专题5.1数列的概念及简单表示法_2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(含解析)
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1、第五篇 数列及其应用专题 5.01 数列的概念及简单表示法【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) ;2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.【知识梳理】1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准 类型 满足条件有穷数列 项数有限项数无穷数列 项数无限递增数列 an1 a n递减数列 an1 a n常数列 an1 a n其中 nN *项与项间的大小关系摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列
2、的通项公式(1)通项公式:如果数列a n的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个式子 anf(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式:如果已知数列 an的第 1 项( 或前几项),且从第二项 (或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 .【微点提醒】1.若数列a n的前 n 项和为 Sn,通项公式为 an,则 an S1,n 1,Sn Sn 1,n 2.)2.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项
3、与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )(2)1,1,1,1,不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( )(4)如果数列a n的前 n 项和为 Sn,则对任意 nN *,都有 an1 S n1 S n.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (1)数列:1,2,3 和数列:3,2,1 是不同的数列 .(2)数列中的数是可以重复的,可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.【教材衍化】2.
4、(必修 5P33A4 改编)在数列a n中,a 11,a n1 (n2) ,则 a5 等于( )( 1)nan 1A. B. C. D.32 53 85 23【答案】 D【解析】 a 21 2,a 31 ,( 1)2a1 ( 1)3a2 12a41 3,a 51 .( 1)4a3 ( 1)5a4 233.(必修 5P33A5 改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式 an_.【答案】 5n4【解析】 由 a11514,a 26524,a 311534,归纳 an5n4.【真题体验】4.(2019山东省实验中学摸底) 已知数列a n中,a 11,a n1 2a n1(
5、nN *),S n 为其前 n 项和,则 S5 的值为( )A.57 B.61 C.62 D.63【答案】 A【解析】 由条件可得 a22a 113,a 32a 217,a 42a 3115,a 52a 4131,所以S5a 1a 2a 3a 4a 5137153157.5.(2018北京朝阳区月考)数列 0,1,0,1,0,1,0,1,的一个通项公式 an 等于( )A. B.cos ( 1)n 12 n2C.cos D.cos n 12 n 22【答案】 D【解析】 令 n1,2,3,逐一验证四个选项,易得 D 正确.6.(2019天津河东区一模)设数列 an的前 n 项和为 Sn,且 S
6、n ,若 a432,则 a1_.a1(4n 1)3【答案】 12【解析】 S n ,a 432,则 a4S 4S 332.a1(4n 1)3 32,a 1 .255a13 63a13 12【考点聚焦】考点一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】 (1)已知数列的前 4 项为 2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是 ( )A.an(1) n1 1 B.an 2,n为 奇 数 ,0,n为 偶 数 )C.an2sin D.ancos( n1)1n2(2)已知数列a n为 , , , , , ,则数列a n的一个通项公式是_.12 14 58 1316 2932 6164【答案】 (1)C (
7、2) an(1) n2n 32n【解析】 (1)对 n1,2,3,4 进行验证,a n2sin 不合题意.n2(2)各项的分母分别为 21,2 2,2 3,2 4,易看出从第 2 项起,每一项的分子都比分母少 3,且第 1 项可变为 ,2 32故原数列可变为 , , , ,21 321 22 322 23 323 24 324故其通项公式可以为 an( 1)n .2n 32n【规律方法】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察(观察规律 )、比较(比较已知数列) 、归纳、转化 (转化为特殊数列)、联想( 联想常见的数列)等方法.(2)具体策略:分式中分子、分母的特征;相邻
8、项的变化特征; 拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用(1) k 或( 1) k1 ,kN *处理.【训练 1】 写出下列各数列的一个通项公式:(1) , , , ,;112 123 134 145(2) ,2, ,8, ,;12 92 252(3)5,55,555,5 555,.【答案】见解析【解析】(1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 an(1) n ,nN *.1n(n 1)(2)数列的各项,有的是
9、分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.即 ,12, , , ,分子为项数的平方,从而可得数列的一个通项公式为 an .42 92 162 252 n22(3)将原数列改写为 9, 99, 999,易知数列 9,99,999,的通项为 10n1,故所求的数列59 59 59的一个通项公式为 an (10n1).59考点二 由 an 与 Sn 的关系求通项【例 2】 (1)(2019广州质检) 已知 Sn 为数列a n的前 n 项和,且 log2(Sn1) n1,则数列a n的通项公式为_.(2)(2018全国卷)记 Sn 为数列a n的前 n 项和.若 Sn2a n1,则 S6_.
10、【答案】 (1)a n (2) 633,n 12n,n 2)【解析】 (1)由 log2(Sn1) n1,得 Sn12 n1 ,当 n1 时,a 1S 13;当 n2 时,a nS nS n1 2 n,所以数列a n的通项公式为 an 3,n 1,2n,n 2.)(2)由 Sn2a n1,得 a12a 11,所以 a11.当 n2 时,a nS nS n1 2a n1(2a n1 1) ,得 an2a n1 .数列a n是首项为1,公比为 2 的等比数列.S 6 63.a1(1 q6)1 q (1 26)1 2【规律方法】数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an 当 n1 时,a
11、 1 若适合S1,n 1,Sn Sn 1,n 2.)SnS n1 ,则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an;当 n1 时,a 1 若不适合 SnS n1 ,则用分段函数的形式表示.【易错警示】 在利用数列的前 n 项和求通项时,往往容易忽略先求出 a1,而是直接把数列的通项公式写成 anS nS n1 的形式,但它只适用于 n2 的情形.例如例 2 第(1)题易错误求出 an2 n(nN *).【训练 2】 (1)已知数列a n的前 n 项和 Sn2n 23n,则数列a n的通项公式 an_.(2)已知数列a n的前 n 项和 Sn3 n1,则数列的通项公式 an_.【答案】 (1)4n
12、5 (2) 4,n 1,23n 1,n 2)【解析】 (1)a 1S 1231,当 n2 时,a nS nS n1 (2n 23n) 2(n1) 23( n1)4n5,由于 a1也适合上式,a n4n5.(2)当 n1 时,a 1S 1314,当 n2 时,a nS nS n1 3 n13 n1 123 n1 .显然当 n1 时,不满足上式.a n 4,n 1,23n 1,n 2.)考点三 由数列的递推关系求通项 【例 3】 (1)在数列a n中,a 12,a n1 a nln ,则 an 等于( )(1 1n)A.2ln n B.2( n1)ln nC.2nln n D.1nln n(2)若
13、 a11,na n1 (n1)a n(n2) ,则数列a n的通项公式 an_.(3)若 a11,a n1 2a n3,则通项公式 an_.(4)若数列a n满足 a11,a n1 ,则 an_.2anan 2【答案】 (1)A (2) (3)2 n1 3 (4)2n 1 2n 1【解析】 (1)因为 an1 a nln ln(n1)ln n,n 1n所以 a2a 1ln 2ln 1,a3a 2ln 3ln 2,a4a 3ln 4ln 3,ana n1 ln nln(n1)( n2).把以上各式分别相加得 ana 1ln nln 1,则 an2ln n,且 a12 也适合,因此 an2ln n
14、(nN *).(2)由 nan1 (n 1)a n(n2),得 (n2).anan 1 nn 1所以 an a1anan 1an 1an 2an 2an 3 a3a2a2a1 1 ,nn 1n 1n n 2n 1 3423 2n 1又 a1也满足上式,所以 an .2n 1(3)由 an1 2a n3,得 an1 32( an3).令 bna n3,则 b1a 134,且 2.bn 1bn an 1 3an 3所以b n是以 4 为首项,2 为公比的等比数列.b n42 n1 2 n1 ,a n2 n1 3.(4)因为 an1 ,a 11,所以 an0,2anan 2所以 ,即 .1an 1
15、1an 12 1an 1 1an 12又 a11,则 1,1a1所以 是以 1 为首项, 为公差的等差数列 .1an 12所以 (n1) .1an 1a1 12 n2 12 n 12所以 an .2n 1【规律方法】 由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知 a1,且 ana n1 f (n),可用“累加法”求 an.(2)已知 a1(a1 0),且 f(n),可用“累乘法”求 an.anan 1(3)已知 a1,且 an1 qa nb,则 an1 kq(a nk)(其中 k 可用待定系数法确定) ,可转化为a nk为等比数列.(4)形如 an1 (A,B,C 为常数)的数列,可通过两边
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