浙江省20届高考数学一轮 第8章 高考专题突破5
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1、高考专题突破五 高考中的立体几何问题题型一 求空间几何体的表面积与体积例 1 (1)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于 2 的正方形,则这个几何体的表面积为( )A.164 B.1643 5C.204 D.2043 5答案 D解析 由三视图可知,该几何体是棱 长为 2 的正方体的内部挖去一个底面 边长为 2 的正四棱锥,将三视图还原可得如图,可得其表面积为 S52 24 2 204 ,故选 D.12 5 5(2)(2018浙江省嘉兴市第一中学期中) 如图,已知 AB 为圆 O 的直径,C 为圆上一动点,PA圆 O 所在平面,且 PAAB
2、2,过点 A 作平面 PB,交 PB,PC 分别于 E,F,当三棱锥 PAEF 体积最大时,tanBAC_.答案 2解析 PB平面 AEF,AFPB,又 ACBC,APBC,ACAPA, AC,AP平面 PAC,BC平面 PAC,又AF 平面 PAC,AFBC,又PB BCB,PB ,BC平面 PBC,AF平面 PBC,AFE90,设BAC ,在 RtPAC 中,AF .APACPC 22cos 21 cos2 2cos 1 cos2在 Rt PAB 中, AEPE ,EF ,2 AE2 AF2V 三棱锥 PAEF AFEFPE AF 1312 16 2 AF2 2 26 2AF2 AF4 ,
3、26 AF2 12 1 26当 AF1 时,三棱锥 PAEF 的体积取最大值 ,26此时 1,且 0二面角 AQRP 的平面角二面角 APRQ 的平面角,即 0).(1)证明:BC 1平面 AB1D;(2)若直线 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小为 ,求 h 的值.6(1)证明 方法一 如图 1,连接 A1B,交 AB1 于点 E,连接 DE,则 DE 是A 1BC1 的中位线,图 1所以 DEBC 1.又 DE平面 AB1D,BC1平面 AB1D,所以 BC1平面 AB1D.方法二 如图 2,取 AC 的中点 F,连接 BF,C1F,DF.图 2因为 AFDC 1,且 AFDC 1
4、,所以四边形 AFC1D 是平行四边形,故 ADFC 1.又 FC1平面 BFC1,AD平面 BFC1,所以 AD平面 BFC1.因为 DFB 1B,且 DFB 1B,所以四 边形 DFBB1 是平行四 边形,故 DB1FB .又 FB平面 BFC1,DB1平面 BFC1,所以 DB1平面 BFC1.又 ADDB 1D,AD ,DB1平面 ADB1,所以平面 ADB1平面 BFC1.又 BC1平面 BFC1,故 BC1平面 AB1D.(2)解 方法一 取 A1B1 的中点 H,连接 C1H,BH.因为A 1B1C1 与ABC 都是正三角形,所以 C1HA 1B1.在直三棱柱 ABCA1B1C1
5、 中,平面 ABB1A1平面 A1B1C1,平面 ABB1A1平面A1B1C1A 1B1,又 C1H平面 A1B1C1,故 C1H平面 ABB1A1.所以C 1BH 就是 BC1 与平面 ABB1A1 所成的角,即C 1BH .6在 Rt C1BH 中,BC 12HC 12 ,3在 Rt BCC1 中,BC 1 .BC2 CC21 h2 4所以 2 ,解得 h2 .h2 4 3 2方法二 以 AB 的中点 O 为坐 标原点,OB,OC 所在直线分别为 x 轴,y 轴,过点 O 且与平面ABC 垂直的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图 3 所示,图 3则 B(1,0,0),C1(0, ,h
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