浙江省20届高考数学一轮 第9章 9.5 第1课时 椭 圆
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1、9.5 椭 圆最新考纲 考情考向分析1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查,直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主,一般为中档题,椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1.椭圆的概念平面内与两个定点 F1,F 2 的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合 P M|MF1|MF 2|2a,|F 1F2|2c,其中 a0,c0,且 a,c 为常数:(1)若 ac,则集合 P 为椭圆;(2)
2、若 ac,则集合 P 为线段;(3)若 ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形范围axabybbx bay a对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点顶点坐标A1(a,0),A 2(a,0)B1(0,b),B 2(0,b )A1(0,a),A 2(0,a) B1(b,0),B 2(b,0)轴 长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b性质焦距 |F1F2|2c离心率 e (0 ,1)caa,b,c 的关系 a2b 2c 2概念方法微思考1.在椭圆的定义中,若 2a|F 1F2|或 2a1.x20a2 y20b24.直线与椭圆的位置关系有几种?如何判断?提
3、示 直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程,求联立后所得方程的判别式 .(1)直线与椭圆相离0.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F 2 构成PF 1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距).( )(2)方程 mx2ny 21( m0,n 0,m n)表示的曲线是椭圆.( )(3) 1( ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( )y2a2 x2b2(4) 1( ab0)与 1(ab0) 的焦距相等.( )x2a2 y2b2 y2a2 x2b2题组二 教材
4、改编2.P49T4椭圆 1 的焦距为 4,则 m 等于( )x210 m y2m 2A.4 B.8 C.4 或 8 D.12答案 C解析 当焦点在 x 轴上时,10mm 20 ,10m(m 2) 4,m4.当焦点在 y 轴上时,m210m 0,m2(10m )4,m8.m4 或 8.3.P80T3(1)过点 A(3,2)且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的方程为 ( )x29 y24A. 1 B. 1x215 y210 x225 y220C. 1 D. 1x210 y215 x220 y215答案 A解析 由题意知 c25,可设椭圆方程为 1(0) ,则 1,解得 10 或x2 5 y2 9 5
5、42(舍去),所求椭圆的方程为 1.x215 y2104.P49T6已知点 P 是椭圆 1 上 y 轴右侧的一点,且以点 P 及焦点 F1,F 2 为顶点的x25 y24三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标为_.答案 或(152,1) ( 152, 1)解析 设 P(x,y),由 题意知 c2a 2b 2541,所以 c1,则 F1(1,0),F 2(1,0).由题意可得点 P 到 x 轴 的距离为 1,所以 y1,把 y1代入 1,得 x ,又 x0,所以 x ,x25 y24 152 152所以 P 点坐标为 或 .(152,1) ( 152, 1)题组三 易错自纠5.(2018浙江余姚
6、中学质检)已知方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值x2m2 y22 m范围是( )A.m2 或 m2C.12 或22m0 ,解得 m2 或2b0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,离心率为 ,过 F2 的直线 lx2a2 y2b2 33交 C 于 A,B 两点,若AF 1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为( )3A. 1 B. y 21x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24答案 A解析 AF 1B 的周长为 4 ,4a4 ,3 3a ,离心率为 ,c1, b ,333 a2 c2 2椭圆 C 的方程为 1.故选 A.x23 y22第 1 课
7、时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案 A解析 由条件知|PM | PF|,|PO |PF|PO| PM| OM|R|OF |.P 点的轨迹是以 O,F 为焦点的椭圆.2.已知ABC 的顶点 B,C 在椭圆 y 21 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外x23一个焦点在 BC 边上,则ABC 的周长是( )A.2 B.6 C.4 D.123 3答案 C解析
8、 由椭圆的方程得 a .设椭圆的另一个焦点为 F,则由椭圆的定义得3|BA| BF|CA| CF|2a,所以 ABC 的周长为|BA| BC|CA| |BA|BF|CF|CA|(|BA| |BF|)(|CF| |CA|)2a2a4a4 .33.椭圆 y 21 的左、右焦点分别为 F1,F 2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个x24交点为 P,则| PF2|等于( )A. B. C. D.472 32 3答案 A解析 F 1( ,0),PF 1x 轴,3P ,|PF 1| ,|PF 2|4 .( 3,12) 12 12 724.设 F1,F 2 分别是椭圆 1 的左、右焦点,P
9、为椭圆上任意一点,点 M 的坐标为x225 y216(6,4),则|PM| |PF 1|的最小值为_.答案 5解析 由椭圆的方程可知 F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|2 a| PF2|.|PM |PF 1| PM|(2a|PF 2|)| PM| PF2|2a|MF 2|2a,当且 仅当M,P,F2 三点共 线时取得等号,又|MF2| 5 ,2a10,| PM|PF 1|5105,即| PM|PF 1|的最小值6 32 4 02为5.思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用
10、,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二 椭圆的标准方程命题点 1 定义法例 1 (1)(2019丽水调研)已知两圆 C1:( x4) 2y 2169,C 2:( x4) 2y 29,动圆 M 在圆C1 内部且和圆 C1 内切,和圆 C2 外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( )A. 1 B. 1x264 y248 x248 y264C. 1 D. 1x248 y264 x264 y248答案 D解析 设圆 M 的半径为 r,则|MC 1|MC 2|(13r)(3r)168 | C1C2|,所以 M 的轨迹是以 C1,C2为焦点的椭圆,且 2a16, 2c8,即 a8,c4,b 4 ,a
11、2 c2 3故所求的轨迹方程为 1.x264 y248(2)在ABC 中, A(4,0),B(4 ,0),ABC 的周长是 18,则顶点 C 的轨迹方程是( )A. 1( y0) B. 1( y0)x225 y29 y225 x29C. 1( y0) D. 1(y0)x216 y29 y216 x29答案 A解析 由|AC| |BC|188108 知,顶点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆( A,B,C 不共线).设其方程为 1(ab0),则 a5, c4,从而 b3.由 A,B,C 不共线知 y0.故顶x2a2 y2b2点 C 的轨迹方程是 1(y0).x225 y29命题点 2 待定系
12、数法例 2 (1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 ,( , ),则椭( 32,52) 3 5圆的标准方程为_.答案 1y210 x26解析 设椭圆的方程为 mx2ny 21(m, n0,mn).由Error! 解得 m ,n .16 110椭圆方程为 1.y210 x26(2)一个椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦点 F1,F 2 在 x 轴上,P(2, )是椭圆上一3点,且|PF 1|,|F 1F2|,|PF 2|成等差数列,则椭圆的标准方程为_.答案 1x28 y26解析 椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上, 可设椭圆 方程为 1( ab0),x2a2
13、y2b2P(2, )是椭圆上一点,且|PF 1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,3Error! 又 a2b 2c 2,a2 ,b ,c ,2 6 2椭圆的标准方程为 1.x28 y26思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法 .(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件 2a|F1F2|;利用待定系数法要先定形 (焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为 mx2ny 21(m0 ,n0,mn) 的形式.跟踪训练 1 (1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且椭圆 G 上一32点到两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为( )A. 1 B. 1
14、x236 y29 x29 y236C. 1 D. 1x24 y29 x29 y24答案 A解析 依题意设椭圆 G 的方程 为 1( ab0),椭圆上一点到两焦点的距离之和为x2a2 y2b212,2a12,a6,椭圆的离心率为 ,e ,即 ,解得32 ca 1 b2a2 32 1 b236 32b29,椭圆 G 的方程为 1,故选 A.x236 y29(2)过点( , ),且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为_.3 5y225 x29答案 1y220 x24解析 所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同,y225 x29其焦点在 y 轴上,且 c225916.设它的标准方程为 1(a b0).y2
15、a2 x2b2c 216,且 c2a 2b 2,故 a2b 216.又点( , )在所求椭圆上,3 5 1,即 1. 52a2 32b2 5a2 3b2由得 b24,a 220,所求椭圆的标准方程为 1.y220 x24题型三 椭圆的几何性质命题点 1 求离心率的值(或范围 )例 3 (1)设椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,P 是 C 上的点,x2a2 y2b2PF2F 1F2,PF 1F230,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.36 13 12 33答案 D解析 方法一 如图,在 Rt PF2F1 中,PF 1F230,| F1F2|2c,|PF 1|
16、,|PF2|2ctan 30 .2ccos 30 43c3 23c3|PF 1| |PF2| 2a,即 2a,可得 ca.43c3 23c3 3e .ca 33方法二 (特殊值法):在 Rt PF2F1 中,令|PF 2|1,PF 1F230,|PF 1|2,| F1F2| .3e .2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 33(2)椭圆 1(a b0),F 1,F 2 为椭圆的左、右焦点, O 为坐标原点,点 P 为椭圆上一x2a2 y2b2点,|OP| a,且|PF 1|,|F 1F2|,| PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为( )24A. B. C. D.24 23 63 64答案
17、 D解析 设 P(x,y),则|OP| 2x 2y 2 ,a28由椭圆定义得|PF 1| PF2|2a,|PF 1|22| PF1|PF2|PF 2|2 4a2,又|PF 1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,|PF 1|PF2| |F1F2|24c 2,则|PF 1|2| PF2|28c 24a 2,(xc) 2y 2(xc) 2y 28c 24a 2,整理得 x2y 25c 22a 2,即 5c 22a 2,整理得 ,a28 c2a2 38椭圆的离心率 e .ca 64(3)(2018杭州调研)已知椭圆 1(ab c0,a 2b 2c 2)的左、右焦点分别为 F1,F 2,x2a2 y
18、2b2若以 F2 为圆心,bc 为半径作圆 F2,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T,且|PT| 的最小值不小于 (ac ),则椭圆的离心率 e 的取值范围是_.32答案 35,22)解析 因为|PT| (bc),|PF2|2 b c2而|PF 2|的最小 值为 ac,所以|PT|的最小值为 .a c2 b c2依题意,有 (ac ),a c2 b c232所以(ac) 24(bc )2,所以 ac 2( bc),所以 ac2b,所以( ac )24(a 2c 2),所以 5c22ac3a 20,所以 5e22e30.又 bc,所以 b2c2,所以 a2c 2c2,所以 2e23 时,
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