浙江省20届高考数学一轮 第6章 6.4 第2课时 平面向量的综合应用
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1、第 2 课时 平面向量的综合应用题型一 平面向量与数列例 1 (2018浙江名校协作体考试) 设数列x n的各项都为正数且 x11.ABC 内的点 Pn(nN *)均满足P nAB 与 P nAC 的面积比为 21,若 xn1 (2x n1) 0,则 x4 的值PnA 12 PnB PnC 为( )A15 B17 C29 D31答案 A解析 因为 xn1 (2xn1) 0,所以 (2x n1) xn1 ,如图,PnA 12 PnB PnC PnA PnC 12 PnB 设(2x n 1) ,以 PnA 和 PnD 为邻边作平行四边形 PnDEA,所以PnC PnD xn1 ,所以 ,所以 ,又
2、 PnA PnD PnE 12 PnB |PnE |PnB | xn 12 nPEABSxn 12|PnC |PnD | 12xn 1,所以 ,所以 ,所以 xn1 2x n1,又|PnC |AE | nnPACDES 12xn 1 nPACBSxn 14xn 2 12x11,所以 x23,x 37,x 4 15,故 选 A.思维升华 向量与其他知识的结合,多体 现向量的工具作用,利用向量共线或向量数量积的知识进行转化, “脱去”向量外衣,利用其他知识解决即可跟踪训练 1 (1)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 a 1 a 2 018 ,且 A,B,COB OA OC 三点共线(该
3、直线不过点 O),则 S2 018 等于( )A1 009 B1 008C2 017 D2 018答案 A解析 因为 a 1 a 2 018 ,且 A,B,C 三点共线,OB OA OC a1a 2 0181,又数列a n是等差数列,S2 018 1 009.a1 a2 0182 0182(2)(2018浙江新高考预测)角 A,B,C 为ABC 的三个内角,向量 m 满足|m| ,且 m62,当角 A 最大时,动点 P 使得| |,| |,| |成等差数列,则 的(2sin B C2 ,cos B C2 ) PB BC PC |PA |BC |最大值是_答案 233解析 设 BC2a,BC 的
4、中点为 D.由题意得|m| 2 2 2(2sin B C2 ) (cos B C2 )1cos(BC) 1cos(BC )12 cos Bcos C sin Bsin C ,32 12 32 32则 cos Bcos C sin Bsin C,化简得 tan Btan C ,12 32 13则 tan Atan(BC)tan B tan C1 tan Btan C (tan Btan C) 2 ,32 32 tan Btan C 3当且仅当 tan Btan C 时,等号成立,33所以当角 A 最大时,A ,BC ,23 6则易得 AD .3a3因为| |,| |,| |成等差数列,PB BC
5、 PC 所以 2| | | |,则点 P 在以 B,C 为焦点,以 2| |4a 为长轴的椭圆上,由 图( 图略)BC PB PC BC 易得当点 P 为椭圆的与点 A 在直线 BC 的异侧的顶点时,| |取得最大值,此时| |PA PD a,2a2 a2 3则| | | | | ,PA PD AD 43a3所以 .|PA |BC |43a32a 233题型二 和向量有关的最值问题命题点 1 与平面向量基本定理有关的最值问题例 2 (1)(2018浙江镇海中学测试) 已知ABC 内接于圆 O,且 A60,若x y (x,yR),则 x2y 的最大值是( )AO AB AC A. B1 C. D
6、223 12 223答案 D解析 设ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.由 x y ,AO AB AC 得 x 2y ,AO AB AB AC AB x y 2,AC AO AC AB AC 所以Error!解得Error!所以 x2y2 2 213(bc 2cb) 13 22 (当且仅当 b c 时取等号) ,223 2故选 D.(2)(2018温州模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AB3,AD4,M,N 分别为线段 BC,CD 上的点,且满足 1,若 x y ,则 x y 的最小值为_1CM2 1CN2 AC AM AN 答案 54解析 连接 MN 交 AC 于点
7、G.由勾股定理,知 MN2CM 2 CN2,所以 1 ,即 MNCMCM,1CM2 1CN2 MN2CM2CN2所以 C 到直线 MN 的距离为定 值 1,此 时 MN 是以 C 为圆心,1 为半径的圆的一条切线(如图所示),x y ( xy) .AC AM AN ( xx yAM yx yAN )由向量共线定理知, (xy) ,AC AG 所以 xy ,|AC |AG |5|AG |又因为| |max514,所以 xy 的最小值为 .AG 54命题点 2 与数量积有关的最值问题例 3 (1)(2017浙江)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,ABBC AD2,CD3,AC 与 BD 交于
8、点 O,记 I1 ,I 2 OA OB OB ,I 3 ,则( )OC OC OD AI 1I 2I 3 BI 1I 3I 2CI 3I 1I 2 DI 2I 1I 3答案 C解析 I 1I 2 OA OB OB OC ( ) ,OB OA OC OB CA 又 与 所成角为钝角,I 1I 20,即 I1I 2.OB CA I 1I 3 OA OB OC OD | | |cosAOB | | |cosCODOA OB OC OD cosAOB(| | | | |),OA OB OC OD 又AOB 为钝角,OA OC ,OBOD,I 1I 30,即 I1I 3.I 3I 1I 2,故选 C.(
9、2)(2018绍兴市柯桥区质检)已知向量 a,b,c 满足| b|c|2|a| 1,则( ca)( cb)的最大值是_,最小值是_答案 3 18解析 由题意得|a| ,|b| c|1,则(ca)(c b) | c|2cbcaa b| c|2 (abc )12 122 (|a|2|b| 2| c|2) (abc) 2,则当向量a,b,c 同向共线时,(ca)(cb)取12 18 12得最大值 23,当abc0 时,(ca)(cb)取得最小值 .18 12(12 1 1) 18命题点 3 与模有关的最值问题例 4 (1)(2018浙江金华一中考试)已知 , , 是空间两两垂直的单位向量,OA OB
10、 OC x y z ,且 x2y 4z 1,则| |的最小值为_OP OA OB OC OP OA OB 答案 22121解析 方法一 由题意可设 (1,0,0) , (0,1,0), (0,0,1)由 x2y4z1,得OA OB OC x12y4z.由 x y z (x, y,z),OP OA OB OC 则| |OP OA OB x 12 y 12 z2 2y 4z2 y 12 z2 5y2 17z2 16yz 2y 1 (17z 817y)2 ( 2117y 1721)2 421 421 ,22121(当 且 仅 当 y 1721,z 821时 等 号 成 立 )所以| |的最小值为 .
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