浙江省20届高考数学一轮 第3章 3.2 函数的单调性与最值
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1、3.2 函数的单调性与最值最新考纲 考情考向分析1.理解函数的单调性,会判断函数的单调性2.理解函数的最大(小)值的含义,会求简单函数的最大(小) 值.以基本初等函数为载体,考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用;强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查,题型既有选择、填空题,又有解答题.1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x 2定义当 x1f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2、(2)单调区间的定义如果函数 yf(x )在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 yf(x)在这一区间具有( 严格的)单调性,区间 D 叫做 y f(x)的单调区间2函数的最值前提 设函数 yf(x )的定义域为 I,如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意的 xI,都有 f(x)M;(2)存在 x0I,使得 f(x0)M(3)对于任意的 xI,都有f(x)M;(4)存在 x0I ,使得 f(x0)M结论 M 为最大值 M 为最小值概念方法微思考1在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?提示 对任意 x1,x 2D, 0f(x)在 D 上是增函数,减函数类似fx1 fx2x1 x22
3、写出对勾函数 yx (a0)的增区间ax提示 (, 和 , ) a a题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x),有 f(1)x11 时,f(x 2)f( x1)(x2x 1)ab Bcb a Cacb Dbac答案 D解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称,且在(1 , ) 上是减函数,因 为af f ,且 2ac.( 12) (52) 52命题点 2 解函数不等式例 4 若 f(x)是定义在(0, ) 上的单调增函数,且满足 f(xy)f( x)f(y),f(3) 1,则当 f(x)f(x 8)2 时,x 的
4、取值范围是( )A(8,) B(8,9C8,9 D(0,8)答案 B解析 211f(3)f(3) f (9),由 f(x)f(x8)2,可得 fx(x8) f (9),因为 f(x)是定义在(0,)上的单调增函数,所以有Error! 解得 80 成立,那么 a 的fx1 fx2x1 x2取值范围是_答案 32,2)解析 对任意 x1x 2,都有 0.fx1 fx2x1 x2所以 yf(x) 在(,)上是增函数所以Error! 解得 a2.32故实数 a 的取值范围是 .32,2)(2)定义在 R 上的奇函数 yf(x) 在(0,)上单调递增,且 f 0,则不等式 f( x)0(12) 19lo
5、g的解集为_答案 Error!解析 由题意知,f f 0,( 12) (12)f(x)在( ,0)上也单调递增f( x)f 或 f( x)f ,19log(12) 19log( 12) x 或 x 0,19l12 12 9l解得 0x 或 1x 3.13原不等式的解集为Error!.1(2018台州路桥中学检测) 如果函数 f(x)x 22( a1)x2 在区间(,4 上单调递减,那么实数 a 的取值范围是( )Aa3 Ba3Ca5 Da5答案 A解析 由题意得,函数 f(x)x 22( a1)x2 的对称轴为 x1a,所以二次函数的单调递减区间为(,1a,又函数在区间(,4上单调递减,所以
6、1a4,所以 a3.2已知函数 f(x) ,则该函数的单调递增区间为( )x2 2x 3A(,1 B3 ,)C(,1 D1,)答案 B解析 设 tx 22x3,由 t0,即 x22x30,解得 x1 或 x3,所以函数 f(x)的定义域为(,13 ,)因为函数 tx 22x3 的图象的 对称轴为 x1,所以函数 t 在( , 1上 单 调 递 减 ,在 3, )上 单 调 递 增 ,所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 3, )3已知函数 f(x)Error!当 x1x 2 时, x 1 对任意的 x 1,2恒成立,等价于 ax 23x1 对任意的 x1,2恒成立 设 g(x
7、)x 23x 1( 1x2), 则 g(x) 2 (1x2) ,当 x(x 32) 134时,g(x )取得最大值,且 g(x)maxg ,因此 a ,故 选 D.32 (32) 134 1346(2018浙江镇海中学月考) 若函数 f(x)Error!(a0,且 a1)的值域为3,),则实数a 的取值范围为( )A(1,3 B(1,3)C(3,) D3,)答案 A解析 当 x3 时,函数 f(x) x22x4(x1) 23 的值 域为3 , ) ,当 x3 时,2 logax3,即 x3 时, logax1log aa,a1,且 x3 时 xa 恒成立1a3,实数 a 的取值范围是(1,37
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