专题5.2等差数列及其前n项和_2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(含解析)
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1、第五篇 数列及其应用专题 5.02 等差数列及其前 n 项和【考试要求】 1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题;4.体会等差数列与一次函数的关系.【知识梳理】1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列 .数学语言表达式:a n1 a nd(nN *,d 为常数).(2)若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a,b 的等差中项,且 A .a b22.等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列a
2、n的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 ana 1(n1) d.(2)前 n 项和公式:S nna 1 .n(n 1)d2 n(a1 an)23.等差数列的性质(1)通项公式的推广:a na m(nm )d(n,m N *).(2)若a n为等差数列,且 kl mn(k,l,m ,nN *),则 aka la ma n.(3)若a n是等差数列,公差为 d,则 ak,a km ,a k2m ,(k,m N *)是公差为 md 的等差数列.(4)若 Sn为等差数列a n的前 n 项和,则数列 Sm,S 2mS m,S 3mS 2m,也是等差数列.(5)若 Sn为等差数列a n的前 n 项和
3、,则数列 也为等差数列.Snn【微点提醒】1.已知数列a n的通项公式是 anpnq(其中 p,q 为常数),则数列a n一定是等差数列,且公差为 p.2.在等差数列a n中,a 10,d0,则 Sn存在最大值;若 a10,d0,则 Sn存在最小值.3.等差数列a n的单调性:当 d0 时,a n是递增数列;当 d0 时,a n是递减数列;当 d0 时,a n是常数列.4.数列a n是等差数列 SnAn 2Bn(A ,B 为常数).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)数列a n为等差数列的充要条件是对任意 nN *,都有 2an1 a na n2 .( )(2)等差
4、数列a n的单调性是由公差 d 决定的.( )(3)数列a n为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.( )(4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (3)若公差 d0,则通项公式不是 n 的一次函数.(4)若公差 d0,则前 n 项和不是二次函数.【教材衍化】2.(必修 5P46A2 改编)设数列a n是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a62 且 S530,则 S8 等于( )A.31 B.32 C.33 D.34【答案】 B【解析】 由已知可得 a1 5d 2,5a1 10d 30,)解得 S 88
5、a 1 d32.a1 263,d 43,) 8723.(必修 5P68A8 改编)在等差数列a n中,若 a3a 4a 5a 6a 7450,则 a2a 8_.【答案】 180【解析】 由等差数列的性质,得 a3a 4a 5a 6a 75a 5450,a 590,a 2a 82a 5180.【真题体验】4.(2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和.若 3S3S 2S 4,a 12,则 a5( )A.12 B.10 C.10 D.12【答案】 B【解析】 设等差数列a n的公差为 d,则 3(3a13d) 2a 1d4a 16d,即 d a1.又32a12,d3,a 5a 14d
6、24(3) 10.5.(2019上海黄浦区模拟)已知等差数列 an中,a 21,前 5 项和 S515,则数列 an的公差为( )A.3 B. C.2 D.452【答案】 D【解析】 设等差数列a n的首项为 a1,公差为 d,因为 所以a2 1,S5 15,) a1 d 1,5a1 542 d 15,)解得 d4.6.(2019苏北四市联考)在等差数列 an中,已知 a3a 80,且 S90,S 90,S 9 9a 50,S 1,S 2,S 9 中最小的是 S5.【考点聚焦】考点一 等差数列基本量的运算【例 1】 (1)(一题多解)(2017 全国卷) 记 Sn为等差数列a n的前 n 项和
7、.若 a4a 524,S 648,则a n的公差为( )A.1 B.2 C.4 D.8(2)(2019潍坊检测)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,S 1122,a 412,若 am30,则 m( )A.9 B.10 C.11 D.15【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)法一 设等差数列 an的公差为 d,依题意得 所以 d4.(a1 3d) (a1 4d) 24,6a1 652 d 48, )法二 等差数列a n中,S 6 48,则 a1 a616a 2a 5,(a1 a6)62又 a4a 524,所以 a4a 22d24168,则 d4.(2)设等差数列a n的公差为 d,依题
8、意得解得S11 11a1 11(11 1)2 d 22,a4 a1 3d 12, ) a1 33,d 7, )ama 1(m1)d7m4030,m10.【规律方法】 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1,a n,d,n,S n,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.【训练 1】 (1)等差数列 log3(2x),log 3(3x),log 3(4x2),的第四项等于( )A.3 B.4 C.log318 D.log324
9、(2)(一题多解 )设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,S 36,S 412,则 S6_.【答案】 (1)A (2)30【解析】 (1)log 3(2x),log 3(3x),log 3(4x2)成等差数列,log 3(2x)log 3(4x2)2log 3(3x),log 32x(4x2)log 3(3x)2,则 2x(4x2)9x 2,解之得 x4,x 0(舍去).等差数列的前三项为 log38,log 312,log 318,公差 dlog 312log 38log 3 ,32数列的第四项为 log318log 3 log 3273.32(2)法一 设数列a n的首项为 a1,公差为
10、 d,由 S36,S 412,可得 解得S3 3a1 3d 6,S4 4a1 6d 12,) a1 0,d 2,)所以 S66a 115d30.法二 由a n为等差数列,故可设前 n 项和 SnAn 2Bn,由 S36,S 412 可得 S3 9A 3B 6,S4 16A 4B 12,)解得 即 Snn 2n,则 S636630.A 1,B 1,)考点二 等差数列的判定与证明 【例 2】 (经典母题)若数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 an2S nSn1 0(n2) ,a 1 .12(1)求证: 成等差数列;1Sn(2)求数列a n的通项公式.【答案】见解析【解析】(1)证明 当 n2
11、 时,由 an2S nSn1 0,得 SnS n1 2S nSn1 ,所以 2,1Sn 1Sn 1又 2,1S1 1a1故 是首项为 2,公差为 2 的等差数列.1Sn(2)解 由(1)可得 2n,S n .1Sn 12n当 n2 时,anS nS n1 .12n 12(n 1) n 1 n2n(n 1) 12n(n 1)当 n1 时,a 1 不适合上式.12故 an12,n 1, 12n(n 1),n 2.)【迁移探究 1】 本例条件不变,判断数列a n是否为等差数列,并说明理由 .【答案】见解析【解析】因为 anS nS n1 (n2) ,a n2S nSn1 0,所以 SnS n1 2S
12、 nSn1 0(n 2).所以 2(n2).1Sn 1Sn 1又 2,1S1 1a1所以 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列 .1Sn所以 2(n1)22n,故 Sn .1Sn 12n所以当 n2 时,a nS nS n1 ,12n 12(n 1) 12n(n 1)所以 an1 ,又 an1 a n . 12n(n 1) 12n(n 1) 12n(n 1) 12n( 1n 1 1n 1) 1n(n 1)(n 1)所以当 n2 时,a n1 a n的值不是一个与 n 无关的常数,故数列a n不是一个等差数列.【迁移探究 2】 本例中,若将条件变为 a1 ,na n1 (n1) ann(n1)
13、,试求数列a n的通项公式.35【答案】见解析【解析】由已知可得 1,即 1,又 a1 ,an 1n 1 ann an 1n 1 ann 35 是以 为首项,1 为公差的等差数列,ann a11 35 (n1)1 n , ann 2 n.ann 35 25 25【规律方法】1.证明数列是等差数列的主要方法:(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证 ana n1 为同一常数 .(2)等差中项法:验证 2an1 a na n2 (n3,nN *)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到结论:(1)通项公式:a npnq(p,q 为常数) an是等差数列.(2)前 n 项和公式:Sn An 2
14、Bn(A,B 为常数)a n是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【 训 练 2】 (2017全 国 卷 )记 Sn为 等 比 数 列 an的 前 n 项 和 .已 知 S2 2, S3 6.(1)求a n的通项公式;(2)求 Sn,并判断 Sn1 ,S n,S n2 是否成等差数列.【答案】见解析【解析】(1)设a n的公比为 q,由题设可得解得a1(1 q) 2,a1(1 q q2) 6,) q 2,a1 2.)故a n的通项公式为 an(2) n.(2)由(1)可得Sn (1) n .a1(1 qn)1 q 23 2n 13由于 Sn2 S n1 (1) n .43 2n 3 2n 2
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