浙江省20届高考数学一轮 第8章 8.5 直线、平面垂直的判定与性质
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1、8.5 直线、平面垂直的判定与性质最新考纲 考情考向分析1.理解空间线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理.2.理解直线与平面所成角的概念,了解二面角及其平面角的概念.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想.1.直线与平面垂直(1)定义如果直线 l 与平面 内的任意一条 直线都垂直,则直线 l 与平面 互相垂直,记作 l,直线 l 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 l 的垂面.(2)判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与
2、一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直Error!l 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 Error!ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 0的角 .(2)范围: .0,23.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和
3、平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直Error!性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Error!l概念方法微思考1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?提示 垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成 90的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个
4、平面.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面吗?提示 垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线,则这两条直线都垂直于第三个平面,那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知,这两个相交平面的交线与这两条垂线平行,所以该交线垂直于第三个平面.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直,则 l.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )(3)直线 a,b,则 ab.( )(4)若 ,a ,则 a.( )(5)若直线 a平面 ,直线 b,则直线 a 与 b 垂直.( )(6)若平
5、面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线,则 .( )题组二 教材改编2.P73T1下列命题中错误的是 ( )A.如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面 平面 ,平面 平面 ,l ,那么 l平面 D.如果平面 平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D解析 对于 D,若平面 平面 ,则平面 内的直线可能不垂直于平面 ,即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内,其他 选项均是正确的.3.P67 练习 T2在三棱锥 PABC 中,点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.(1)若 PAP
6、BPC,则点 O 是ABC 的_心;(2)若 PAPB,PB PC,PCPA,则点 O 是ABC 的_ 心.答案 (1)外 (2) 垂解析 (1)如图 1,连接 OA,OB,OC,OP,在 Rt POA,RtPOB 和 RtPOC 中, PAPC PB,所以 OAOB OC,即 O 为ABC 的外心.(2)如图 2,延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于点 H,D,G.PCPA,PBPC,PAPBP,PA, PB平面 PAB,PC平面 PAB,又 AB平面 PAB,PCAB,ABPO ,POPCP,PO,PC平面 PGC,AB平面 PGC,又 CG平面 PGC,ABCG,即 CG
7、 为ABC 边 AB 上的高.同理可证 BD,AH 分别为ABC 边 AC,BC 上的高,即 O 为ABC 的垂心.题组三 易错自纠4.(2018台州模拟)若 l,m 为两条不同的直线, 为平面,且 l,则“m ”是“m l ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由 l 且 m 能推出 ml,充分性成立;若 l 且 ml,则 m 或者 m,必要性不成立,因此“m”是“ml”的充分不必要条件,故选 A.5.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 O,M , N 分别是线段 BD,DD 1,D 1C1 的中点,则直线 OM
8、 与 AC,MN 的位置关系是( )A.与 AC,MN 均垂直B.与 AC 垂直,与 MN 不垂直C.与 AC 不垂直,与 MN 垂直D.与 AC,MN 均不垂直答案 A解析 因为 DD1平面 ABCD,所以 ACDD 1,又因为 ACBD,DD 1BDD,所以 AC平面 BDD1B1,因为 OM平面 BDD1B1,所以 OMAC .设正方体的棱长为 2,则 OM ,MN ,1 2 3 1 1 2ON ,1 4 5所以 OM2MN 2ON 2,所以 OMMN.故选 A.6.如图所示,AB 是半圆 O 的直径, VA 垂直于半圆 O 所在的平面,点 C 是圆周上不同于A,B 的任意一点,M ,N
9、 分别为 VA,VC 的中点,则下列结论正确的是( )A.MNABB.平面 VAC平面 VBCC.MN 与 BC 所成的角为 45D.OC平面 VAC答案 B解析 由题意得 BCAC,因为 VA平面 ABC,BC平面 ABC,所以 VABC.因为ACVAA,所以 BC平面 VAC.因为 BC平面 VBC,所以平面 VAC平面 VBC.故选 B.题型一 直线与平面垂直的判定与性质例 1 如图所示,在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,ABACAA 13,BC 2,D 是 BC 的中点,F 是 CC1 上一点 .当 CF2 时,证明:B 1F平面 ADF.证明 因为 ABAC,D 是 BC 的中点
10、,所以 ADBC .在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,因为 BB1底面 ABC,AD底面 ABC,所以 ADB 1B.因为 BCB 1B B,BC,B1B平面 B1BCC1,所以 AD平面 B1BCC1.因为 B1F平面 B1BCC1,所以 ADB 1F.方法一 在矩形 B1BCC1 中,因为 C1FCD1,B 1C1CF2,所以 RtDCF Rt FC 1B1,所以CFDC 1B1F,所以B 1FD 90,所以 B1F FD.因为 ADFD D,AD ,FD平面 ADF,所以 B1F平面 ADF.方法二 在 RtB 1BD 中,BDCD1, BB13,所以 B1D .BD2 BB21 1
11、0在 Rt B1C1F 中,B 1C12,C 1F1,所以 B1F .B1C21 C1F2 5在 Rt DCF 中,CF2,CD 1,所以 DF .CD2 CF2 5显然 DF2B 1F2B 1D2,所以B 1FD 90.所以 B1FFD.因为 ADFD D,AD ,FD平面 ADF,所以 B1F平面 ADF.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的 传递性;面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直,则需借助线面垂直的性质.跟踪训练 1 (2019绍兴模拟) 如图,在三棱锥 A-BCD 中,ABAD,BCBD,平面
12、ABD平面 BCD,点 E,F( E 与 A,D 不重合) 分别在棱 AD,BD 上,且 EFAD.求证:(1)EF平面 ABC;(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内,因为 ABAD ,EFAD,则 ABEF.又因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC,所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCDBD ,BC平面 BCD,BCBD ,所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD,所以 BCAD .又 ABAD ,BCABB,AB平面 ABC,BC平面 ABC,所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC,所以 ADAC .题型二 平面与
13、平面垂直的判定与性质例 2 (2018全国)如图,在平行四边形 ABCM 中,ABAC3,ACM90.以 AC 为折痕将ACM 折起,使点 M 到达点 D 的位置,且 ABDA.(1)证明:平面 ACD平面 ABC;(2)Q 为线段 AD 上一点,P 为线段 BC 上一点,且 BPDQ DA,求三棱锥 QABP 的体23积.(1)证明 由已知可得,BAC90,即 BAAC .又 BAAD ,ADACA,AD,AC平面 ACD,所以 AB平面 ACD.又 AB平面 ABC,所以平面 ACD平面 ABC.(2)解 由已知可得,DCCMAB3, DA3 .2又 BPDQ DA,所以 BP 2 .23
14、 2如图,过点 Q 作 QEAC,垂足为 E,则 QEDC 且 QE DC.13由已知及(1)可得,DC平面 ABC,所以 QE平面 ABC,QE1.因此,三棱锥 QABP 的体积为 VQABP SABP QE13 32 sin 4511.13 12 2思维升华 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义;面面垂直的判定定理(a,a ).(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线 垂直.跟踪训练 2 (2018宁波调研) 如图,三棱锥 PABC 中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,PAPC,PB 2.(1)求证:平面 P
15、AC平面 ABC;(2)若 PAPC,求三棱锥 P ABC 的体积.证明 (1)如图,取 AC 的中点 O,连接 BO,PO,因为ABC 是边长为 2 的正三角形,所以 BOAC,BO .3因为 PAPC,所以 PO AC1.12因为 PB2,所以 OP2OB 2PB 2,所以 POOB .因为 ACOPO,AC,OP平面 PAC,所以 BO平面 PAC.又 OB平面 ABC,所以平面 PAC平面 ABC.(2)解 因为 PAPC,PAPC,AC 2,所以 PAPC .2由(1)知 BO平面 PAC,所以 VPABC VBAPC SPAC BO .13 13 12 2 2 3 33题型三 与垂
16、直有关的探索性问题例 3 如图,直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,D,E 分别是棱 BC,AB 的中点,点 F 在棱 CC1 上,已知 ABAC, AA13,BC CF2.(1)求证:C 1E平面 ADF;(2)设点 M 在棱 BB1 上,当 BM 为何值时,平面 CAM平面 ADF.(1)证明 连接 CE 交 AD 于 O,连接 OF.因为 CE,AD 为ABC 的中线,则 O 为ABC 的重心,故 ,故 OFC 1E,CFCC1 COCE 23因为 OF平面 ADF,C1E平面 ADF,所以 C1E平面 ADF.(2)解 当 BM1 时,平面 CAM平面 ADF.证明如下:因为 ABAC
17、,AD平面 ABC,故 ADBC.在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,BB1平面 ABC,BB1平面 B1BCC1,故平面 B1BCC1平面 ABC.又平面 B1BCC1平面 ABCBC ,AD平面 ABC,所以 AD平面 B1BCC1,又 CM平面 B1BCC1,故 ADCM.又 BM1,BC2,CD1,FC2,故 Rt CBMRtFCD.易证 CMDF,又 DFAD D,DF,AD平面 ADF,故 CM平面 ADF.又 CM平面 CAM,故平面 CAM平面 ADF.思维升华 对命题条件的探索的三种途径途径一:先猜后证.途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.途
18、径三:将几何问题转化为代数问题.跟踪训练 3 如图所示的空间几何体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE平面 ABCD,EFAB, EGAD,EFEG1.(1)求证:平面 CFG平面 ACE;(2)在 AC 上是否存在一点 H,使得 EH平面 CFG?若存在,求出 CH 的长,若不存在,请说明理由.(1)证明 连接 BD 交 AC 于点 O,则 BDAC .设 AB,AD 的中点分 别为 M,N,连接 MN,则 MNBD ,连接 FM,GN,则 FMGN ,且 FMGN,所以四边形 FMNG 为平行四 边形,所以 MNFG,所以 BDFG,所以 FGAC .由于
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