三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题07 平面解析几何(选择题、填空题) (解析版)
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1、专题 07 平面解析几何(选择题、填空题)1 【2019 年高考全国卷理数 】已知椭圆 C 的焦点为 ,过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两12,01,F(), (点若 , ,则 C 的方程为22|AFB1|AA B1xy213xyC D243254【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设 ,则 ,2FBn21,3AnBFAn由椭圆的定义有 1124,aa在 中,由余弦定理推论得 1AFB2219cos3n在 中,由余弦定理得 ,解得 12244n2n所求椭圆方程为 ,故选 B2243,31,anabac213xy法二:由已知可设 ,则 ,2FBn21,3AnBFAn由椭圆的定义有 1 2
2、4aa在 和 中,由余弦定理得 ,12AF 12B2 221cos49FnnB又 互补, ,两式消去 ,得,2121coscos0AF2121scosABF,,解得 所求椭圆方22361n3n22243,31,anabac程为 ,故选 Bxy【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养2【2019 年高考全国卷理数】若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 的一个焦点,则 p=231xypA2 B3 C4 D8【答案】D【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点,所以2(0)ypx(,0)2p231xyp,解得
3、 ,故选 D23()p8【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养解答时,利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程,从而解出 ,或者利用检验排除的方法,如pp时,抛物线焦点为(1,0) ,椭圆焦点为(2,0) ,排除 A,同样可排除 B,C,从而得到选 D2p3【2019 年高考全国卷理数】设 F 为双曲线 C: 的右焦点, 为坐标原点,以21(0,)xyabO为直径的圆与圆 交于 P,Q 两点若 ,则 C 的离心率为OF22xyaOFA B 2 3C2 D 5【答案】A【解析】设 与 轴交于点 ,由对称性可知 轴,PQxAPQx又 , 为以 为直径的圆
4、的半径,|OFc|,2cOF , ,|2cOA,cP又 点在圆 上, ,即 22xya224ca22,ccea,故选 Ae【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来解答本题时,准确画图,由图形对称性得出 P 点坐标,代入圆的方程得到 c 与 a 的关系,可求双曲线的离心率4【2019 年高考全国卷理数】双曲线 C: =1 的右焦点为 F,点 P 在 C 的一条渐近线上,O 为24xy坐标原点,若 ,则PFO 的面积
5、为=POFA B324 32C D【答案】A【解析】由 ,22,6,abcab6,2POFx又 P 在 C 的一条渐近线上,不妨设为在 上,则 ,yx3Pbya,故选 A11326224PFOPSy【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅,采取列方程组的方式解出三角形的高,便可求三角形面积5【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆 (ab0)的离心率为 ,则2 1xy12Aa 2=2b2 B3a 2=4b2Ca=2b D3a=4b【答案】B【解
6、析】椭圆的离心率 ,化简得 ,221,cea234ab故选 B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和 的关系可得满足题意的等式.,abc6【2019 年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 C: 就21|xyx是其中之一(如图)给出下列三个结论:曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ;2曲线 C 所围成的“ 心形”区域的面积小于 3其中,所有正确结论的序号是A BC D【答案】C【解析】由 得, , ,21xyx221yx222|3
7、41,0,43xxy所以 可取的整数有 0,1,1,从而曲线 恰好经过(0,1) ,(0,1),(1,0),:C(1,1), (1,0) ,(1 ,1) ,共 6 个整点,结论正确.由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距2xyx22xyy2xyC离都不超过 . 结论正确.如图所示,易知 ,0,1,1,0,ABCD四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即BCD322ADS四 边 形 2ABCDS四 边 形“心形”区域的面积大于 3,说法错误.故选 C.【名师点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算能力及分析问题、解决问题的
8、能力考查,渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围,利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7【2019 年高考天津卷理数】已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,若 与双曲线24yxFl的两条渐近线分别交于点 和点 ,且 ( 为原点),则双21(0,)xyabAB|4|OF曲线的离心率为A B2 3C D 5【答案】D【解析】抛物线 的准线 的方程为 ,24yxl1x双曲线的渐近线方程为 ,ba则有 ,(1,)(,)bABa , , ,242ba .25cae故选 D.【名师点睛】本题考查抛物线和双
9、曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出 AB 的长度.解答时,只需把 用 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.4ABOF,abc8【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为 xy=0 的双曲线的离心率是A B12C D2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ,所以 ,则 ,所以双曲线的离0xyab2cab心率 .故选 C.2cea【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双ab曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9 【2018 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中,
10、记 d 为点 P(cos ,sin )到直线 的20xmy距离,当 ,m 变化时,d 的最大值为A1 B2C3 D4【答案】C【解析】 P 为单位圆上一点,而直线 过点 A(2,0) ,所以 d 的最2cosin1, xmy大值为 OA+1=2+1=3,故选 C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化10 【2018 年高考全国卷理数】直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点,点 在圆20xyxyABP上,则 面积的取值范围是2()xyABPA B6, 48,C D23,
11、 23,【答案】A【解析】 直线 分别与 轴, 轴交于 , 两点, ,则20xyxyAB2,0B.2B点 P 在圆 上, 圆心为(2,0) ,则圆心到直线的距离 .2()xy12d故点 P 到直线 的距离 的范围为 ,则 .2d,32 22,6ABPS故答案为 A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题.先求出 A,B 两点坐标得到 再计算圆心到直线的距离,得到点 P 到直线距离的范围,由面积公式AB,计算即可.11 【2017 年高考浙江卷】椭圆 的离心率是2194xyA B13 53C D2 9【答案】B【解析】椭圆 的离心率 ,故选 B2
12、194xy9453e【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,其关键就是确立一个关于 的方程或,abc不等式,再根据 的关系消掉 得到 的关系式,建立关于 的方程或不等式,要充分利用椭,abcb,ac,abc圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等12 【2018 年高考全国理数】已知 , 是椭圆 的左、右焦点, 是 的左1F221(0)xyCab: AC顶点,点 在过 且斜率为 的直线上, 为等腰三角形, ,则 的离心率为PA3612PF 12FPA B 23C D1 4【答案】D【解析】因为 为等腰三角形, ,所以 ,12PF 120FP21|PFc由 的斜率为 可得 ,A362
13、3tan6A所以 , ,21sin3PF21cos3PF由正弦定理得 ,22insA所以 ,211233=5sin()caPAF所以 , ,故选 D4ac1e【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于 的方程或不等式,再根,据 的关系消掉 得到 的关系式,而建立关于 的方程或不等式,要充分利用椭圆的几何性质、, , ,点的坐标的范围等.13 【2017 年高考全国理数】已知椭圆 C: 的左、右顶点分别为 A1,A 2,且以线20)1(xyab段 A1A2 为直径的圆与直线 相切,则 C 的离心率为0bxyA B63 3C D2 13【答案】A【解析】以线段 为直径的圆的
14、圆心为坐标原点 ,半径为 ,圆的方程为 ,12A(0,)ra22xya直线 与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 ,整理可得0bxay 2bd,即 即 ,2322()c23ac从而 ,则椭圆的离心率 ,故选 A2cea 6e【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围) ,常见的有两种方法:求出 a,c,代入公式 e ;ca只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2a 2c 2 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不等式) 两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式),解方程( 不等式)即可得 e(e 的取值范围).
15、14 【2018 年高考浙江卷】双曲线 的焦点坐标是213xyA( ,0),( ,0)2B(2,0),(2,0)C(0, ),(0, )2D(0,2),(0,2)【答案】B【解析】设 的焦点坐标为 ,因为 , ,213xy(,0)c22314ab2c所以焦点坐标为 ,故选 B(,0)15 【2017 年高考天津卷理数】已知双曲线 的左焦点为 ,离心率为 若经21(0,)xyabF2过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为F(0,4)PA B21xy218xyC D24824【答案】B【解析】由题意得 ,240,1, 1() 8xyabcab故选 B【名师点睛】利用待定系数法
16、求圆锥曲线的方程是高考的常见题型,求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于 的方程(组) ,解方程(组)求出 的值另外要注意巧设双曲线方程,abc,ab的技巧:双曲线过两点可设为 ,与 共渐近线的双曲线可设为21(0)mxny21xy,等轴双曲线可设为 2xyab(0)2()16 【2018 年高考全国理数】双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为210,xyab3A B2yx yxC D 2【答案】A【解析】因为 ,所以 ,所以 ,3cea22132bcae2ba因为渐近线方程为 ,所以渐近线方程为 ,故选 Ayxyx17【2017 年高考全国理数】若双曲线 ( , )的一条渐近线被
17、圆:C21xab0ab所截得的弦长为 2,则 的离心率为24xyA2 B 3C D 2【答案】A【解析】由几何关系可得,双曲线 的渐近线方程为 ,210,xyab0bxay圆心 到渐近线的距离为 ,2,023d则点 到直线 的距离为 ,即 ,,0bxay203bac24()3ca整理可得 ,则双曲线的离心率 24c24cea故选 A【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ,常见有两种方法:求出 a,c,代入公式 ;cea只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2c 2a 2 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不等式) 两边
18、分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式),解方程( 不等式)即可得 e(e 的取值范围) 18【2017 年高考全国 III 理数 】已知双曲线 C: (a0,b0)的一条渐近线方程为 ,21xy52yx且与椭圆 有公共焦点,则 C 的方程为213xyA B2180xy2145xyC D254 23【答案】B【解析】双曲线 C: (a0,b0)的渐近线方程为 ,21xybyxa在椭圆中: , ,故双曲线 C 的焦点坐标为 ,221,3ab229,3cc(3,0)据此可得双曲线中的方程组: ,解得 ,225,aba24,5ab则双曲线 的方程为 故选 BC2145xy【名师点睛】
19、求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ,再20xy由条件求出 的值即可 .19 【2018 年高考全国 III 理数 】设 , 是双曲线 的左、右焦点, 是坐1F22:1(0,)xyCabO标原点过 作 的一条渐近线的垂线,垂足为 若 ,则 的离心率为2FCP1|6|FOPCA B5 2C D3【答案】C【解析】由题可知 , , ,2PFb2OcPa在 中, ,2RtO 2cosb在 中
20、, ,12tPF2112FFbPc,即 ,224(6)bcabc23a,故选 C3e20 【2018 年高考全国 I 理数 】设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,过点(2,0)且斜率为 的直线与 C 交23于 M,N 两点,则 =FNA5 B6C7 D8【答案】D【解析】根据题意,过点(2,0)且斜率为 的直线方程为 ,2323yx与抛物线方程联立得 ,消元整理得: ,解得 ,又234yx2680y1,24,MN,所以 ,1,0F0,MFN从而可以求得 ,故选 D.3248【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题,在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的
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