D 的最大值为=()32此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 10如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A B C D20009 400

5、027 81 12811已知 的准线交 轴于点 ，焦点为 ，过 且斜率大于 0 的直线交2=4 于 ， ，则2=4,=600 |=A B C4 D3476 47312已知 是减函数，且 有三个零点，则()= 2,0(1+2),0 ()+的取值范围为A B (0,22)1,+) (0,22)C D1,+) 221,+)二、解答题13数列 满足 ， （ ）. 1=6 +1=69 （1）求证：数列 是等差数列；13（2）求数列 的前 999 项和.14在四棱锥 ， ， ，/=900,=2，平面 平面 ， 分别是 中点.=4, , ,（1）证明： 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值 . 15在

6、 中，内角 所对的边分别为 ，已知 , ,.2+22=+2（1）求角 的大小；（2）若 的面积 ，且 ，求 . =2534 =5 +16如图，直线 平面 ，直线 平行四边形 ，四棱锥 的 顶点 在平面 上， ， ， ， ， = 7 = 3 =,/,=2分别是 与 的中点., （1）求证： 平面 ；/（2）求二面角 的余弦值.17如图，椭圆 ： 的左右焦点分别为 ，离心率为 ，122+22=1(0) 1,2 32过抛物线 ： 焦点 的直线交抛物线于 两点，当 时， 点在 轴上2 2=4 , |=74 的射影为 ，连接 并延长分别交 于 两点，连接 ， 与 的面积1 ,) 1 , 分别记为 ， ，

7、设 .=（1）求椭圆 和抛物线 的方程；1 2（2）求 的取值范围.18已知函数 的图象的一条切线为 轴.()=3223 （1）求实数 的值；（2）令 ，若存在不相等的两个实数 满足 ，()=|()+()| 1,2 (1)=(2)求证： .120 ()函数 的最大值为 或 时的函数值，结合 ，可得() =1 =33 (1)=010因为 ，即 ，整理化简得 ，=222+1=211+1 12=1， ， ，|2=(21)2+(2221)2 |=1+1 |=2+1代入余弦定理 整理化简得：|2=|2+|22|600，又因为 ，所以 ， ，1+2=103 12=1 1=13 2=3，选 B.|= (21

8、)2+(2221)2=473【点睛】圆锥曲线题目要注意题中几何关系，利用余弦定理是解决本题的关键。12D【解析】【分析】由于分段函数 是减函数，从而知道当 时， 为减函() 0 ()=(1+2)数，此时导函数 恒成立，从而求出 。再由于 有三个零点，()0 =1 =()+也就是函数 与 图象有三个交点，通过讨论 与交点的情况进而求出=()= 的取值范围。【详解】当 ， 单调递减，0 ()=(1+2)可得 在0时 ， ()=(1+2)(1+2)=(1)(1)0恒成立。当 ， 恒成立，可得 ，而 ，所以 ，00 ()= =1+21令 ， .令 得 ，()=1+21 ()=1+12 ()=0 =1+

9、2所以 ， 单调递减； 时，(0,1+2)时 ， ()0 ()，()=(1+2)=22时， ， 时， ，0()1 + ()+所以要使 在 有唯一解，=1+21 (0,+)只需 或 .=22 1故选 D.【点睛】零点问题是近年高考中常考题型，常常转化为构造两个函数交点问题，利用数形结合也是常见的方法。13（1）见解析；（2） 3+(+1)【解析】【分析】（1）方程两边减 3 后，取倒数可化简得 ，即可证明（2）化简1+13 13=13，相加相消求和即可 .=3(+1) =3+(+1)【详解】（1）数列 满足： ， （ ） 1=6 +1=69 ，1+13= 1693=3+33(3)=13+ 13所

10、以， ，1+13 13=13即，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；13 113=13 13（2）由（1）得 ，解之得： ；1+13=13+（ 1)13 =3(+1)所以， =3(+1) =3+(+1)于是，=3+21+3+32+3+(+1)=3+(+1)【点睛】本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和，属于中档题.14（1）见解析（2）105【解析】【分析】（1）要证明直线 平面 ，只需要证明直线 与平面 内两条相交直 线都垂直，通过题中条件分析证明 分别垂直于 和 即可。（2）建立空间直角坐 标系，通过找出平面 的法向量，利用空间向量法计算线面角的公

11、式即可。【详解】（1）取 中点为 ，则由 可得 ， = 因为平面 平面 ，所以 平面 ，故 ， 而 ， 交 于 ，所以 平面 ，可得到 . 连接 ，在直角梯形 中，易求得 ，而 ， =22,=22 =4则 ，即 ，2+2=2 又 ，可得 平面 ，所以 . 又 ， 与 交于 ，所以 平面 . （2）以 为原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向建立如图的空间直 , 角坐标系，则 ， ， ， ， .(0,0,0)， (22,0,0) (0,22,0)(0,0,2)(2,0,0) (0,2,1)平面 的法向量为 ， ,故所求线面角的正弦值 =(0,22,0)=( 2, 2,1)为 |=|= 4522

12、=105【点睛】在立体几何题中，二面角、线面角等问题，常常可以通过建立空间直角坐标系利用法向量方法来做，关键在于建立合适的坐标系，找准坐标和法向量，确定所求角。15（） ；（） .=3 3【解析】试题分析：（）由余弦定理把已知条件化为 ，再由正弦定理化2=+2为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得 ，从而得 角；=12 （）由三角形面积公式求得 ，再由余弦定理可求得 ，从而得=25 2+2=50，再由正弦定理得 ，计算可得结论.+=10 +=(+)试题解析：（）因为 ，所以由 ，2+22=+2 2=+2即 ，由正弦定理得 ，2=+ 2=+即 ， ，2=(+) (+)=()= ，

13、即 ，2= (21)=0 ， ， ， ， .00) =2=4 =4，同理可得 ,故可将 化为 m 的代数|=41+2 |,|,| =|式，用基本不等式求解可得结果。试题解析：（）由抛物线定义可得 ，(,74)点 M 在抛物线 上，2=4 ，即 2=4(74) 2=742又由 ，得 =32 2=32将上式代入，得 72=7解得 =1, = 3,，=2所以曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 。 124+2=1 2 2=4（）设直线 的方程为 ， =+1由 消去 y 整理得 ，=+12=4 244=0设 ， .（ 1,1) (2,2)则 ，12=4设 ， ，= =则 ，=2211=11612=14所以

14、 ， =14设直线 的方程为 ， =(0)由 ，解得 ，=2=4 =4所以 ，|= 1+2|=41+2由可知，用 代替 ，14 可得 ， |=11+(14)2|= 1+ 1162由 ，解得 ，=24+2=1 = 242+1所以 ，|= 1+2|=21+242+1用 代替 ，可得14 |= 1+ 1162|=21+1162142+1所以=|=41+211+116221+242+121+1162142+1= 42+1 142+1= 42+2+142，当且仅当 时等号成立。=2+122 =1所以 的取值范围为 . 2,+)点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关

15、系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围18（） ;（）见解析 .=23【解析】【试题分析】（1）依据题设条件借助导数的几何意义求解；（2）依据题设构造函数 ，运用导数的知识分析推证：()=23(321)+ 1（） ， ，()=32 1 0设切点坐标为 ，由题意得(0,0)(0)=032023=0,(0)=32 010=0,解得0=1,=23.（） ，令 ，()=|23(321)+ 1|

16、 ()=23(321)+ 1则 ，当 时， ， ，()=( 1)+(12+12) 1 10 ()0又可以写成 ，当 时， ， () ( +12)+12 00 ()0因此 在 上大于 0， 在 上单调递增，又 ，()(0,+) ()(0,+) (1)=0因此 在 上小于 0，在 上大于 0，()(0,1) (1,+)且 在 上单调递减，在 上单调递增，()=(),1,(),01 00故 在 上单调递增，()(1,+)所以 ，所以 ，()(1)=0 ()(1)0不妨设 ，则 ，0(12)而 ， ，有单调性知 ，即 00 ()=332在 单调递增，在 单调递减，()(0,1) 1,+)所以 时， .=1 =(1)= 3【点睛】本题考查外接球，首先选取一个面，使得这个图形的外心容易被找到，常见的选取面有直角三角形（斜边中点），正三角形（内心）等.研究多面体的外接球问题，要运用球的性质，还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。