专题2.2函数的单调性与最值_2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(含解析)
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1、第二篇 函数及其性质专题 2.02 函数的单调性与最值【考试要求】1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值。2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义【知识梳理】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x 2定义当 x1f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 yf(x)在这一区间具有( 严格的
2、)单调性,区间 D 叫做函数 yf (x)的单调区间.2.函数的最值前提 设函数 yf(x )的定义域为 I,如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI,都有 f(x)M;(2)存在 x0I,使得 f(x0)M(3)对于任意 xI,都有 f(x)M;(4)存在 x0I,使得 f(x0)M结论 M 为最大值 M 为最小值【微点提醒】1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数 yf(x)( f(x)0)在公共定义域内与 yf (x),y 的单调性相反.1f(x)3.“对勾函数”
3、y x (a0)的增区间为( , ),( ,);单调减区间是 ,0) ,(0, .ax a a a a【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)对于函数 f(x),xD,若对任意 x1,x 2D ,且 x1x2 有(x 1x 2)f(x1)f(x 2)0,则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.( )(2)函数 y 的单调递减区间是(,0) (0,).( )1x(3)对于函数 yf(x ),若 f(1)f(1) B.f(m)0,所以 m1,所以 f(m)f(1).6.(2017全国卷)函数 f(x)ln(x 22x8) 的单调递增区间是( )A.( ,2) B.(,1)C
4、.(1,) D.(4,)【答案】 D【解析】 由 x22x 80 ,得 x4 或 x0),12易知 tx2ax 3a 在 上单调递减,( ,a2)在 上单调递增 .(a2, )ylog (x2ax3a)在区间 (2,)上是减函数,12tx 2ax3a 在(2,)上是增函数,且在(2,) 上 t0,2 ,且 42a3a0,a4,4.a2(2)判断并证明函数 f(x)ax 2 (其中 10, 20,1x1x2从而 f(x2)f(x 1)0,即 f(x2)f(x1),故当 a(1,3)时,f( x)在1 ,2 上单调递增.【规律方法】1.(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如
5、例 1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达,且图象不连续的单调区间要用“和”“ ,”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有:定义法;图象法; 利用已知函数的单调性;导数法.(2)函数 yfg(x) 的单调性应根据外层函数 yf(t )和内层函数 tg( x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【训练 1】 (一题多解)试讨论函数 f(x) (a0)在(1,1)上的单调性.axx 1【答案】见解析【解析】法一 设10, x110 时,f (x1)f (x2)0,即 f(x1)f(x2),函数 f(x)在(1,1)上单调递减;当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)在(1,1)上单调递增
6、.考点二 求函数的最值 【例 2】 (1)已知函数 f(x)a xlog ax(a0,且 a1)在1 ,2上的最大值与最小值之和为 loga26,则 a 的值为( )A. B. C.2 D.412 14(2)已知函数 f(x) 则 ff(3) _,f(x) 的最小值是_.x 2x 3,x1,lg(x2 1),x0,所以 a2.(2)f( 3)lg( 3) 21lg 101,ff(3)f(1)0,当 x1 时,f(x)x 32 3,当且仅当 x 时,取等号,此时 f(x)min2 3x11 时,f(x 2)f (x1)(x2x 1)ab B.cbaC.acb D.bac【答案】 D【解析】 由于
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