浙江省20届高考数学一轮 第8章 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
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1、8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 考情考向分析1.了解平面的含义,理解空间点、直线、平面位置关系的定义2.掌握可以作为推理依据的公理和定理.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角,题型主要以选择题和填空题的形式出现,解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.1四个公理公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类E
2、rror!(2)异面直线所成的角定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围: .(0,23直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补概念方法微思考1分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗?提示 不一定因为异面直线不同在任何一个平面内分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交2空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等吗?提示
3、不一定如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)如果两个不重合的平面 , 有一条公共直线 a,就说平面 , 相交,并记作 a.( )(2)两个平面 , 有一个公共点 A,就说 , 相交于过 A 点的任意一条直线( )(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合( )(4)经过两条相交直线,有且只有一个平面( )(5)没有公共点的两条直线是异面直线( )(6)若 a,b 是两条直线, 是两个平面,且 a,b ,则 a,b 是异面直线( )题组二 教材改编2P52B 组 T1(2)如图所示,在正方体 ABCDA1B
4、1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为( )A30 B45C60 D90答案 C解析 连接 B1D1,D1C,则 B1D1EF,故D 1B1C 即为所求的角又 B1D1B 1CD 1C,B 1D1C 为等边三角形,D 1B1C60.3P45 例 2如图,在三棱锥 ABCD 中,E,F,G ,H 分别是棱 AB,BC,CD,DA 的中点,则(1)当 AC,BD 满足条件_时,四边形 EFGH 为菱形;(2)当 AC,BD 满足条件_时,四边形 EFGH 为正方形答案 (1)ACBD (2) ACBD 且 ACBD解析 (1)四边形 EFG
5、H 为菱形,EFEH , ACBD.(2)四边形 EFGH 为正方形,EFEH 且 EFEH,EFAC,EHBD,且 EF AC,EH BD,12 12ACBD 且 ACBD.题组三 易错自纠4 是一个平面,m,n 是两条直线,A 是一个点,若 m,n ,且 Am ,A ,则m,n 的位置关系不可能是( )A垂直 B相交C异面 D平行答案 D解析 依题意,mA,n ,m 与 n 可能异面、相交(垂直是相交的特例 ),一定不平行5.如图, l,A,B,C ,且 Cl,直线 ABlM,过 A,B,C 三点的平面记作,则 与 的交线必通过( )A点 AB点 BC点 C 但不过点 MD点 C 和点 M
6、答案 D解析 AB ,MAB,M.又 l,Ml,M.根据公理 3 可知,M 在 与 的交线上同理可知,点 C 也在 与 的交 线上6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面的对数为_答案 3解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原正方体中,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相交,CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对题型一 平面基本性质的应用例 1 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F
7、分别是 AB 和 AA1 的中点求证:(1)E,C,D 1,F 四点共面;(2)CE,D 1F,DA 三线共点证明 (1)如图, 连接 EF,CD1,A1B.E,F 分别是 AB,AA1 的中点,EFBA 1.又 A1BD 1C,EF CD 1,E,C,D 1,F 四点共面(2)EFCD 1,EFCD1,CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,如图所示则由 PCE,CE平面 ABCD,得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA ,P直线 DA,CE,D 1F,DA 三线共点思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然
8、后再证其余的线(或点) 在这个平面内;证两平面重合(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点跟踪训练 1 如图,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,G ,H 分别在BC,CD 上,且 BGGCDHHC12.(1)求证:E,F,G,H 四点共面;(2)设 EG 与 FH 交于点 P,求证:P,A,C 三点共线证明 (1)E, F 分别为 AB,AD 的中点,EFBD .在BCD 中, ,BGGC DHHC 12GHBD ,EF
9、 GH.E,F ,G,H 四点共面(2)EG FHP,PEG,EG平面 ABC,P平面 ABC.同理 P平面 ADC.P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点又平面 ABC平面 ADCAC,PAC,P,A,C 三点共线题型二 判断空间两直线的位置关系例 2 (1)若直线 l1 和 l2 是异面直线,l 1 在平面 内,l 2 在平面 内,l 是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是( )Al 与 l1,l 2 都不相交Bl 与 l1,l 2 都相交Cl 至多与 l1, l2 中的一条相交Dl 至少与 l1,l 2 中的一条相交答案 D解析 由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与
10、 l2 不平行,故 l1,l2 中至少有一条与 l 相交故 选 D.(2)如图,在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,点 E,F 分别在 A1D,AC 上,且A1E2ED ,CF 2FA,则 EF 与 BD1 的位置关系是( )A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行答案 D解析 连接 D1E 并延长,与 AD 交于点 M,由 A1E2ED,可得 M 为 AD 的中点,连接 BF 并延长,交 AD 于点 N,因 为 CF2FA,可得 N 为 AD 的中点,所以 M,N 重合,所以EF 和 BD1 共面,且 , ,所以 ,所以 EFBD 1.MEED1 12MFBF 12 MEED1 MFBF
11、思维升华 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定异面直线可采用直接法或反证法;平行直线可利用三角形(梯形) 中位线的性 质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理;垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决跟踪训练 2 (1)已知直线 a, b 分别在两个不同的平面 , 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交, 则平面 和平面 相交;若平面 和平面 相交,那么直线 a和直线 b 可能平行或异面或相交,故 选 A.(2)如图所示,正
12、方体 ABCDA 1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C 1C 的中点,有以下四个结论:直线 AM 与 CC1 是相交直线;直线 AM 与 BN 是平行直线;直线 BN 与 MB1 是异面直线;直线 AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为_(填序号)答案 解析 因为点 A 在平面 CDD1C1 外,点 M 在平面 CDD1C1 内,直线 CC1 在平面 CDD1C1 内,CC1 不过点 M,所以 AM 与 CC1 是异面直线,故错;取 DD1 中点 E,连接 AE,则 BNAE,但 AE 与 AM 相交,故错;因为 B1 与 BN 都在平面 BCC1B1 内,M 在平面 BC
13、C1B1 外,BN 不过点 B1,所以 BN 与 MB1 是异面直 线,故 正确;同理正确,故填.题型三 求两条异面直线所成的角例 3 (1)(2018浙江金丽衢联考)正四面体 ABCD 中,E 为棱 AD 的中点,过点 A 作平面 BCE的平行平面,该平面与平面 ABC、平面 ACD 的交线分别为 l1,l 2,则 l1,l 2 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.63 33 13 22答案 A解析 由题意得 BCl 1,CEl 2,则BCE 即为 l1 与 l2 所成角设正四面体的棱长为 a,则易得 EBEC a,设 BC 的中点为 F,连接 EF,则易得 EF a,则 l1 与
14、l2 所成角的正弦值32 22为 sinBCE ,故选 A.EFEC22a32a 63(2)如图,把边长为 4 的正三角形 ABC 沿中线 AD 折起,使得二面角 CADE 的大小为60,则异面直线 AC 与 DE 所成角的余弦值为( )A B. C D.14 14 13 13答案 B解析 如图,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF,因 为 D,F 分 别是线段 BC,AB 的中点,所以 DFAC,所以EDF(或其补角)是异面直线 AC 与 DE 所成的角由正三角形的性 质可得 ADBC,所以CDE 就是二面角 CADE 的平面角,所以CDE60.又 CDDE,所以CDE 是正三角形作 EG
15、CD,垂足 为 G,作 FHBD,垂足为 H,连接 EH,易知EGDEsin 602 ,DGDEcos 6032 32 1,DH BD 21, HGDHDG2,FH AD AC 4 .12 12 12 12 12 32 12 32 3由勾股定理,得 EH ,EF .HG2 EG2 22 32 7 EH2 FH2 72 32 10在EDF 中,由余弦定理,得 cosEDF ,所以异面直线 AC 与 DE 所22 22 102222 14成角的余弦值为 ,故选 B.14思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;(2)二证:证明作出的角是异面直
16、线所成的角;(3)三求:解三角形,求出所作的角跟踪训练 3 (2018全国)在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中,ABBC1,AA 1 ,则异面直3线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.15 56 55 22答案 C解析 方法一 如图,在长方体 ABCDA 1B1C1D1 的一侧补上一个相同的长方体ABBAA 1B 1B 1A1.连接 B1B,由长方体性质可知,B 1BAD 1,所以DB 1B为异面直线 AD1 与 DB1 所成的角或其补角连接 DB,由题意,得 DB ,12 1 12 5BB 1 2, DB1 .12 32 12 12 32 5在DBB 1
17、中,由余弦定理,得DB 2B B DB 2BB 1DB1cosDB 1B,21 21即 54522 cosDB 1B,cosDB 1B .555故选 C.方法二 如图,以点 D 为坐标原点,分 别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz.由题意,得 A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0, ),B1(1,1, ),3 3 ( 1,0, ), (1,1 , ),AD1 3 DB1 3 1101( )22,AD1 DB1 3| |2,| | ,AD1 DB1 5cos , .AD1 DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 225 55故选 C
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