浙江省20届高考数学一轮 第9章 高考专题突破6 第3课时
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1、第 3 课时 证明与探索性问题题型一 证明问题例 1 设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: y 21 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,x22点 P 满足 .NP 2NM (1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x3 上,且 1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦OP PQ 点 F.(1)解 设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),(x x 0,y), (0,y 0).NP NM 由 ,得 x0x,y 0 y.NP 2NM 22因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2y 22.(2
2、)证明 由题意知 F(1,0).设 Q(3,t) ,P(m,n),则 ( 3, t), (1 m, n),OQ PF 33m tn,OQ PF (m,n), (3m,tn).OP PQ 由 1,得 3mm 2tnn 21.OP PQ 又由(1)知 m2 n22,故 33mtn0.所以 0,即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直接法或反 证法.跟踪训练 1 已知椭圆 T: 1( ab0)的一个顶点
3、 A(0,1) ,离心率 e ,圆x2a2 y2b2 63C:x 2 y24,从圆 C 上任意一点 P 向椭圆 T 引两条切线 PM,PN .(1)求椭圆 T 的方程;(2)求证:PMPN.(1)解 由题意可知 b1, ,即 2a23c 2,ca 63又 a2b 2c 2,联立解得 a23,b 21.椭圆 T 的方程为 y 21.x23(2)证明 方法一 当 P 点横坐标为 时, 纵坐标为1 ,PM 斜率不存在,PN 斜率为30,PMPN.当 P 点横坐标不为 时,设 P(x0,y0),3则 x y 4,设 kPMk,PM 的方程为 yy 0k (xx 0),20 20联立方程组Error!消
4、去 y 得(1 3k 2)x26k( y0kx 0)x3k 2x 6kx 0y03y 3 0,20 20依题意 36k 2(y0kx 0)24(13k 2)(3k2x 6kx 0y03y 3)0,20 20化简得(3x )k22x 0y0k1y 0,20 20又 kPM,kPN为方程的两根,所以 kPMkPN 1.1 y203 x20 1 4 x203 x20 x20 33 x20所以 PMPN.综上知 PMPN .方法二 当 P 点横坐标为 时,纵坐标为1, PM 斜率不存在,PN 斜率为 0,PMPN.3当 P 点横坐标不为 时,设 P(2cos ,2sin ),3切线方程为 y2sin
5、k( x2cos ),Error!联立得(13k 2)x212k(sin kcos )x12(sin kcos )230,令 0 ,即 144 k2(sin k cos )24(13k 2)12(sin k cos )230,化简得(34cos 2)k24sin 2k14sin 20,kPMkPN 1.1 4sin23 4cos2 4 4sin2 33 4cos2所以 PMPN.综上知 PMPN .题型二 探索性问题例 2 (2018浙江重点中学考前热身联考) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆E: 1(ab0)上的动点 S 到椭圆 E 的右焦点 F(1,0)的距离的最小值为 1.x2a2 y
6、2b2 2(1)求椭圆 E 的方程;(2)若过点 F 作与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,在线段 OF 上是否存在点M(m, 0),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解 (1)因为椭圆 E: 1( ab0)上的动点 S 到椭圆 E 的右焦点 F(1,0)的距离的最小值x2a2 y2b2为 1,2所以Error! 得Error!所以椭圆 E 的方程为 y 2 1.x22(2)在线段 OF 上存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形.因为直线 l 与 x 轴不垂直,则可设直线 l 的方程为
7、yk(x1)(k 0),P(x 1,y1),Q(x2,y2),x1x 2,由Error! 得(1 2k 2)x24k 2x2k 220,由题意知,0,所以 x1x 2 ,x1x2 ,4k22k2 1 2k2 22k2 1因为以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形,所以|MP| |MQ| ,所以(x 1m) 2y ( x2m) 2y ,21 2即(x 1 m)21 ( x2m) 21 ,x212 x22所以(x 1x 2) 0 ,因 为 x1x 2,(x1 x22 2m)则 m ,因为 x1x 2 ,x1 x24 4k22k2 1所以 m (k0),k22k2 1 k2 12 122k2 1
8、12 122k2 1所以 00)交于 M,Nx24两点,(1)当 k0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有OPMOPN?请说明理由.解 (1)由题设可得 M(2 ,a),N(2 ,a),a a或 M(2 ,a),N(2 ,a).a a又 y ,故 y 在 x2 处的导数值为 ,x2 x24 a aC 在点(2 ,a)处的切线方程 为 ya (x2 ),a a a即 x ya0.ay 在 x2 处的导数值为 ,x24 a aC 在点(2 ,a)处的切线方程 为 ya (x2 ),a a a即 x ya0.a故所求切线方程为 xy
9、a0 和 xya0.a a(2)存在符合题意的点, 证明如下:设 P(0,b)为符合题意的点,M( x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2.将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0.故 x1x 24k,x 1x24a.从而 k1k 2 y1 bx1 y2 bx22kx1x2 a bx1 x2x1x2 .ka ba当 ba 时,有 k1k 20,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故OPMOPN,所以点 P(0,a)符合题意.1.已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,点 在 C 上.x2a2 y2b2 32 ( 3,12)(1)求椭
10、圆 C 的方程;(2)过点 A(2,0)作直线 AQ 交椭圆 C 于另外一点 Q,交 y 轴于点 R,P 为椭圆 C 上一点,且 AQOP ,求证: 为定值.|AQ|AR|OP|2(1)解 由题意可得 e , 1,ca 32 3a2 14b2所以 a2,c ,b1,3所以椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)证明 显然直线 AQ 斜率存在,设直线 AQ:yk(x2) ,R(0,2k),P(xP,yP),由Error! 得(1 4k 2)x216k 2x16k 240,由根与系数的关系可得Error!x1x A2,x 2x Q ,2 8k21 4k2则|AQ | |xQx A| ,1 k2
11、1 k2|2 8k21 4k2 2| 1 k2 41 4k2|AR|2 ,1 k2|OP| |xP|,1 k2令直线 OP 为 ykx 且令 xP0.由Error! 得(1 4k 2)x240,x P ,41 4k2所以|OP| , 2,21 k21 4k2 |AQ|AR|OP|241 4k2241 4k2所以定值为 2.2.已知椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ,以椭圆 C 的长轴和短轴为32对角线的四边形的周长为 4 .5(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若经过点 P(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,是否存在直线 l0:xx 0(x02),使得A
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