北师大版数学九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测（含精品解析）

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1、北师大版数学九年级上册第 1 章特殊的平行四边形单元检测考试时间：100 分钟；满分：120 分姓名：_班级： _学号：_成绩:_一选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1 （3 分）下列性质中菱形有矩形不一定具有的性质是（ ）A对角线互相垂直B对角线互相平分C对角线相等D既是轴对称图形又是中心对称图形2 （3 分）若菱形的周长为 16，则它的边长为（ ）A8 B6 C4 D23 （3 分）边长为 1 的正方形的对角线为（ ）A B1 C D2 +14 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，A2B，则C （ ）A120 B100 C150 D605 （3 分）菱形的两条对角线

2、的分别为 60cm 和 80cm，那么边长是（ ）A60cm B50cm C40cm D80cm6 （3 分）下列性质，菱形、矩形和正方形都具有的是（ ）A轴对称图形 B对角线平分一组对角C对角线相等 D对角线互相垂直7 （3 分）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（2，1） ，点 C 的纵坐标是 4，则 B 点的坐标分别是（ ）A （ ，3） B （ ，4） C （ ，4） D （ ， ）8 （3 分）已知矩形 OABC，坐标分别为 O（0，0） ，A（0，a） ，B（b，2） ，C（3，0） ，则（ ）Aa3，b2 Ba2，b3 Ca3，b2 Da2，b39 （3 分）如图，边长

3、为 6 的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S 2，则 S1+S2（ ）A16 B17 C18 D1910 （3 分）如图，已知ABC 中，AC 2，BC 4，以 AB 为边向形外作正方形 ABMN，若ACB 的度数发生变化，连接 CN，则 CN 的最大值是（ ）A4 B6 C4+2 D2+411 （3 分）在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 上一点，且 EFBF+DE，则EAF 的度数为（ ）A30 B60 C45 D小于 6012 （3 分）如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为一边向内作等边ABE，连结 EC，则BEC的度数为（ ）A60

4、B45 C75 D67.5二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）13 （4 分）如图，长方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 的直线交AD，BC 于点 E，F 若 AB2，BC3，则图中阴影部分的面积为 14 （4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，若AOB60，AC12cm ，则 AB cm15 （4 分）如图，O 为坐标原点，四边形 OABC 为矩形，A（20，0） ，C（0，6） ，点 D是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动，当ODP 是等腰三角形时，则 P 点的坐标为 16 （4 分）在长方形 ABCD 中

5、，A（3，2） ，B（0，2） ，C（0，4） ，则点 D 的坐标是 17 （4 分）在正方形 ABCD 的平面内作等边三角形ADE，则AEB 的度数为 18 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在 BC 上，且 BE2，BFAE 于 F，交 AC 于点 G，则 AG 的值为 三解答题（共 9 小题，满分 60 分）19 （5 分）如图，正方形 ABCD 及 EFGC 的面积分别是 10 和 5，求长方形 AHGD 留下阴影部分的周长和面积20 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，MAMD 若矩形的周长为48cm，求矩形的面积21 （6 分）如图，四

6、边形 ABCD 为正方形，B 的坐标（0，4） ，C 的坐标（3，0） ，A、D在第一象限（1）过 D 作 DEx 轴，垂足为 E，先证明OBCECD，再写出点 D 的坐标；（2）求点 A 的坐标22 （6 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AQ，BN，CN， DQ 分别是DAB，ABC，BCD，CDA 的平分线，AQ 与 BN 交于点 P，CN 与 DQ 交于点M在不添加其他条件的情况下，试判别四边形 MNPQ 的形状，并说明理由23 （7 分）如图，MNPQ，直线 l 分别交 MN、PQ 于点 A、C，同旁内角的平分线AB、 CB 相交于点 B，AD、CD 相交于点 D试证明四边形 AB

7、CD 是矩形24 （7 分）如图所示，顺次延长正方形 ABCD 的各边 AB，BC，CD，DA 至E，F ，G，H，且使 BECF DGAH求证：四边形 EFGH 是正方形25 （7 分）四边形 ABCD 是矩形，MN 垂直平分对角线 BD 于 O，交 AD 于 M，交 BC 于N，求证：四边形 MBND 是菱形26 （8 分）如图，菱形 ABCD 中，一射线 BE 分ABC 为ABE 与CBE，且ABE：CBE7：3，BE 交对角线 AC 于 F，交 CD 于 E，过 B 作 BKAD 于 K 点，交 AC 于 M，且DAC15（1）求DEB 的度数；（2）求证：2CFCM+2FB27 （9

8、 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AC 上（1）求证：BEDE ；（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图，点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，PEAB，PF BC，垂足分别为 E，F求证：EFDP参考答案一选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1 （3 分）下列性质中菱形有矩形不一定具有的性质是（ ）A对角线互相垂直B对角线互相平分C对角线相等D既是轴对称图形又是中心对称图形【解答】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，故菱形具有而矩形不具有的性质是两条对角线互

9、相垂直，故选：A【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键2 （3 分）若菱形的周长为 16，则它的边长为（ ）A8 B6 C4 D2【解答】解：因为菱形的四边相等，周长为 16，菱形的边长为 4，故选：C【点评】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质就解决问题的关键3 （3 分）边长为 1 的正方形的对角线为（ ）A B1 C D2 +1【解答】解：由勾股定理知，对角线长 ，故选：A【点评】此题主要考查了正方形的性质，关键是根据勾股定理的运用解答4 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，A2B，则C （ ）A120 B

10、100 C150 D60【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ADBC，AC，A+B180，A2B ，A120，B60，C120，故选：A【点评】本题考查菱形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型5 （3 分）菱形的两条对角线的分别为 60cm 和 80cm，那么边长是（ ）A60cm B50cm C40cm D80cm【解答】解：菱形的两条对角线长分别为 60cm 和 80cm，该菱形的边长为 ，故选：B【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键6 （3 分）下列性质，菱形、矩形和正方形都具有的是

11、（ ）A轴对称图形 B对角线平分一组对角C对角线相等 D对角线互相垂直【解答】解：A、正确矩形、菱形、正方形都是轴对称图形B、错误矩形不具有的对角线互相垂直这个性质C、错误菱形不具有的对角线相等这个性质D、错误矩形不具有对角线互相垂直这个性质故选：A【点评】本题考查矩形、菱形、正方形的性质，记住矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键，属于中考常考题型7 （3 分）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（2，1） ，点 C 的纵坐标是 4，则 B 点的坐标分别是（ ）A （ ，3） B （ ，4） C （ ，4） D （ ， ）【解答】解：过点 A 作 AD x 轴于点 D，过点 B 作 B

12、Ex 轴于点 E，过点 C 作 CFy轴，过点 A 作 AFx 轴，交点为 F，延长 CA 交 x 轴于点 H，四边形 AOBC 是矩形，ACOB，ACOB，CAFBOECHO ，在ACF 和OBE 中，CAFBOE（AAS） ，BECF4 13，AOD +BOE BOE+OBE90，AOD OBE，ADO OEB90，AOD OBE， ，即 ，OE ，点 B（ ，3） ，故选：A【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用8 （3 分）已知矩形 OABC，坐标分别为 O（0，0） ，A（

13、0，a） ，B（b，2） ，C（3，0） ，则（ ）Aa3，b2 Ba2，b3 Ca3，b2 Da2，b3【解答】解：因为矩形 OABC，坐标分别为 O（0，0） ，A （0，a） ，B（b，2） ，C（3，0） ，所以 a2，b3，故选：B【点评】本题考查了矩形的性质，关键是根据矩形的性质和坐标特点解答9 （3 分）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S 2，则 S1+S2（ ）A16 B17 C18 D19【解答】解：如图，设正方形 S1 的边长为 x，ABC 和CDE 都为等腰直角三角形，ABBC，DEDC ，ABCD90，sinCABsin45

14、，即 AC BC，同理可得：BCCE CD，AC BC 2CD，又 ADAC +CD6，CD2，EC 22 2+22，即 EC2 ；S 1 的面积为 EC22 2 8；MAOMOA 45，AMMO，MO MN，AMMN，M 为 AN 的中点，S 2 的边长为 3，S 2 的面积为 339，S 1+S28+917故选：B【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，考查了学生的读图能力和计算能力，题目比较典型，难度适中10 （3 分）如图，已知ABC 中，AC 2，BC 4，以 AB 为边向形外作正方形 ABMN，若ACB 的度数发生变化，连接 CN，则 CN 的最大值是（ ）A4

15、 B6 C4+2 D2+4【解答】解：四边形 ABMN 为正方形，ABAN， BAN90，将ACB 绕点 A 逆时针旋转 90得到AC N ，如图，CAC 90 ，ACAC2，NC BC 4，ACC 为等腰直角三角形，CC AC2 ，NC+CC NC（当且仅当点 C在 NC 上时，取等号） ，点 C在 NC 上时，NC 最大，此时 NC4+2 ，即 CN 的最大值是 4+2 故选：C【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角解决本题的关键通过旋转把零散的条件集中到一个三角形中11 （3 分）在正方形 A

16、BCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 上一点，且 EFBF+DE，则EAF 的度数为（ ）A30 B60 C45 D小于 60【解答】解：延长 FB 使得 BGDE ，连接 AG，在ABG 和ADE 中，ABGADE（SAS） ，DAEBAG，AEAG，又EFDE +BFFB+BG FG，AFAF，在AFG 和AEF 中，AFGAEF（SSS） ，FAGEAF，DAE+EAF+ BAF90FAG+EAF90，EAF 45故选：C【点评】本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAGEAF 是解题的关键12 （3 分）

17、如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为一边向内作等边ABE，连结 EC，则BEC的度数为（ ）A60 B45 C75 D67.5【解答】解：如图，在ABCD 中，ABC90，ABBCABE 是等边三角形，ABE 60，ABBE，EBC906030，BEBC ，BCEBEC （18030）75故选：C【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质根据正方形和等边三角形的性质推知 BEBC 是解题的关键二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）13 （4 分）如图，长方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 的直线交AD，BC 于点 E，F 若 AB2，B

18、C3，则图中阴影部分的面积为 3 【解答】解：根据矩形的性质得OBFODE，属于图中阴影部分的面积就是ADC 的面积SADC CDAD 233故答案为：3【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积14 （4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，若AOB60，AC12cm ，则 AB 6 cm【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，OAOCOBOD6，AOB60，AOB 是等边三角形，ABOA 6cm，故答案为 6【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础

19、题15 （4 分）如图，O 为坐标原点，四边形 OABC 为矩形，A（20，0） ，C（0，6） ，点 D是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动，当ODP 是等腰三角形时，则 P 点的坐标为 P1（2， 6） ，P 2（5，6） ，P 3（8，6） ，P 4（18，6） 【解答】解：当 P1OOD10 时，由勾股定理可以求得 P1F8，P 1C2，P2OP 2D 时，作 P2EOA，OEED 5；当 P3DOD 10 时，作 DFBC，由勾股定理，得 P3F2，P 3C8；当 P4DOD 10 时，作 P4GOA，由勾股定理，得DG8，OG18P 1（2，6） ，P 2（5，6） ，P 3

20、（8，6） ，P 4（18，6） ；故答案为：P 1（2，6） ，P 2（5，6） ，P 3（8，6） ，P 4（18，6）【点评】本题考查了矩形的性质，关键是根据坐标与图形的性质，等腰三角形的性质和勾股定理的运用解答16 （4 分）在长方形 ABCD 中，A（3，2） ，B（0，2） ，C（0，4） ，则点 D 的坐标是 （3，4） 【解答】解：长方形 ABCD 中，A（3，2） ，C （0，4） ，点 D 的横坐标为3，纵坐标为 4，点 D 的坐标为（3，4） 故答案为：（3，4） 【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，根据图形确定点 D 的横坐标与纵坐标是解题的关键17 （4 分

21、）在正方形 ABCD 的平面内作等边三角形ADE，则AEB 的度数为 75或15 【解答】解：如图，当点 E 在正方形内部时，四边形 ABCD 是正方形，BAD90，AB AD，AED 是等边三角形，EAD60，AD AEAB，BAE 906030，ABE AEB （180 BAE）75当点 E在正方形外部时，同理可得，ABE （180150）15，故答案为：75或 15【点评】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，等边三角形的性质、正方形的性质的知识点的应用，关键是求出EAD 的度数和证出ABEAEB18 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在 BC 上，且 B

22、E2，BFAE 于 F，交 AC 于点 G，则 AG 的值为 【解答】解：如图，延长 BG 交 CD 于 M四边形 ABCD 是正方形，ABCDBC6，ABCBCM90，AC 6 ，AEBM，AFB 90，ABF +BAE90ABF+CBM90，BAE CBM，在ABE 和BCM 中，ABE BCM，CMBE2，CMAB，CM：ABCG：AG2：6 1：3，AG AC6 故答案为 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型三解答题（共 9 小题，满分 60

23、分）19 （5 分）如图，正方形 ABCD 及 EFGC 的面积分别是 10 和 5，求长方形 AHGD 留下阴影部分的周长和面积【解答】解：正方形 ABCD 及 EFGC 的面积分别是 10 和 5BC ，EF CEBEBCCE 四边形 BEFH 的周长2（BE +EF）2（ + ）2四边形 BEFH 的面积 BEEF （ ）5 5【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键20 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，MAMD 若矩形的周长为48cm，求矩形的面积【解答】解：CDM+CMD90，CMD +BMA90，CDMBMA，同理

24、DMC BAM DCMMBA ，DCAB ，BM CM，ABBM又（AB+BC）248，（AB+2AB）248AB8，BC 16矩形 ABCD 的面积为 128【点评】本题的关键是利用了三角形相似的判定定理，及相似三角形的性质和矩形的性质21 （6 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，B 的坐标（0，4） ，C 的坐标（3，0） ，A、D在第一象限（1）过 D 作 DEx 轴，垂足为 E，先证明OBCECD，再写出点 D 的坐标；（2）求点 A 的坐标【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形，CBCD，BCD90，BCO+CBO90，BCO+DCE90，CBODCE，在OBC 和EC

25、D 中，OBCECD（AAS） ，OCDE3，OBCE4 ，D（7，3） ；（2）解：C 点向左平移 3 个单位，向上平移 4 个单位得到点 D，则 D 点向左平移 3 个单位，向上平移 4 个单位得到点 A，所以 A 点坐标为（4，7） 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质也考查了全等三角形的判定方法22 （6 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AQ，BN，CN， DQ 分别是DAB，ABC，BCD，CDA 的平分线，AQ 与 BN 交于点

26、P，CN 与 DQ 交于点M在不添加其他条件的情况下，试判别四边形 MNPQ 的形状，并说明理由【解答】解：四边形 MNPQ 是矩形，理由：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，DAB+ABC180AP，BP 分别平分DAB ， ABC ，PAB +PBA （DAB+ABC ） 18090P90，同理：M90，PQM 90，PNM90，四边形 MNPQ 是矩形【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，关键是掌握三个角是直角是四边形是矩形23 （7 分）如图，MNPQ，直线 l 分别交 MN、PQ 于点 A、C，同旁内角的平分线AB、 CB 相交于点 B，AD、CD 相交于点 D试

27、证明四边形 ABCD 是矩形【解答】证明：MNPQ，MACACQ、ACPNAC，AB、CD 分别平分MAC 和ACQ，BAC MAC、DCA ACQ，又MACACQ，BACDCA，ABCD，AD、CB 分别平分ACP 和NAC，BCA ACP、DAC NAC ，又ACPNAC，BCADAC，ADCB，又ABCD，四边形 ABCD 平行四边形，BAC MAC，ACB ACP，又MAC+ ACP180，BAC+ ACB90，ABC90，平行四边形 ABCD 是矩形【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形24 （7 分）如图所示，顺次延长正方形 ABCD 的各边

28、AB，BC，CD，DA 至E，F ，G，H，且使 BECF DGAH求证：四边形 EFGH 是正方形【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDDA，EBFHAEGDHFCG，又BECF DGAH ，CGDHAEBFAEHCGFDHG BFE，EFFG GHHE，EFBHEA，四边形 EFGH 为菱形，EFB +FEB90， EFBHEA ，FEB +HEA90，四边形 EFGH 是正方形【点评】本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形25 （7 分）四边形 ABCD 是矩形，MN 垂直平分对角线 BD 于 O，交 AD 于 M，交 BC 于N，求证：四边形 MBND

29、 是菱形【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，MDO NBO，MN 垂直平分对角线 BD，ODOB ，MN BD，在MOD 和NOB 中， ，MOD NOB（ASA ） ，OM ON，四边形 MBND 是平行四边形，又MNBD，四边形 MBND 是菱形【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键26 （8 分）如图，菱形 ABCD 中，一射线 BE 分ABC 为ABE 与CBE，且ABE：CBE7：3，BE 交对角线 AC 于 F，交 CD 于 E，过 B 作 BKAD 于 K 点，交 AC

30、 于 M，且DAC15（1）求DEB 的度数；（2）求证：2CFCM+2FB【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是菱形，DAB2DAC2530，ABC180DAB18030150，ABE ：CBE7：3，ABE 150 105 ，DEB180ABE18010575；（2）证明：BKAD，菱形的对边 ADBC，CBMAKB90，BCA DAC15，如图，取 CM 的中点 G，连接 BG，则 BGCG CM，CBGBCG15，EBGEBCCBG（150105）1530，BGMCBG+ BCA15+1530，GBFBMG，FBFG ，CFCG+FG，CF CM+FB，故 2CFCM+2FB【点评】

31、本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，难点在于（2）根据 2 倍关系考虑到 ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作出辅助线构造出两个等腰三角形，这也是解决本题的关键27 （9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AC 上（1）求证：BEDE ；（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图，点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，PEAB，PF BC，垂足分别为 E，F求证：EFDP【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，ABAD，BACDAC45，在ABE 和ADE 中，ABE ADE（SAS） ，BEDE ；（2）解：命题：正方形一条对角线上的点到另一对角线的两端点的距离相等；（3）证明：如图，连接 PB，PEAB，PFBC，ABC90，四边形 BFPE 是矩形，EFPB，由（2）PBDP，EFDP 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键