专题08正弦定理与余弦定理_名师揭秘2020年高考数学理一轮总复习之三角函数三角形平面向量Word版含解析
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1、专题 08 正弦定理与余弦定理一、本专题要特别小心:1.解三角形时的分类讨论(锐角钝角之分)2. 边角互化的选取3. 正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题二 【学习目标】掌握正、余弦定理,能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形,培养运算求解能力三 【方法总结】1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角( 从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到:在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即 ABabs
2、in Asin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时,利用正弦定理求解时,要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理,可以解决以下三类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其余角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时,一定要依据角的范围及函数值的正负确定.四 【题型方法】(一)正弦定理辨析三角形例 1已知数列 的前 项和(1)若三角形的三边长分别为 ,求此三角形的面积;(2)探究数列 中是否存在相邻的三项,同时
3、满足以下两个条件:此三项可作为三角形三边的长;此三项构成的三角形最大角是最小角的 2 倍若存在,找出这样的三项;若不存在,说明理由.【答案】 (1) (2)见解析【解析】解: 数列 的前 n 项和 当 时, ,当 时, ,又 时, ,所以 ,不妨设 三边长为 , , ,所以所以假设数列 存在相邻的三项满足条件,因为 ,设三角形三边长分别是 n, , , ,三个角分别是 , ,由正弦定理: ,所以由余弦定理: ,即 化简得: ,所以: 或 舍去 当 时,三角形的三边长分别是 4,5,6,可以验证此三角形的最大角是最小角的 2 倍所以数列 中存在相邻的三项 4,5,6,满足条件.练习 1以下关于正
4、弦定理或其变形的叙述错误的是 A在 中,B在 中,若 ,则 C在 中,若 ,则 ;D在 中,【答案】B【解析】在 中, ;在 中,若 ,则 或 ,即 或 ;在 中,若 ,则 ;在 中, ,选 B.练习 2在 中,内角 所对的边分别是 ,若 ,则 的值为( )A B C1 D【答案】D【解析】根据正弦定理可得故选 D.(二)正弦定理解三角形例 2 在 中, , , 内角所对的边分别为 , , ,已知 且ABCabc2,则 的最小值为_cos4sinbaCc【答案】12【解析】 ,cos4sinBbaB ,sini iCCAC , ,()siss0 , ,1sin4B1in4iB由正弦定理可得 ,
5、即 ,siibcC2sin28iC当 时, .当 时,则 的最小值为 sin1Bmins14sic1故答案为: .2练习 1 的内角 , , 所对的边分别为 , , ,若 , , ,则 ( )ABCBCabc3a2b4BAA B C 或 D 或633265【答案】C【解析】因为 , , ,3a2b4B由正弦定理 ,可得 ,siniA23siniaAb所以 或 ;且都满足 .32B故选 C练习 2在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,若 , ,ABCabc2ab,则角 的大小为( )sincoA B C D603015045【答案】B【解析】由 ,两边平方可得: sinco22sinco
6、2B,即:21sin1B0,B45又 , ,由正弦定理得: 解得:2ab2sini45A1sin2AAB30本题正确选项:练习 3.在ABC 中,已知 ab, 。则内角 C=_,式子 的2sin()abAB sinsincocoABC取值范围是_。【答案】 21,2【解析】由 ,得 ,化简得2sin()abAB2sincosincosabABaBbA,由正弦定理得 ,即 ,由于 ,故cosAsicisi2iA.所以 ,且 ,故2,2ABC2BA4sinsincocoABC,由于 ,且 ,故sinco1sincosA1sin3,442A,所以 .2sin1,24A12,2sin4(三)利用正弦定
7、理判断三角形解的个数例 3. 在 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )VBCA B10,45,70b45,8,60bcBC D6aA7aA【答案】BC【解析】选项 :因为 ,所以 ,三角形的三个角是确定的值,故只有一解;450C=、 65B=选项 :由正弦定理可知 ,即 ,所有角 有两解;BsinibcBsin1C选项 :由正弦定理可知 ,即 ,所以角 有两解;CsiiaA选项 :由正弦定理可知 ,即 ,所以角 仅有一解,DsinibB=siB综上所述,故选 BC。练习 1在 中, ,则此三角形有( )AsiaA无解 B两解 C两解 D不确定【答案】B【解析】由题意,知 ,所以 ,
8、,所以 ,sinbasin1AB09A由正弦定理 ,得 ,即 ,iiaABiibasi当 时, 为锐角;当 时, 为钝角,909018B则此三角形有两解故选:B练习 2在 中,已知 ,如果 有两组解,则 的取值范围是( )VABC,260axbBVABCxA B C D43, 43, 43, 432,【答案】A【解析】由已知可得 ,则 ,解得 .故选 A.sinabsin602xx43x练习 3在 中,角 所对的边分别为 ,已知 ,为使此三角形有两个,则 满足的条件是( )A B C D 或【答案】C【解析】C 到 AB 的距离 d=bsinA=3,当 3a2 时,符合条件的三角形有两个,故选
9、 C(四)三角形的外接圆问题例 4.在 中,内角 的对边分别为 ,已知 的面积为 ,则AB,ABC,abcABC1sinsi2SABC外接圆半径的大小是( )CA B C1 D21412【答案】B【解析】ABC 中,面积为 S= sinAsinBsinC,即 absinC= sinAsinBsinC,ab=sinAsinB; = ;由正弦定理得 = , = ;设 =t,则 t0,t= ,解得 t=1;设ABC 外接圆半径为 R,则 2R=1,解得 R= 故选:B练习 1在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 的外接圆面积为 A B C D【答案】D【解析】因为 ,由正弦定理可得:化简 ,在三角
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