2018年中考数学真题分类汇编第一期专题37操作探究试题含解析
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1、1操作探究一、选择题1 (2018湖北荆门3 分)如图,等腰 RtABC 中,斜边 AB 的长为 2,O 为 AB 的中点,P 为 AC 边上的动点,OQOP 交 BC 于点 Q,M 为 PQ 的中点,当点 P 从点 A 运动到点 C 时,点 M 所经过的路线长为( )A B C1 D2【分析】连接 OC,作 PEAB 于 E,MHAB 于 H,QFAB 于 F,如图,利用等腰直角三角形的性质得AC=BC= ,A=B=45,OCAB,OC=OA=OB=1,OCB=45,再证明 RtAOPCOQ 得到AP=CQ,接着利用APE 和BFQ 都为等腰直角三角形得到 PE= AP= CQ,
2、QF= BQ,所以PE+QF= BC=1,然后证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到 MH= ,即可判定点 M 到 AB 的距离为 ,从而得到点 M 的运动路线为ABC 的中位线,最后利用三角形中位线性质得到点 M 所经过的路线长【解答】解:连接 OC,作 PEAB 于 E,MHAB 于 H,QFAB 于 F,如图,ACB 为到等腰直角三角形,AC=BC= AB= ,A=B=45,O 为 AB 的中点,OCAB,OC 平分ACB,OC=OA=OB=1,OCB=45,POQ=90,COA=90,AOP=COQ,在 RtAOP 和COQ 中,RtAOPCOQ,AP=CQ,易得APE 和BFQ
3、都为等腰直角三角形,PE= AP= CQ,QF= BQ,2PE+QF= (CQ+BQ)= BC= =1,M 点为 PQ 的中点,MH 为梯形 PEFQ 的中位线,MH= (PE+QF)= ,即点 M 到 AB 的距离为 ,而 CO=1,点 M 的运动路线为ABC 的中位线,当点 P 从点 A 运动到点 C 时,点 M 所经过的路线长= AB=1故选:C【点评】本题考查了轨迹:通过计算确定动点在运动过程中不变的量,从而得到运动的轨迹也考查了等腰直角三角形的性质2 (2018浙江临安3 分)如图,正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4,点 E、F 分别是 AB、BC 的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼
4、成如图的一座“小别墅” ,则图中阴影部分的面积是( )A2 B4 C8 D10【考点】阴影部分的面积【分析】本题考查空间想象能力【解答】解:阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成,由第一个图形可知:阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一,正方形的面积=44=16,3图中阴影部分的面积是 164=4故选:B【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系3(2018浙江舟山3 分)将一张正方形纸片按如图步骤,沿虚线对折两次,然后沿中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是( )A. &
5、nbsp; B. C. D. 【考点】剪纸问题 【解析】 【解答】解:沿虚线剪开以后,剩下的图形先向右上方展开,缺失的部分是一个等腰直角三角形,用直角边与正方形的边是分别平行的,再沿着对角线展开,得到图形 A。故答案为 A。【分析】根据对称的性质,用倒推法去展开这
6、个折纸。【点评】本题主要考查了等腰直角三角形、直角三角形的判定和考生的空间想象能力.二.填空题(要求同上一.)1 (2018湖南省常德3 分)如图,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 B 落在 AD 边上的点 G 处,点 C落在点 H 处,已知DGH=30,连接 BG,则AGB= 75 4【分析】由折叠的性质可知:GE=BE,EGH=ABC=90,从而可证明EBG=EGB ,然后再根据EGHEGB=EBCEBG,即:GBC=BGH,由平行线的性质可知AGB=GBC,从而易证AGB=BGH,据此可得答案【解答】解:由折叠的性质可知:GE=BE,EGH=ABC=90,EBG=EGBEGHEGB
7、=EBCEBG,即:GBC=BGH又ADBC,AGB=GBCAGB=BGHDGH=30,AGH=150,AGB= AGH=75,故答案为:75【点评】本题主要考查翻折变换,解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质:折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等2. (2018浙江舟山4 分)如图,量角器的 0 度刻度线为 AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点 C,直尺另一边交量角器于点 A,D,量得 AD=10cm,点 D 在量角器上的读数为 60,则该直尺的宽度为_ cm。【考点】垂径定理,切线的性质 【分析】因为直尺另一边 EF 与
8、圆 O 相切于点 C,连接 OC,可知求直尺的宽度就是求 CG=OC-OG,而OC=OA;OG 和 OA 都在 RtAOG 中,即根据解直角三角形的思路去做:由垂定理可知5AG=DG= AD=5cm,AOG= AOD=60,从而可求答案.【解答】解:如图,连结 OD,OC,OC 与 AD 交于点 G,设直尺另一边为 EF,因为点 D 在量角器上的读数为 60,所以AOD=120,因为直尺一边 EF 与量角器相切于点 C,所以 OCEF,因为 EF/AD,所以 OCAD,由垂径定理得 AG=DG= AD=5 cm,AOG= AOD=60,在 RtAOG 中,AG=5 cm,AOG=60,则 OG
9、= cm,OC=OA= cm则 CG=OC-OG= cm.【点评】本题的关键是利用垂径定理和切线的性质.三.解答题(要求同上一)1. (2018四川凉州8 分)如图,在平面直角坐标系中,点 O1的坐标为(4,0) ,以点 O1为圆心,8 为半径的圆与 x 轴交于 A,B 两点,过 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60的角,且交 y 轴于 C 点,以点 O2(13,5)为圆心的圆与 x 轴相切于点 D(1)求直线 l 的解析式;(2)将O 2以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左平移,当O 2第一次与O 1外切时,求O 2平移的时间6【分析】 (1)求直线的解析式,可以先求出 A、C 两
10、点的坐标,就可以根据待定系数法求出函数的解析式(2)设O 2平移 t 秒后到O 3处与O 1第一次外切于点 P,O 3与 x 轴相切于 D1点,连接O1O3,O 3D1在直角O 1O3D1中,根据勾股定理,就可以求出 O1D1,进而求出 D1D 的长,得到平移的时间【解答】解:(1)由题意得 OA=|4|+|8|=12,A 点坐标为(12,0) 在 RtAOC 中,OAC=60,OC=OAtanOAC=12tan60=12 C 点的坐标为(0,12 ) 设直线 l 的解析式为 y=kx+b,由 l 过 A、C 两点,得 ,解得直线 l 的解析式为:y= x12 (2)如图,设O 2平移 t 秒
11、后到O 3处与O 1第一次外切于点 P,O 3与 x 轴相切于 D1点,连接O1O3,O 3D1则 O1O3=O1P+PO3=8+5=13O 3D1x 轴,O 3D1=5,在 RtO 1O3D1中, O 1D=O1O+OD=4+13=17,D 1D=O1DO 1D1=1712=5, (秒) O 2平移的时间为 5 秒7【点评】本题综合了待定系数法求函数解析式,以及圆的位置关系,其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的2. (2018四川凉州10 分)如图,已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(1,0) ,B(0,2)两点,顶点为 D(1)求抛物线的解析式;(2)将OAB 绕点 A 顺时针旋
12、转 90后,点 B 落到点 C 的位置,将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C,求平移后所得图象的函数关系式;(3)设(2)中平移后,所得抛物线与 y 轴的交点为 B1,顶点为 D1,若点 N 在平移后的抛物线上,且满足NBB 1的面积是NDD 1面积的 2 倍,求点 N 的坐标【分析】 (1)利用待定系数法,将点 A,B 的坐标代入解析式即可求得;(2)根据旋转的知识可得:A(1,0) ,B(0,2) ,OA=1,OB=2,可得旋转后 C 点的坐标为(3,1) ,当 x=3 时,由 y=x23x+2 得 y=2,可知抛物线 y=x23x+2 过点(3,2)将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位
13、后过点 C平移后的抛物线解析式为:y=x23x+1;(3)首先求得 B1,D 1的坐标,根据图形分别求得即可,要注意利用方程思想【解答】解:(1)已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(1,0) ,B(0,2) , ,解得 ,所求抛物线的解析式为 y=x23x+2;8(2)A(1,0) ,B(0,2) ,OA=1,OB=2,可得旋转后 C 点的坐标为(3,1) ,当 x=3 时,由 y=x23x+2 得 y=2,可知抛物线 y=x23x+2 过点(3,2) ,将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C平移后的抛物线解析式为:y=x 23x+1;(3)点 N 在 y=x23x+1 上,
14、可设 N 点坐标为(x 0,x 023x 0+1) ,将 y=x23x+1 配方得 y=(x ) 2 ,其对称轴为直线 x= 0x 0 时,如图, ,x 0=1,此时 x023x 0+1=1,N 点的坐标为(1,1) 当 时,如图,同理可得 ,x 0=3,此时 x023x 0+1=1,点 N 的坐标为(3,1) 当 x0 时,由图可知,N 点不存在,舍去综上,点 N 的坐标为(1,1)或(3,1) 9【点评】此题属于中考中的压轴题,难度较大,知识点考查的较多而且联系密切,需要学生认真审题此题考查了二次函数与一次函数的综合知识,解题的关键是要注意数形结合思想的应用3. (2018山西12 分)(
15、 本 题 12 分) 综合与实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图 1,在矩形 ABCD 中 ,AD=2AB,E 是 AB 延长线上一点, 且 BE=AB, 连接 DE, 交 BC 于 点 M, 以 DE 为一边在 DE 的左下方作正方形 DEFG, 连 接 AM试判断线段 A M 与 DE 的位置关系探究展示:勤奋小组发现,A M 垂 直 平 分 DE, 并 展 示 了 如 下 的证明 方 法 :证 明 : B E A , AE 2 ABAD 2 AB, AD AE四 边 形 ABCD 是矩形, AD / / BC. M(依据)BE AB ,1
16、EM DM .即 AM 是 ADE 的 DE 边 上 的 中 线 ,又 AD AE, AM DE. ( 依 据 2)10AM 垂 直 平 分 DE反思交流:(1) 上 述 证 明 过 程 中 的 “依 据 1”“依 据 2”分 别 是指 什 么 ? 试判 断图中 的点 A 是 否 在 线 段 GF 的垂直平分上,请直接回答,不必证明;(2)创 新 小 组 受 到 勤 奋 小 组 的 启 发 , 继 续 进 行 探 究 , 如 图 2, 连 接 CE, 以 CE 为 一 边 在 CE 的左 下方 作 正 方 形 CEFG,发现点 G 在 线 段 BC 的垂直平分线上,请你给出证明;探
17、索发现:(3)如 图 3, 连 接 CE, 以 CE 为 一 边 在 CE 的 右 上 方 作 正 方 形 CEFG, 可 以 发 现点 C, 点 B 都 在 线 段 AE 的 垂 直 平 分 线 上 , 除 此 之 外 , 请 观 察 矩 形 ABCD 和 正 方形 CEFG 的 顶 点 与 边 , 你 还 能 发 现 哪 个 顶 点 在 哪 条 边 的 垂 直 平 分 线 上 , 请 写出一个 你 发 现 的 结 论 ,并加 以 证 明.【 考 点 】平行线分线段成比例,三线合一,正方形、矩形性质,全等【 解 析 】 (1) 答 : 依 据 1: 两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所
18、 截 , 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 ( 或 平 行 线 分线段 成 比 例 ).依 据 2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形 的 “三 线 合 一” ).11 答 : 点 A 在线段 GF 的 垂直 平 分 线 上 . (2) 证 明 : 过点 G 作 GH BC 于 点 H,四边 形 ABCD 是矩形,点 E 在 AB 的延长线上,CBE ABC GHC 90. 1+2=90.四 边 形 CEFG 为正方形,CG CE, GCE 90.1 3 90. 2=3. GHC CBE. HC BE.四 边 形 ABCD 是矩形, AD
19、BC.AD 2 AB, BE AB, BC 2BE 2HC. HC BH.GH 垂 直 平 分 BC.点 G 在 BC 的垂直平分线上(3 ) 答 : 点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上(或 点 F 在 AD 边的垂直平分线上).证法一:过 点 F 作 FM BC 于 点 M, 过 点 E 作 EN FM 于 点 N.BMN ENM ENF 90.四 边 形 ABCD 是矩形,点 E 在 AB 的 延 长 线上 , CBE ABC 90.四 边 形 BENM 为 矩 形. BM EN , BEN 90. 1 2 90.四 边 形 CEFG 为正方形, EF EC,
20、CEF 90. 2 3 90.1=3. CBE ENF 90, ENF EBC. NE BE. BM BE.四 边 形 ABCD 是矩形, AD BC.AD 2 AB, AB BE. BC 2BM . BM MC.12FM 垂 直 平 分 BC, 点 F 在 BC 边的垂直平分线上.证 法 二:过 F 作 FN BE 交 BE 的延长线于点 N, 连 接 FB,F C.四 边 形 ABCD 是 矩 形 , 点 E 在 AB 的 延 长 线 上 , CBE= ABC= N=90. 1+ 3=90.四 边 形 CEFG 为 正 方 形 , EC=EF, CEF=90. 1+
21、 2=90. 2= 3. ENF CBE.NF=BE,NE=BC.四 边 形 ABCD 是 矩 形 , AD=BC.AD=2AB,B E=AB. 设 BE=a, 则 BC=EN=2a,NF=a.13BF=CF. 点 F 在 BC 边的垂直平分线上.4 (2018山东菏泽10 分)问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动如图 1,将:矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 剪开,得到ABC 和ACD并且量得 AB=2cm,AC=4cm操作发现:(1)将图 1 中的ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转,使=BAC,得到如图 2 所示的ACD,
22、过点 C 作 AC的平行线,与 DC'的延长线交于点 E,则四边形ACEC的形状是 菱形 (2)创新小组将图 1 中的ACD 以点 A 为旋转中心,按逆时针方向旋转,使 B、A、D 三点在同一条直线上,得到如图 3 所示的ACD,连接 CC',取 CC的中点 F,连接 AF 并延长至点 G,使 FG=AF,连接 CG、CG,得到四边形 ACGC,发现它是正方形,请你证明这个结论实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将ABC 沿着 BD 方向平移,使点 B 与点 A 重合,此时 A 点平移至 A'点,A'C 与 BC相交于点 H,如图
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