浙江省20届高考数学一轮 第5章 5.6 正弦定理和余弦定理
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1、5.6 正弦定理和余弦定理最新考纲 考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理及其应用.以利用正弦、余弦定理解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识题型多样,中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC 中,若角 A,B ,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为ABC 外接圆半径,则定理 正弦定理 余弦定理内容 (1) 2Rasin A bsin B csin C (2)a2b 2c 22bccos A;b2c 2a 22cacos B;c2a 2b 22abcos C变形(3)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C ;(4)
2、sin A ,sin B ,sin Ca2R b2R;c2R(5)abcsin Asin Bsin C ;(6)asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin Ccsin A(7)cos A ;b2 c2 a22bccos B ;c2 a2 b22accos Ca2 b2 c22ab2.在ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 ab sin A bsin Ab解的个数一解 两解 一解 一解3.三角形常用面积公式(1)S aha(ha表示边 a 上的高);12(2)S absin C acsin B bcsin A;12 12 12(3)
3、S r(ab c)(r 为三角形内切圆半径)12概念方法微思考1在ABC 中,AB 是否可推出 sin Asin B?提示 在ABC 中,由AB 可推出 sin Asin B.2如图,在ABC 中,有如下结论:bcos Cccos Ba .试类比写出另外两个式子提示 acos B bcos Ac ;acos Cccos Ab.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比( )(2)当 b2c 2a 20 时,三角形 ABC 为锐角三角形( )(3)在ABC 中, .( )asin A a b csin A sin B sin C
4、(4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积( )题组二 教材改编2P10B 组 T2在ABC 中,acos Abcos B,则这个三角形的形状为 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理,得 sin Acos Asin Bcos B,即 sin 2Asin 2B,所以 2A 2B 或 2A 2B,即 AB 或 A B ,2所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3P18T1在ABC 中,A 60 ,AC4,BC2 ,则ABC 的面积为 3答案 2 3解析 ,23sin 60 4sin Bsin B1,B90,AB2,S ABC 22 2 .12 3 3题组三 易错自纠4在ABC 中,
5、角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c0,cos B1.bsin Cc 403220 3角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在6设ABC 的内角 A,B ,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 bc2a,3sin A5sin B,则C .答案 23解析 由 3sin A5sin B 及正弦定理,得 3a5b.又因为 bc2a,所以 a b,c b,53 73所以 cos Ca2 b2 c22ab .(53b)2 b2 (73b)2253bb 12因为 C(0,) ,所以 C .23题型一 利用正、余弦定理解三角形例 1 (2018天津)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分
6、别为 a,b,c .已知 bsin Aacos.(B 6)(1)求角 B 的大小;(2)设 a2,c3,求 b 和 sin(2AB)的值解 (1)在ABC 中,由正弦定理 ,可得asin A bsin Bbsin Aasin B.又由 bsin Aacos ,得 asin Bacos ,(B 6) (B 6)即 sin Bcos ,所以 tan B .(B 6) 3又因为 B(0 ,),所以 B .3(2)在ABC 中,由余弦定理及 a2,c 3,B ,3得 b2a 2c 22ac cos B7,故 b .7由 bsin Aacos ,可得 sin A .(B 6) 217因为 a0,所以 a
7、2b 2c 2 或 ab,故 选 D.引申探究1本例(2)中,若将条件变为 a2b 2c 2ab,且 2cos Asin Bsin C,判断 ABC 的形状解 a 2b 2c 2ab,cos C ,a2 b2 c22ab 12又 00)又 BD ,DAB ,73所以由余弦定理,得( )2(3k) 2(2 k)223k2k cos ,解得 k1,所以 AD2,AB3,73sinABD .ADsin DABBD 2327 217(2)因为 ABBC,所以 cosDBC sinABD ,217所以 sinDBC ,所以 ,277 BDsin BCD CDsin DBC所以 CD .727732 43
8、3命题点 3 解三角形的实际应用例 5 (1)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30,此时气球的高 AD 是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )A240( 1)m B180( 1)m3 2C120( 1)m D30( 1)m3 3答案 C解析 如图,在 RtACD 中,CAD90 3060, AD60 m,所以 CDADtan 6060(m)3在 Rt ABD 中,BAD 907515,所以 BDAD tan 1560(2 )(m)3所以 BCCDBD60 60(2 )3 3120( 1)(m)3(2)如图,小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条
9、水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在 A 处测得公路上 B,C 两点的俯角分别为 30,45,且BAC135,若山高 AD100 m,汽车从 B 点到 C 点历时 14 s,则这辆汽车的速度约为 m/s.(精确到 0.1,参考数据: 1.414, 2.236)2 5答案 22.6解析 因为小明在 A 处测得公路上 B,C 两点的俯角分别为 30,45,所以 BAD60 ,CAD45,设这辆汽车的速度为 v m/s,则 BC14v,在 RtADB 中, AB ADcos BAD200.在 RtADC 中,AC 100 .在ABC 中,由余弦定理,得ADcos 60 ADcos CAD 100cos
10、 45 2BC2AC 2AB 22AC ABcosBAC,所以 (14v)2(100 )2200 22100 200cos 2 2135,所以 v 22.6,所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s.50107思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边:通过因式分解、配方等得出 边的相应关系化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,此时要注意应用 ABC 这个结论(2)求解几何计算问题要注意:根据已知的边角画出图形并在图中标示;选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理(3)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面) 同时研究的 问题, 这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既
11、清楚又不容易搞 错(4)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学 问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知 识解决问题跟踪训练 3 (1)在ABC 中,cos 2 (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则ABCB2 a c2c的形状为( )A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案 B解析 cos 2 ,cos2 ,B2 1 cos B2 B2 a c2c(1cos B)c ac ,acos B c ,a2 c2 b22a2a 2a 2c 2b 2,a 2b 2c 2,ABC 为直角三角形(2)在平面四边形 ABCD 中,A
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