浙江省20届高考数学一轮 第9章 高考专题突破6 第1课时
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1、高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题第 1 课时 范围、最值问题题型一 范围问题例 1 (2018浙江)如图,已知点 P 是 y 轴左侧( 不含 y 轴)一点,抛物线 C:y 24x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上.(1)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴;(2)若 P 是半椭圆 x2 1(x0)上的动点,求PAB 面积的取值范围.y24(1)证明 设 P(x0,y0),A ,B .(14y21,y1) (14y2,y2)因为 PA,PB 的中点在抛物线上,所以 y1,y2为方程 24 ,(y y02 ) 14y2 x02即 y22y 0y8 x0
2、y 0 的两个不同的实根.20所以 y1y 22y 0,所以 PM 垂直于 y 轴.(2)解 由(1)可知Error!所以|PM| (y y )x 0 y 3x 0,18 21 2 3420|y1 y2| 2 .2y20 4x0所以PAB 的面积SPAB |PM|y1y 2| (y 4x 0) .12 324 20 3因为 x 1(1x 00),20y204所以 y 4x 04x 4x 044,5,20 20所以PAB 面积的取值范围是 .62,15104 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用
3、已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.跟踪训练 1 (2018杭州质检) 已知椭圆 C: 1,直线 l:ykx m( m0),设直线 lx23 y22与椭圆 C 交于 A,B 两点.(1)若|m| ,求实数 k 的取值范围;3(2)若 直 线 OA, AB, OB 的 斜 率 成 等 比 数 列 (其 中 O 为 坐 标 原 点 ), 求 OAB
4、 的 面 积 的 取 值 范 围 .解 (1)联立方程 1 和 ykxm ,x23 y22得(23k 2)x2 6kmx3m 260,所以 (6km)24(23k 2)(3m26)0,所以 m2 ,所以 23k 23,3即 k2 ,解得 k 或 kb0),从椭圆的一个焦x2a2 y2b2点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点,再经椭圆反射后回到起点.光线经过的路径为正三角形,且该三角形的周长为 12.(1)求椭圆的方程;(2)过 A(0,b)且互相垂直的直线分别与椭圆交于另外两点 B,C,记它们的横坐标分别为xB,x C,求 xBxC的最小值以及 xBxC最小时ABC 的面积.解 (1)不妨设
5、光线从焦点 F1(c ,0)出发到达椭圆上的点 M,反射后经过另一个焦点 F2(c,0)到达椭圆上的点 N.由于光线经过的路径为正三角形 F1MN,则|F 1M| F1N|,所以 MNF 1F2,F1F2为F 1MN 的中线.由椭圆的定义得 4a12,a 3.又|F 1F2|2c 42 ,32 3所以 c ,b2a 2c 26,3所以椭圆的方程为 1.x29 y26(2)由(1)得 A(0, ).显然直线 AB,AC 的斜率均存在且不为 0.6设直线 AB 的方程为 ykx (k0) ,6代入 1,得(23k 2)x26 kx0,x29 y26 6所以 xB ,同理求得 xC ,66k2 3k
6、2 66k2k2 3所以 xBxC 66k2 3k2 66k2k2 3 216k22 3k22k2 3 216k26k4 13k2 6 2166k2 13 6k2 ,2166(k2 1k2) 13 21625当且仅当 k21 时等号成立.所以当 k21 时,x BxC取得最小 值 .21625当 k21 时,|AB| ,|AC| ,66|k| 1 k22 3k2 66|k| 1 ( 1k)22k2 3SABC |AB|AC| .12 108|k|1 k22 3k22k2 3 216251.已知 P(x0,y 0)是椭圆 C: y 21 上的一点,F 1,F 2 是 C 的两个焦点,若 0,b0
7、)的左、右焦点分别为 F1,F 2,过 F1 且垂x2a2 y2b2直于 x 轴的直线与该双曲线的左支交于 A,B 两点,AF 2, BF2 分别交 y 轴于 P,Q 两点.若PQF2 的周长为 16,则 的最大值为( )ba 1A. B. C. D.43 34 53 45答案 A解析 如图(1),由已知条件得ABF 2 的周长为 32,因为|AF2|2 a| AF1|,|BF2|2a|BF 1|,|AF1| BF1| ,所以 4a 32, a8,可整理为b2a 4b2a b2a(a4) 2b 216.设 k ,则 k 表示为(a,b)与( 1, 0)连线的斜率,作出图形,如图(2),易ba
8、1知 kmax .故选 A.435.设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且|PM| 2| MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D.122 23 33答案 A解析 由题意可得 F ,设 P (y00),(p2,0) (y202p,y0)则 ( ) ,OM OF FM OF 13FP OF 13OP OF 13OP 23OF (y206p p3,y03)可得 k .y03y206p p3 1y02p py012y02ppy0 22当且仅当 时取得等号,故选 A.y02p py06.(2018浙江省杭州市
9、七校联考) 已知 M,N 为双曲线 y 21 上关于坐标原点 O 对称的两x24点,P 为双曲线上异于 M,N 的点,若直线 PM 的斜率的取值范围是 ,则直线 PN 的斜12,2率的取值范围是( )A. B.(18,12) 12, 18C. D. 18,12 12, 18 18,12答案 C解析 设 M(x0,y0),N(x 0,y 0),P(m,n)(mx 0),则 kPM ,kPN .因为点n y0m x0 n y0m x0P,M,N 均在双曲线 y 21 上,所以 n 21, y 1,两式相减得 x24 m24 x204 20 m x0m x04(ny 0)(ny 0)0,化简得 ,即
10、 kPMkPN ,又 k PM2,n y0m x0n y0m x0 14 14 12即 2,解得 k PN ,故选 C.12 14kPN 18 127.椭圆 C: y 21(a1)的离心率为 ,F 1,F 2 是 C 的两个焦点,过 F1 的直线 l 与 C 交于x2a2 32A,B 两点,则|AF 2|BF 2|的最大值为_.答案 7解析 因为椭圆 C 的离心率为 ,所以 ,32 a2 1a 32解得 a2,由椭圆定义得|AF 2| BF2|AB |4a8,即|AF 2| |BF2| 8|AB|,而由焦点弦性质,知当 ABx 轴时,| AB|取得最小值 2 1,b2a因此|AF 2| BF2
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