浙江省20届高考数学一轮 第11章 11.1 随机事件的概率与古典概型
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1、11.1 随机事件的概率与古典概型最新考纲 考情考向分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主,常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现,随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现,互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.1.概率和频率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次
2、数 nA为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A) 为事件 A 出现的频率.nAn(2)对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).2.事件的关系与运算定义 符号表示包含关系如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)BA 或 A B相等关系 若 BA 且 AB AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)A B(或 AB)交事件(积事件)若
3、某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件若 AB 为不可能事件( AB),则称事件 A与事件 B 互斥AB 对立事件若 AB 为不可能事件,A B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件AB,P( A)P(B )13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0P(A) 1.(2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(AB)P( A)P(B).(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A
4、)1P( B).4.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和.5.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.6.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 ;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A) .1n mn7.古典概型的概率公式P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数概念方法微思考1.随机事件 A
5、发生的频率与概率有何区别与联系?提示 随机事件 A 发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中事件 A 发生的频率稳定在事件 A 发生的概率附近.2.随机事件 A,B 互斥与对立有何区别与联系?提示 当随机事件 A,B 互斥时,不一定对立,当随机事件 A,B 对立时,一定互斥.3.任何一个随机事件与基本事件有何关系?提示 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和.4.如何判断一个试验是否为古典概型?提示 一个试验是否为古典概型,关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1
6、)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( )(4)掷一枚硬币两次,出现“两个正面” “一正一反” “两个反面 ”,这三个结果是等可能的.( )(5)从市场上出售的标准为 5005 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量,属于古典概型 .( )题组二 教材改编2.P121T4一个人打靶时连续射击两次,事件 “至少有一次中靶”的对立事件是( )A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶答案 D解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.3.P133T3袋中装有 6 个白球,
7、5 个黄球,4 个红球,从中任取一球,则取到白球的概率为( )A. B. C. D.25 415 35 23答案 A解析 从袋中任取一球,有 15 种取法,其中取到白球的取法有 6 种,则所求概率为 P .615 254.P133T4同时掷两个骰子,向上点数不相同的概率为 _.答案 56解析 掷两个骰子一次,向上的点数共 6636(种)可能的 结果,其中点数相同的结果共有6 种,所以点数不相同的概率 P1 .636 56题组三 易错自纠5.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中“正面向上恰有 5 次”是( )A.必然事件 B.随机事件C.不可能事件 D.无法确定答案 B解析 抛掷 10 次硬币,正
8、面向上的次数可能 为 010,都有可能发生,正面向上恰有 5 次是随机事件.6.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为( )A. B. C. D.115 15 14 12答案 B解析 由题意可得,甲连续三天参加活 动的所有情况为:第 13 天,第 24 天,第 35 天,第 46 天,共四种情况,所求概率 P .故选 B.4A3C36A3 157.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A抽到一等品 ,事件 B抽到二等品,事件C抽到三等品,且已知 P(A)0.65,P(B) 0.2,P(C)0.1
9、,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_.答案 0.35解析 事件 A抽到一等品 ,且 P(A)0.65,事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P1P (A)10.650.35.题型一 随机事件命题点 1 随机事件的关系例 1 (1)在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中任取 2 张,若事件“2 张全是移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是( )310 710A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡答案 A解析 “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡,一 张联 通卡” ,“两张全是联通卡”两个事件,它是“2 张全是移动卡” 的对立事件.
10、(2)口袋里装有 1 红,2 白,3 黄共 6 个形状相同的小球,从中取出两个球,事件 A“取出的两个球同色” ,B“取出的两个球中至少有一个黄球” ,C“取出的两个球中至少有一个白球” ,D“取出的两个球不同色 ”,E“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为_.A 与 D 为对立事件;B 与 C 是互斥事件;C 与 E 是对立事件;P(CE)1;P( B)P(C).答案 命题点 2 随机事件的频率与概率例 2 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求
11、量与当天最高气温(单位: )有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为45
12、0 瓶时,写出 Y 的所有可能值,并估计 Y 大于零的概率.解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶,当且仅当最高气温低于 25,由表格数据知,最高气温低于 25 的频率为 0.6,所以 这种酸奶一天的需求量不超 过 300 瓶的概率的2 16 3690估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,若最高气温不低于 25,则 Y64504450900;若最高气温位于区间20,25),则 Y63002(450300)4450300;若最高气温低于 20,则 Y62002(450200) 4450100,所以,Y 的所有可能值为 900,300,100.Y 大于零当且仅当
13、最高气温不低于 20,由表格数据知,最高气温不低于 20 的频率为0.8.36 25 7 490因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.命题点 3 互斥事件与对立事件例 3 一盒中装有 12 个球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个绿球.从中随机取出 1球,求:(1)取出 1 球是红球或黑球的概率;(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.解 方法一 (利用互斥事件求概率 )记事件 A1 任取 1 球为红球 ,A2 任取 1 球 为黑球,A3 任取 1 球 为白球,A4 任取 1 球 为绿球,则 P(A1) ,P(A2) ,P(A3) ,P(A4) .512 412 13 2
14、12 16 112根据题意知,事件 A1,A2,A3,A4 彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出 1 球是红球或黑球的概率为P(A1A 2)P(A 1)P(A 2) .512 13 34(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为P(A1A 2A 3)P( A1)P(A 2)P (A3) .512 13 16 1112方法二 (利用对立事件求概率 )(1)由方法一知,取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球,即 A1A 2 的对立事件为 A3A 4,所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A 2)1P(A 3A 4)1P( A3)P(A 4)1 .16 112
15、 34(2)因为 A1A 2A 3 的对立事件为 A4,所以 P(A1A 2A 3)1P( A4)1 .112 1112思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同 时不发生 .对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不 发生,即有且 仅有一个发生.(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定 义判断,不可能同 时发生的两个事件 为互斥事件;两个事件若有且仅有一个发生,则这两个事件 为对立事件, 对立事件一定是互斥事件 .(3)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度, 频率是随机的,而概率是一个确定的值,通
16、常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有 时也用频率作 为随机事件概率的估计值.(4)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率,即通 过大量的重复试验 ,事件 发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率 .(5)求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的,求解时通常有两种方法将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率.若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其 对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”. 它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.跟踪训练 1 (1)某保险公
17、司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆) 500 130 100 150 120若每辆车的投保金额均为 2 800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率;在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,车主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率.解 设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元” ,B 表示事件“赔付金额为 4 000 元” ,以频率估计概率得 P(A) 0.15,P(B) 0.12.15
18、01 000 1201 000由于投保金额为 2 800 元,赔 付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000 元和 4 000元,所以其概率为 P(A)P(B) 0.150.120.27.设 C 表示事件“投保车辆中新司机 获赔 4 000 元” ,由已知,可得样本车辆中车主为新司机的有 0.11 000100(辆),而 赔付金额为 4 000 元的车辆中,车主为新司机的有0.212024(辆),所以样本车辆 中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 0.24,由频24100率估计概率得 P(C)0.24.(2)A,B,C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,
19、通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时) :A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5试估计 C 班的学生人数;从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取 1 人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.解 由题意及分层抽样可知, C 班学生人数约为100 100 40.85 7 8 820设事件 Ai为“甲是现有样 本中 A 班的第 i 个人” ,i1,2, ,5,事件 Cj为“乙是现有样本中 C
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