专题4.6正弦定理和余弦定理_2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(含解析)
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1、第四篇 三角函数与解三角形专题 4.06 正弦定理和余弦定理【考试要求】 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.【知识梳理】1.正、余弦定理在ABC 中,若角 A,B ,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为ABC 外接圆半径,则定理 正弦定理 余弦定理公式 2Rasin A bsin B csin C a2b 2c 22bccosA;b2c 2a 22cacosB;c2a 2b 22abcosC常见变形(1)a2Rsin A, b2RsinB,c2Rsin C;(2)sin A ,sin B ,sin C ;a2R b2R c2R(3)abcsinAsinBsinC ;(
2、4)asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin Ccsin Acos A ;b2 c2 a22bccos B ;c2 a2 b22accos Ca2 b2 c22ab2.SABC absin C bcsin A acsin B (abc)r( r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r. 12 12 12 abc4R 123.在ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下:A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 ab sin A bsin Ab ab解的个数 一解 两解 一解 一解 无解【微点提醒】1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB )sin C;(2)
3、cos(AB)cos C;(3)sin cos ;(4)cos sin .A B2 C2 A B2 C22.三角形中的射影定理在ABC 中,abcos Cccos B;bacos Cccos A;c bcos Aacos B.3.在ABC 中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,AB absin Asin Bcos Asin B,则 AB.( )(3)在ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当 b2c 2a 20 时,ABC 为锐角三角形;当 b2c 2 a20 时,ABC 为直角三角形;当b2c 2a 20 时,三角形 ABC 不一定为锐角三角形.【教材衍化】2
4、.(必修 5P10A4 改编)在ABC 中,AB5,AC3,BC7,则BAC( )A. B. C. D.6 3 23 56【答案】 C【解析】 在ABC 中,设 ABc5,ACb3,BC a7,由余弦定理得 cosBAC b2 c2 a22bc ,9 25 4930 12由 A(0,),得 A ,即 BAC .23 233.(必修 5P10B2 改编)在ABC 中,acos Abcos B,则这个三角形的形状为_.【答案】 等腰三角形或直角三角形【解析】 由正弦定理,得 sin Acos Asin Bcos B,即 sin 2Asin 2B,所以 2A2B 或 2A2B ,即 AB 或 A B
5、 ,2所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.【真题体验】4.(2018烟台质检)已知ABC 中,A ,B ,a1,则 b 等于( )6 4A.2 B.1 C. D.3 2【答案】 D【解析】 由正弦定理 ,得 ,asin A bsin B 1sin6 bsin4 ,b .112b22 25.(2018全国卷)在ABC 中,cos ,BC1,AC5,则 AB( )C2 55A.4 B. C. D.22 30 29 5【答案】 A【解析】 由题意得 cos C2cos 2 12 1 .C2 ( 55)2 35在ABC 中,由余弦定理得 AB2AC 2BC 22ACBCcos C5 21 2251
6、 32,所以( 35)AB4 .26.(2019荆州一模)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a2 ,cos A ,sin B2sin 234C,则ABC 的面积是_.【答案】 7【解析】 由 sin B2sin C,cos A ,A 为ABC 一内角,34可得 b2c,sin A ,1 cos2A74由 a2b 2c 22bc cos A,可得 84c 2c 23c 2,解得 c2( 舍负),则 b4.S ABC bcsin A 24 .12 12 74 7【考点聚焦】考点一 利用正、余弦定理解三角形【例 1】 (1)ABC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a,
7、b,c.已知 C60,b ,c3,则 A_.6(2)(2019枣庄二模)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(ab)(sin Asin B)(cb)sin C,则 A( )A. B. C. D.6 3 56 23(3)(2018全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若ABC 的面积为 ,则a2 b2 c24C( )A. B. C. D.2 3 4 6【答案】 (1)75 (2)B (3)C【解析】 (1)由正弦定理,得 sin B ,bsin Cc 6323 22结合 b0,所以 sin C0,所以 cos B0,sin A1,即 A ,2ABC
8、 为直角三角形.【规律方法】 1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系; (2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余) 弦定理是转化的桥梁 .2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.【训练 2】 若将本例(2)中条件变为“cacos B(2 ab)cos A”,判断ABC 的形状.【答案】见解析【解析】cacos B(2ab)cos A,C (AB),由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos A sin Bcos A,sin Acos
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