浙江省20届高考数学一轮 第8章 8.1 空间几何体的结构、3视图和直观图

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1、8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲 考情考向分析1.了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征2.了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义3.了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体会用斜二测画法画出它们的直观图.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.1多面体的结构特征名称 棱柱 棱锥 棱台图形结构特征有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形每相邻两个四边形的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面

2、体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分公共边都互相平行侧棱 平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状 平行四边形 三角形 梯形2.旋转体的结构特征名称 圆柱 圆锥 圆台 球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点 延长线交于一点轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆侧面展开图矩形 扇形 扇环3.三视图与直观图三视图 画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中 x轴、y轴的夹角为 45或 135，z轴与 x轴和y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐

3、标轴，平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半.概念方法微思考1底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？提示 不一定因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱2什么是三视图？怎样画三视图？提示 光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投影称为侧视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为三视图画几何体的三视图的要求是正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是

4、棱柱( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱( )(6)菱形的直观图仍是菱形( )题组二 教材改编2P19T2下列说法正确的是 ( )A相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变3P8T1在如图所示的几何体中，是棱柱的为

5、_( 填写所有正确的序号)答案 题组三 易错自纠4某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱答案 A解析 由三视图知识知，圆锥 、四面体、三棱柱(放倒看) 都能使其正视图为三角形，而 圆柱的正视图不可能为三角形5如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 C解析 此几何体侧视图是从左边向右边看故 选 C.6(2018浙江诸暨中学期中) 边长为 2 的正方形，其水平放置的直观图的面积为( )2A. B1 C2 D824 2答案 C解析 正方形的边长为 2 ，故面积为 8，而原 图和直观图 面积之间的关系为 ，2S直 观 图S

6、原 图 24故直观图的面积为 8 2 .24 27(2018全国)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如下图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在侧视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )A2 B 2 C3 D217 5答案 B解析 先画出圆柱的直观图，根据 题中的三视图可知，点 M，N 的位置如图所示圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置 (N 为 OP 的四等分点)如 图所示，连接 MN，则图中 MN即为 M 到 N 的最短路径|ON| 164， |OM|2，14|MN | 2 .故选 B.|OM|2 |ON

7、|2 22 42 5题型一 空间几何体的结构特征1以下命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确对于命题，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个 圆锥和一个圆台， 不正确2给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是

8、正棱柱其中不正确的命题为_(填序号)答案 解析 对于，平行六面体的两个相 对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图 )，故 错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确综上，命题不正确思维升华 空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析题型二 简单几何体的三视图命题点 1 已知几何体识别三视图例 1 (2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫

9、卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A.命题点 2 已知三视图，判断简单几何体的形状例 2 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱答案 B解析 由题意知，该几何体的三 视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱命题点 3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例 3 一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥

10、体的俯视图的是( )答案 C解析 A，B， D 选项满足三视图 作法规则， C 不满足三视图作法规则中的宽相等，故 C 不可能是该锥体的俯视图思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略(1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线(2)还原几何体要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间 想象还原(3)由部分视图画出剩余的部分视图先猜测， 还原，再判断当然作为选择题，也可将选项逐项代入跟踪训练 1 (1)(2018杭州模拟)如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，P 为 BD1 的中点，则PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A BC D答案 B解析 P 点在上下底面

11、投影落在 AC 或 A1C1 上，所以 PAC 在上底面或下底面的投影为，在前、后面以及左、右面的投影为.(2)(2018宁波模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是 ( )83答案 C解析 该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 PABCD，如图所示，该几何体的俯视图为 C.题型三 空间几何体的直观图例 4 已知等腰梯形 ABCD，上底 CD1，腰 ADCB ，下底 AB3，以下底所在直线2为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABC D的面积为_答案 22解析 如图所示，作出等腰梯形 A

12、BCD 的直观图因为 OE 1，所以 OE ，EF ， 22 112 24则直观图 ABCD的面积 S .1 32 24 22思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线跟踪训练 2 如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法 )是一个底角为 45、腰和上底长均为 2 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A2 B12 2C42 D842 2答案 D解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以 这个平面图形的面积为 84 ，故 选 D.42 2 222 21在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，

13、将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )A圆面 B矩形面C梯形面 D椭圆面或部分椭圆面答案 C解析 将圆柱桶竖放，水面为圆 面；将圆柱桶斜放，水面 为椭圆 面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选 C.2.如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体 ABCD 的三视图是 (用代表图形 )( )A BC D答案 B解析 正视图应该是边长为 3 和 4 的矩形，其 对角线左下到右上是 实线，左上到右下是虚 线，因此正视图是，

14、侧视图应该 是边长为 5 和 4 的矩形，其 对 角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是；俯 视图应该是边长为 3 和 5 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图 是.3用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体答案 C解析 截面是任意的且都是圆面， 则该几何体为球体4某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是( )答案 C解析 若几何体为两个圆锥体的组合体， 则俯视图为 A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为 B；若几何体为两个四棱 锥的组合体， 则俯视图为

15、D；不可能为 C，故选 C.5(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)若将正方体( 如图 1)截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 B解析 从左向右看，该几何体的 侧视图的外轮廓是一个正方形，且 AD1对应的是实线，B 1C 对应的是虚线故选 B.6(2011浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析 A，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，故选 D.7(2019台州模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示，则该棱柱的侧视图的面积为( )A18 B186 3C18 D.2272 2答案

16、C解析 设侧视图的长为 x，则 x26318，x 3 .2所以侧视图的面积为 S3 618 .故选 C.2 28用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )A直角三角形 B等边三角形C正方形 D正六边形答案 A解析 用一个平面去截正方体， 则截面的情况为：截面为三角形时，可以是锐 角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；截面为四边形时，可以是梯形 (等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形；截面为五边形时，不可能是正五 边形；截面为六边形时，可以是正六 边形9(2018湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )A. B2 C

17、3 D25 2 3答案 C解析 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ，N 分别为 AD，BC 的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥 D1MNB1，故通过计算可得D1B12 ，D1MB 1N ，MN2，MB 1ND 13，故该三棱锥中最长棱的长为 3.2 510.一水平放置的平面四边形 OABC，用斜二测画法画出它的直观图 OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为 1 的正方形，则原平面四边形 OABC 的面积为_答案 2 2解析 因为直观图的面积是原图形面积的 倍，且直观图的面积为 1，所以原图形的面积为 224.211.如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，

18、点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点，则三棱锥PABC 的正视图与侧视图的面积的比值为_答案 1解析 如题图所示，设正方体的棱 长为 a，则三棱锥 PABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是 a2，故面积的比 值为 1.1212给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_答案 解析 不正确，根据棱柱的定 义，棱柱的各个 侧面都是平行四 边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 则

19、三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如 图，正方体ABCDA 1B1C1D1 中的三棱锥 C1ABC ，四个面都是直角三角形13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1，O 2，这两个球外切，且球 O1 与正方体共顶点 A 的三个面相切，球 O2 与正方体共顶点 B1 的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C 上的正投影是( )答案 B解析 由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切由于两球球心连线AB1 与面 ACC1A1 不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆

20、相交，即为图 B.14.我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是他对九章算术中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为( )答案 B解析 由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由 图易得其俯视图为 B，故选 B.15(2018嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A圆弧 B抛物线的一部分C椭圆的一部分 D双曲线的一部分答案 D解析 根据几何体的三视图，可得 侧视图中的虚线部分是由平行于旋 转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故 选 D.16(2018台州模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长是_答案 733解析 由三视图可知，该几何体是棱 长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中三棱锥 MA1B1N，如图所示，M 是棱 AB 上靠近点 A 的一个三等分点，N 是棱 C1D1 的中点，所以A1B12，A 1NB 1N ，22 12 5A1M ，22 (23)2 2103B1M ，22 (43)2 2133MN ，22 22 (13)2 733所以该几何体中最长棱的长是 .733