专题3.1导数的概念及运算_2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(含解析)
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1、第三篇 导数及其应用专题 3.01 导数的概念及运算【考试要求】1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;2.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导数定义求函数 yc,y x,yx 2,y x 3,y ,y 的导数;1x x5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如 f(axb) 的导数;6.会使用导数公式表.【知识梳理】1.函数 yf(x) 在 xx 0 处的导数(1)定义:称函数 yf(x )在 xx
2、0 处的瞬时变化率 为函数 yf( x)0limxx 0f(x0 x) f(x0)x 0lim x 0yx在 xx 0 处的导数,记作 f(x0)或 y|xx 0,即 f(x0) .liyx 0lif(x0 x) f(x0)x(2)几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x) 上点(x 0,f(x 0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为 yy 0f(x 0)(xx 0).2.函数 yf(x) 的导函数如果函数 yf(x )在开区间( a,b) 内的每一点处都有导数,其导数值在( a,b)内构成一个新函数,函数 f(x)lim 称为函数 yf(x)在开区
3、间内的导函数. f(x x) f(x)x3.导数公式表基本初等函数 导函数f(x)c (c 为常数) f(x)0f(x)x (Q *) f(x)x 1f(x)sin x f(x)cos xf(x)cos x f(x)sin xf(x)e x f(x)e xf(x)a x(a0) f(x)a xln af(x)ln xf(x)1xf(x)log ax (a0,a1)f(x)1xln a4.导数的运算法则若 f(x),g(x)存在,则有:(1)f(x)g(x) f(x)g(x);(2)f(x)g(x)f(x )g(x)f(x)g (x);(3) (g(x)0).f(x)g(x) f(x)g(x)
4、f(x)g(x)g(x)25.复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf (u),ug( x)的导数间的关系为 yxy uux.【微点提醒】1.f(x0)代表函数 f(x)在 xx 0 处的导数值;( f(x0)是函数值 f(x0)的导数,且(f(x 0)0.2. .1f(x) f(x)f(x)23.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数 yf(x) 的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【疑误辨析】1.判断
5、下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)f(x0)是函数 yf(x )在 xx 0 附近的平均变化率.( )(2)函数 f(x)sin( x)的导数 f(x)cos x.( )(3)求 f(x0)时,可先求 f(x0),再求 f(x0).( )(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)f(x0)表示 y f(x)在 xx 0处的瞬时变化率, (1)错.(2)f(x)sin(x)sin x,则 f(x)cos x,(2)错.(3)求 f(x0)时,应先求 f(x),再代入求值, (3)错.【教材衍化】2.(选修 22P19B2
6、改编)曲线 yx 311 在点 P(1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( )A.9 B.3 C.9 D.15【答案】 C【解析】 因为 yx 311,所以 y3x 2,所以 y|x1 3,所以曲线 yx 311 在点 P(1,12) 处的切线方程为 y123( x1).令 x0,得 y9.3.(选修 22P3 例题改编)在高台跳水运动中,t s 时运动员相对于水面的高度( 单位:m)是 h(t)4.9t 26.5t10,则运动员的速度 v_ m/s,加速度 a_ m/s 2.【答案】 9.8t6.5 9.8【解析】 vh(t)9.8t6.5,av( t)9.8.【真题体验】4.(20
7、19青岛质检)已知函数 f(x)x (2 018ln x),若 f(x0)2 019,则 x0 等于( )A.e2 B.1 C.ln 2 D.e【答案】 B【解析】 f(x )2 018ln xx 2 019ln x.1x由 f(x0)2 019 ,得 2 019ln x 02 019,则 ln x00,解得 x01.5.(2018天津卷)已知函数 f(x)e xln x,f(x )为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为_.【答案】 e【解析】 由题意得 f(x)e xln xe x ,则 f(1)e.1x6.(2017全国卷)曲线 yx 2 在点(1 ,2)处的切线方程为 _.1x【答案】
8、 yx 1【解析】 设 yf( x),则 f(x)2x ,1x2所以 f(1)211,所以在(1,2) 处的切线方程为 y21(x1),即 yx1.【考点聚焦】考点一 导数的运算角度 1 根据求导法则求函数的导数【例 11】 分别求下列函数的导数:(1)ye xln x;(2)yx ;(x2 1x 1x3)(3)f(x)ln .1 2x【答案】见解析【解析】(1)y(e x)ln xe x(ln x)e xln x e x .exx (ln x 1x)(2)因为 yx 31 ,所以 y3x 2 .1x2 2x3(3)因为 yln ln ,1 2x12 (1 2x)所以 y (12x) .12
9、11 2x 11 2x角度 2 抽象函数的导数计算【例 12】 (2019天津河西区调研 )已知函数 f(x)的导函数是 f(x),且满足 f(x)2xf(1)ln ,则 f(1)( 1x)A.e B.2 C.2 D.e【答案】 B【解析】 由已知得 f(x)2f (1) ,令 x1 得 f(1)2f(1)1,解得 f(1)1,则 f(1)2f(1) 2.1x【规律方法】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.【训练 1】 (1)若 yx
10、cos sin ,则 y_.x2 x2(2)已知 f(x)x 22xf(1),则 f(0)_.【答案】 (1)1 cos x (2)412【解析】 (1)因为 yx sin x,12所以 y x 1 cos x.(x 12sin x) (12sin x) 12(2)f(x)2x 2f(1),f(1)22f(1),即 f(1)2.f(x )2x4,f(0)4.考点二 导数的几何意义 角度 1 求切线方程【例 21】 (2018全国卷) 设函数 f(x)x 3(a1)x 2 ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 yf(x) 在点(0,0)处的切线方程为( )A.y2x B.yxC.y2x D.yx【
11、答案】 D【解析】 因为函数 f(x)x 3(a1) x2ax 为奇函数,所以 a10,则 a1,所以 f(x)x 3x,所以f(x)3x 21,所以 f(0)1,所以曲线 yf(x)在点(0 ,0)处的切线方程为 yx.角度 2 求切点坐标【例 22】 (1)(2019聊城月考) 已知曲线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( )x24 12A.3 B.2 C.1 D.12(2)设曲线 ye x在点(0,1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为_.1x【答案】 (1)A (2)(1 ,1)【解析】 (1)设切点的横坐标为 x0(x00),曲
12、线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 ,x24 12y ,即 ,x2 3x x02 3x0 12解得 x03 或 x02(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为 3.(2)函数 ye x的导函数为 ye x,曲线 ye x在点(0,1) 处的切线的斜率 k1e 01.设 P(x0,y 0)(x00),函数 y 的导函数为 y , 曲线 y (x0)在点 P 处的切线的斜率1x 1x2 1xk2 ,由题意知 k1k21,即 1 1,解得 x 1,又 x00,x 01.20又点 P 在曲线 y (x0)上,y 01,故点 P 的坐标为 (1,1).1x角度 3 求参数的值或取值范围【例 23】 (
13、1)函数 f(x)ln xax 的图象存在与直线 2xy0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( )A.( ,2 B.(,2) C.(2,) D.(0,)(2)(2019河南六市联考)已知曲线 f(x)x b(x0)在点 (1,f (1)处的切线方程为 y2x5,则axab_.【答案】 (1)B (2) 8【解析】 (1)由题意知 f(x)2 在(0,) 上有解.f(x ) a 2 在(0,)上有解,则 a2 .1x 1x因为 x0,所以 2 2,所以 a 的取值范围是(,2).1x(2)f(x)1 ,f(1)1 a,ax2又 f(1)1ab,曲线在(1,f(1) 处的切线方程为 y(1ab
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