浙江省20届高考数学一轮 第4章 高考专题突破2
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1、高考专题突破二 高考中的导数应用问题题型一 利用导数研究函数性质例 1 (2018台州质检)已知函数 f(x)x 3|xa|(aR )(1)当 a1 时,求 f(x)在(0 ,f(0)处的切线方程;(2)当 a(0,1)时,求 f(x)在1,1上的最小值( 用 a 表示)解 (1)当 a1, x0,知 f(x)在a,1 上单调递增当1x0,即(x 22)e x0,因为 ex0,所以x 220,解得 0,所以x 2(a2)x a0 对 x(1,1) 都成立,即 a (x1)x2 2xx 1 x 12 1x 1 1x 1对 x( 1,1)都成立令 y(x1) ,1x 1则 y1 0.1x 12所以
2、 y(x1) 在(1,1)上单调递增,1x 1所以 y0),由 f(x)0,得 xe.x ex2当 x(0 ,e)时,f(x)0,f (x)在(e,) 上单调递增,当 xe 时,f(x )取得极小值 f(e)ln e 2,eef(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)f( x) (x0),x3 1x mx2 x3令 g(x)0,得 m x3x(x0)13设 (x) x3x (x0) ,13则 (x)x 21(x1)(x1),当 x(0,1)时,(x )0,(x)在(0,1)上单调递增;当 x(1 , )时,(x ) 时,函数 g(x)无零点;23当 m 时,函数 g(x)有且只有一个零点;
3、23当 0 时,函数 g(x)无零点;23当 m 或 m0 时,函数 g(x)有且只有一个零点;23当 00,故 f(x)在(0,1)上单调递增;当 x(1,3)时,f(x)0,即 a23 时,f( x)0 有两根,设两根为 x1,x2,且 x10,aR)12(1)若 a2,求点(1,f(1) 处的切线方程;(2)若不等式 f(x) 对任意 x0 恒成立,求实数 a 的值a2解 (1)当 a2 时, f(x)x 2 ln x,f(x) ,x0.2x2 1xf(1)1,f(1)1,所求的切 线方程为 yx.(2)易得 f(x) (x0)ax2 1x当 a0 时,f(x)1 时,f(x)0 时,f
4、( x)在 上单调递减,(0,1a)在 上单调递增,(1a, )f(x) minf ln ,(1a) 12 1a ln ,即 1ln aa0.12 1a a2设 g(x)1ln xx ,则 g(x) 1 ,1x 1 xxg(x)在(0,1)上单调递增,在(1,) 上单调递减,g(x)g(1)0,即 1ln xx0,故 1ln aa0,a1.1(2017浙江)已知函数 f(x)(x )ex .2x 1 (x 12)(1)求 f(x)的导函数;(2)求 f(x)在区间 上的取值范围12, )解 (1)因为(x ) 1 ,(ex )e x ,2x 112x 1所以 f(x) ex (x )ex(1
5、12x 1) 2x 1 .1 x 2x 1 2e x2x 1 (x 12)(2)由 f(x) 0,1 x 2x 1 2e x2x 1解得 x1 或 x .52当 x 变化时,f( x),f(x)的变化情况如下表:x 12 (12,1) 1 (1,52) 52 (52, )f(x) 0 0 f(x)12e 0 52e又 f(x) ( 1) 2ex 0,12 2x 1所以 f(x)在区间 上的取 值范围是 .12, ) 120,e2已知函数 f(x)axe x(aR),g( x) .ln xx(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)x(0,),使不等式 f(x)g(x)e x 成立,求 a 的取值
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