三年高考（2017-2019）理数真题分项版解析——专题11 平面向量（解析版）

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1、专题 11 平面向量1 【2019 年高考全国 I 卷理数 】已知非零向量 a，b 满足 ，且 b，则 a 与 b 的夹角为|2|b()aA B6 3C D 23 56【答案】B【解析】因为 b，所以 =0，所以 ，所以 =()a2()ab2abcos，所以 a 与 b 的夹角为 ，故选 B2|1ba 3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 0,2 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知 =(2,3)， =(3，t )， =1，则 =ABCBACA3 B2C2 D3【答案】C【解析】由 ， ，得

2、 ，则 ，(1,)BACt221()1Ct3t(1,0)BC故选 C(2,3)030A【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大3 【2019 年高考北京卷理数】设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是AB“ ”的|ABCA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 与 的夹角为锐角，所以 ，即AB 2222| |ACABACB，因为 ，所以| + | |；22|B当| + | |成立时，| + |2| - |2 0，又因为点 A，B，C 不共线，所ABCABCABC以 与 的夹角为锐角.故“ 与 的夹

3、角为锐角”是“| + | |”的充分必要条件,故选C【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4 【2018 年高考全国 I 卷理数 】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则ABC DEADEBA B314BC 134ACC D 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得 11122424BEABCABC，所以 .113244BAC3故选 A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5 【2018 年高

4、考全国 II 卷理数】已知向量 ， 满足 ， ，则ab|1ab(2)abA4 B3C2 D0【答案】B【解析】因为 所以选 B.22|13abaa,【名师点睛】已知非零向量 ， ：1(,)xy2(,)xyb几何表示 坐标表示模 |a|= 21xya夹角 cosb221cos6 （2018 年高考浙江卷）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为，向量 b 满足 b24eb+3=0，则|ab|的最小 3值是A 1 B +13 3C2 D2【答案】A【解析】设 ，则由 得 ，=(,),=(1,0),=(,),=3 =|3,=122+2,=3由 b24eb+3=0

5、得 因此|ab| 的最小值为圆心 到直线2+24+3=0,(2)2+2=1, (2,0)的距离 减去半径 1，为 选 A.=3 31.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.7 【2018 年高考天津卷理数】如图，在平面四边形 ABCD 中， ,120,ABCDBA若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为 1,ABDEA B 216 32C D5【答案】A【解析】连接 AD,取 AD 中点为 O,可知 为等腰三角形，而 ，所以AB ,ABCD为等边三角形，

6、.BCD 3BD设 01EttA 223EABDEBEBDE= 23tt所以当 时，上式取最大值 ，故选 A.14216【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.8 【2018 年高考北京卷理数】设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“ab”的3abA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ，因为 a，b 均222269+633aababbab为单位向量，所以 ab，即“ ”是269+6=03“ab”的充分必要条件.故选 C.【名师点睛】充分、必要条

7、件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则pqppq是 的充分条件pq2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于pqpqpqqp条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条ABBAAB件9【2017 年高考全国 III 卷理数 】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 ，则 的最大值为PDA3 B2C D25【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设 ，0,1,2,0

8、,1,ABCDPxy易得圆的半径 ，即圆 C 的方程是 ，5r245，若满足 ，,10,1,0APxyBAAPBD则 ， ，所以 ，2,2xy12xy设 ，即 ，点 在圆 上，1xzy10z,P245所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，(20),xydr14z13z所以 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 Az【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.10 【2017 年高考全国 II 卷理数】已

9、知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则ABC PABC的最小值是()PABCA B2 32C D43 1【答案】B【解析】如图，以 为 轴， 的垂直平分线 为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，BCxAy则 ， ， ，设 ，所以 ， ，(0,3)A(1,0)B(,)C(,)Pxy(,3)Axy(1,)PBxy，所以 ，PCxy 2 223(PBC，当 时，所求的最小值为 ，故选 B23)3(0,)32【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利

10、用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决11 【2017 年高考北京卷理数】设 m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的mn0A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么0mn,n180cos180mn；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数 ，n 90, 使得 ，所以是充分而不必要条件，故选 A.【名师点睛】 【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若 ，那么,pq

11、是 的充分不必要条件，同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ， 互为充要条件；pqqp若 ，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含,p关系，已知 :,xA,若 ，那么 是 的充分不必要条件，同时 是 的必要不充分条件；若 ，那:qBqqpAB么 ， 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根p据互为逆否命题的两个命题等价，将 是 条件的判断，转化为 是 条件的判断.p12 【2019 年高考全国 III 卷理数 】已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若 ，则25cab_.cos,a【答案】23【解析】因为 ， ，5

12、cab0所以 ，2a，所以 ，2 2|4| |9c |3c所以 os,a13c【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案13【2019 年高考天津卷理数】在四边形 中， ，ABCD,23,5,30BADA点 在线段 的延长线上，且 ，则 _ECBEE【答案】 1【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30， 则 ，23,5,ABD(23,0)B.53(,)2D因为 ， ，所以 ，ABC30AD30E因为 ，所以 ，EE所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，3(2)3yx直线 的斜率为 ，其方程为 .AE由 得 ， ，3(2),yx3x1y

13、所以 .(3,1)E所以 .5,(3,1)2BDAA【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.14【2019 年高考江苏卷】如图，在 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交ABC于点 .若 ，则 的值是_O6ABCE【答案】 .3【解析】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 的中点，知BF=FE=EA,AO=OD，3632AOECDAEBACE21112 33B ABC ，2 2233ACABC得 即 故221,B,3【名师点睛】本题考查在三角形中平

14、面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.15 【2019 年高考浙江卷】已知正方形 的边长为 1，当每个 取遍 时，ABCD(1,2345,6)i的最小值是_；最大值是_123456| |ABC【答案】0； .5【解析】以 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图., D则 ,(1,0)(,1)(,0)(,1)(,)(1)ABCDACBD令 221234561356456y 00.又因为 可取遍 ，(,5,6)i1所以当 时，有最小值 .1342,min0y因为 和 的取值不相关， 或 ，5245616所以当 和 分别取得最大值

15、时，y 有最大值，13所以当 时，有最大值 .256341,2max4025y故答案为 0； .【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.16 【2018 年高考全国 III 卷理数 】已知向量 ， ， 若 ，则=1,2a,b=1,c2ca+b_【答案】12【解析】由题可得 ， ， ， ，即 ，故答案为 .4,2abca+b=1,c4201212【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.17 【2018 年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点 、 ，

16、 、 是 轴上的两个动10A， 2B， EFy点，且 ，则 的最小值为_ |2EFABF【答案】-3【解析】根据题意，设 E（0，a） ，F（0，b） ； ；2aba=b+2，或 b=a+2；且 ；1,AEBF， ；2当 a=b+2 时， ；2bbb 2+2b2 的最小值为 ；843 的最小值为3，同理求出 b=a+2 时， 的最小值为3AEBF AEBF故答案为：3【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式18 【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点，xOyA:2lyx，以 为直径

17、的圆 与直线 交于另一点 若 ，则点 的横坐标为5,0BAClD0BCA_【答案】3【解析】设 ，则由圆心 为 中点得 易得,2(0)AaCAB5,2a，与 联立解得点 的横坐标 所以 .所以:5Cxya2yxD1,Dx,2，5,21,BaD由 得 或 ，0ABCD255120,30,aaa 1因为 ，所以a3.【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.19 【2017 年高考全国 I 卷理数 】已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|=

18、2，| b|=1，则| a +2b |=_ 【答案】 23【解析】方法一： ，22|4|41cos60412ab所以 .|1方法二：利用如下图形，可以判断出 的模长是以 2 为边长，一夹角为 60的菱形的对角线的长2ab度，则为 .23【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.20【2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ，OABC2与 的夹角为 ，且 =7， 与 的夹角

19、为 45若 ，OACtanBCmOAnB(,)R则 _mn【答案】3【解析】由 可得 ， ，根据向量的分解，tan772sin102cos10易得 ，即 ，即 ，即得 ，cos45s2ini0m7201mn5107nm57,4n所以 3【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法（3）向量的两个作用：载体作用

20、，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题21 【2017 年高考天津卷理】在 中， ， ， 若 ，ABC 60 3AB2CBDCAEC，且 ，则 的值为_()BR4DE【答案】31【解析】由题可得 ，1232cos603,3ABCADBC则 1()3DE 3()4941B【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解本题中 已知模和夹角，作为基底易于计算数量,ABC积22 【2017 年高考山东卷理数】已知 是互相垂直的单位向量，

21、若 123e与 12e的夹角为 ，12,e 60则实数 的值是_【答案】 3【解析】 ，2 21212121()()33eeee，12|3|3，22211|()eeee，解得 223cos603【名师点睛】 （1）平面向量 与 的数量积为 ，其中 是 与 的夹角，要注意夹ab|cosabab角的定义和它的取值范围： 018.（2）由向量的数量积的性质有 ， ， ，因此，利用平面|cs|ab0向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于 的方程求解.23 【2017 年高考浙江卷】已知向量 a，b 满足 则 的最小值是_，最大1,2bab值是_【答案】4， 25【解析】设向量 的夹角为 ，则 ，,ab212cos54cosab，21cos54cosab则 ，54令 ，则 ，coscsy221056cos1,0y据此可得： ，max min205, 164abab即 的最小值是 4，最大值是 【名师点睛】本题通过设向量 的夹角为 ，结合模长公式，可得,b54cosab，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处54cos理能力有一定的要求