三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题15 概率与统计(解答题) (解析版)
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1、专题 15 概率与统计(解答题)1 【2019 年高考全国卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将 200 只小鼠随机分成 A,B 两组,每组 100 只,其中 A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液,每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图:记 C 为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”,根据直方图得到 P(C )的估计值为 0.70(1)求乙离子残留百分比直方图中 a,b 的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点
2、值为代表) 【答案】 (1)a=0.35,b=0.10;(2)甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为 4.05,6.00【解析】 (1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15,故 a=0.35b=10.050.150.70=0.10(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.002 【2019 年高考全国卷理数】11 分制乒乓球比赛,每赢一球得 1 分,当某局打成 10:10 平后,每球交换发球权,先多
3、得 2 分的一方获胜,该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为 0.5,乙发球时甲得分的概率为 0.4,各球的结果相互独立在某局双方 10:10 平后,甲先发球,两人又打了 X 个球该局比赛结束(1)求 P(X =2) ;(2)求事件“X=4 且甲获胜”的概率【答案】 (1)0.5;(2)0.1【解析】 (1)X=2就是1010平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分因此P(X =2)=0.50.4+(10.5)(10.4)=0.5(2)X=4 且甲获胜,就是1010平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲
4、、乙各得1分,后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)+(10.5)0.40.50.4=0.13 【2019 年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30 之前到校的概率均为 假定甲、23乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立(1)用 表示甲同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数,求随机变量 的分布列和数学期望;X X(2)设 为事件“上学期间的三天中,甲同学在 7:30 之前到校的天数比 乙同学在 7:30 之前到校M的天数恰好多 2”,求事件 发生的概率【答案】 (1)分布列见解析, ;(2) ()EX043【分析】本小题主要考查离散型随机
5、变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分【解析】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天 7:30 之前到校的概率均为 ,23故 ,从而 2(3,)XB3321()C(),0,2kkPX所以,随机变量 的分布列为0 1 2 3P127294987随机变量 的数学期望 X()3EX(2)设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为 ,Y则 ,且 (3,)YB3,12,0MYX由题意知事件 与 互斥,3,1XY2,0Y且事件 与 ,事件 与 均相互独立,X从而由(1)知 (),)PM(3,1
6、20)XYY)(XP8247934 【2019 年高考北京卷理数】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变近年来,移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了 100 人,发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人,样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式( 0,1000 (1000 ,2000 大于 2000仅使用 A 18 人 9 人 3 人仅使用 B 10 人 14 人 1 人(1)从全校学生中随机抽取 1 人,估计该学生上个月 A,B 两种支付方式都使用的概率;(2
7、)从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人,以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于1000 元的人数,求 X 的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中,随机抽查 3 人,发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果,能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化?说明理由【答案】 (1)0.4;(2)分布列见解析,E(X)=1;(3)见解析【解析】 (1)由题意知,样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人,仅使用B 的学生有10+14+1=25 人,A,B两种支付方式都不使用
8、的学生有5人故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A ,B两种支付方式都使用的概率估计为 40.1(2)X的所有可能值为0,1,2记事件C为“从样本仅使用 A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为“ 从样本仅使用B的学生中随机抽取 1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”由题设知,事件C,D相互独立,且 9314()0.,()0.625PCPD所以 ,(2)().24PXD1()()C0.4.60.46,52()()()0.24PXDPC所以X的分布列为X 0 1 2P 0.24 0.52
9、0.24故X的数学期望 ()0.241.52.4E(3)记事件E为“ 从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于 2000元” 假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于 2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得 301()C46PE答案示例1:可以认为有变化理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化,所以可以认为有变化答案示例2:无法确定有没有变化理由如下:事件E是随机事件,P(E )比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化5 【2019 年高考全国卷理数】为
10、治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得 分;若1施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ,一轮试验中甲药的得分记为 X(1)求
11、 的分布列;X(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, 表示“甲药的累计得分为 时,最终认为(0,18)ip i甲药比乙药更有效”的概率,则 , , ,其中0p8 1iiiiabpc(,27), , 假设 , (1)aPX()bPX()c.50.(i)证明: 为等比数列;iip,2,7(ii)求 ,并根据 的值解释这种试验方案的合理性44【答案】 (1)分布列见解析;(2)(i)证明见解析,(ii) ,解释见解析45127p【解析】X 的所有可能取值为 1,0,()(P,0)(,(1)(所以 的分布列为X101P()(1)()(2) (i)由(1)得 0.4,.5,0.abc因此 ,故
12、,110.4 iiiipp11()0.4()iiiipp即 1()iiii又因为 ,01所以 为公比为 4,首项为 的等比数列1(,2,7)iip 1p(ii)由(i)可得 87610ppp87610()()()p143由于 ,故 ,8=p1834所以 4432101( ()327)( 5()ppp表示最终认为甲药更有效的概率,4p由计算结果可以看出,在甲药治愈率为 0.5,乙药治愈率为 0.8 时,认为甲药更有效的概率为 ,410.39257p此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理6 【2018 年高考全国卷理数】某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之
13、前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 ,且)10(p各件产品是否为不合格品相互独立(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 )(pf)(f0p(2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以(1)中确定的 作为 的值已知每件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ,求 ;XE(ii)以检
14、验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?【答案】 (1) ;(2) (i) , (ii)应该对余下的产品作检验0.490【解析】 (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2180()C()fpp因此 218172170 0()C()()fppp令 ,得 ,()0fp.1当 时, ;当 时, ,.()0fp(.1,)()0fp所以 的最大值点为 ()fp.(2)由(1)知, .1(i)令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数,Y依题意知 , ,即 (80,.)B:205XY4025XY所以 42549EXE(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产
15、品所需要的检验费为 400 元由于 ,故应该对余下的产 品作检验07 【2018 年高考全国卷理数】下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的y折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据yt2000 年至 2016 年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型: ;根据t127, , , 30.415yt2010 年至 2016 年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型: t, , , 97.t(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测
16、值更可靠?并说明理由【答案】 (1)模型: 亿元,模型: 亿元;(2)利用模型得到的预测值更可靠,理26.156.由见解析【解析】 (1)利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元) 30.415926.1y利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元) 97(2)利用模型得到的预测值更可靠理由如下:()从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上30.415yt下这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设
17、施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的917.5yt变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠()从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明利用模 型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分8 【2018 年高考全
18、国卷理数】某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人,将他们随机分成两组,每组 20人第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ,并将完成生产任务所需时间超过 和不超过mm的工人数填入下面的列联表:m超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?来源:学。
19、科。网附: ,2nadbcKd2Pk 0.5.10.384682【答案】 (1)第二种生产方式的效率更高,理由见解析;(2)列联表见解析;(3)有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【解析】 (1)第二种生产方式的效率更高理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5
20、分钟因此第二种生产方式的效率更高(iii )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟,因此第二种生产方式的效率更高(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多,关于茎 8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多,关于茎 7 大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更
21、高以上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分(2)由茎叶图知 798102m列联表如下:超过 m不超过 m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15(3)由于 ,所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差2240(15)106.3K异9 【2018 年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获
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